Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

-

Documents
5 pages
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description


  • fiche - matière potentielle : no

  • cours - matière potentielle : déchargement


Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2008–2009 Fiche no 2 Espace de probabilité Ex 1. Un peu de mécanique statistique On considère un système de r particules pouvant être dans un des n niveaux d'énergie e1, . . . , en. On définit l'espace des états du système comme l'ensemble des configurations distinguables. On fait l'hypothèse que chaque configuration distinguable est équipro- bable. On considère les trois cas suivants : (i) Statistique de Maxwell-Boltzmann. Les r particules sont localisées et donc distin- guables. (ii) Statistique de Bose-Einstein. Les r particules sont indistinguables. (iii) Statistique de Fermi-Dirac. Les r particules sont indistinguables et il y a au plus une particule par niveau d'énergie (on suppose que n ≥ r). 1) Construire l'espace de probabilité correspondant à chacun des modèles (i), (ii), (iii). 2) On note pr,n(k) la probabilité qu'un niveau d'énergie donné contienne exacte- ment k particules. Calculer pr,n(k) dans chacun des trois cas (i), (ii) et (iii). 3) Pour chacun des trois modèles (i), (ii) et (iii), donner la limite pk de pr,n(k) lorsque n et r tendent vers l'infini et que le nombre moyen r/n de particules par niveau d'énergie tend

  • composition précise de l'urne

  • espace de probabilité

  • ie tirage fournissant le ie

  • mécanique statistique

  • probabilité

  • boule marquée

  • statistique de maxwell-boltzmann

  • urne contenant des boules marquées


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de visites sur la page 59
Langue Français
Signaler un problème
UniversitÉ U.F.R. de
IPE Math 306
Espace de probabilitÉ
des Sciences et MathÉmatiques
Technologies de Lille Pures et AppliquÉes
o Fiche n2
AnnÉe 2008–2009
Ex 1. Unpeu de mÉcanique statistique On considre un systme derparticules pouvant tre dans un desnniveaux d’nergie e1, . . . , en. On dfinit l’espace des tats du systme comme l’ensemble des configurations distinguables. On fait l’hypothse que chaque configuration distinguable est quipro-bable. On considre les trois cas suivants : (i)Statistique de Maxwell-Boltzmann.Lesrparticules sont localises et donc distin-guables. (ii)Statistique de Bose-Einstein.Lesrparticules sont indistinguables. (iii)Statistique de Fermi-Dirac.Lesrparticules sont indistinguables et il y a au plus une particule par niveau d’nergie (on suppose quenr). 1) Construirel’espace de probabilit correspondant À chacun des modles (i), (ii), (iii). 2) Onnotepr,n(k)la probabilit qu’un niveau d’nergie donn contienne exacte-mentkparticules. Calculerpr,n(k)dans chacun des trois cas (i), (ii) et (iii). 3) Pourchacun des trois modles (i), (ii) et (iii), donner la limitepkdepr,n(k) lorsquenetrtendent vers l’infini et que le nombre moyenr/nde particules par niveau d’nergie tend vers une quantit fixeλ >0(pour le cas (iii), on supposera queλ1). +P Vrifier que l’on a toujourspk= 1. k=0 Ex 2. Nombrede surjections Soitpetndeux entiers strictement positifs. On rpartit au hasardpjetons numrots de 1 Àpsur un tableau constitu dencases numrots de 1 Àn. Chaque jeton est plac sur une case et chaque case peut recevoir plusieurs jetons. 1) Dfinirun espace de probabilit,P(Ω), P)associ À cette exprience ala-toire. 2) Soiti∈ {1, . . . , n}. Dterminer la probabilit que lai-me case reste vide. 3) Dterminerla probabilit qu’au moins une case du tableau reste vide. 4) Ondsigne parSp,nl’ensemble des surjections de l’ensembleNp={1, . . . , p} dans l’ensembleNn={1, . . . , n}. A quelle condition surnetp,Sp,n? Sous cette condition, dduire de laest-il non vide question prcdente une expression du cardinal deSp,nen fonction denetp. 2 Ex 3. UneprobabilitÉ surN Soientaetbdeux rels strictement compris entre 0 et 1 etgla fonction À valeurs 2 2i j positives dfinies surNpar :(i, j)N, g(i, j) =ab(1a) (1b).