Université des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathématiques Pures et Appliquées

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Gwénaëlle Castellan

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fiche - matière potentielle : no

cours - matière potentielle : des n épreuves

Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées IPE Math 306 Année 2008–2009 Fiche no 5 Ex 1. L'angoisse du gardien de but. On considère une suite de n épreuves répétées indépendantes avec pour chaque épreuve trois issues possibles : succès avec probabilité p, échec avec probabilité q ou nul avec probabilité r (p + q + r = 1). On note respectivement Si, Ei et Ni les événements succès, échec, nul à la i-ème épreuve,et on définit les variables aléatoires X1, X2 et X3 égales respectivement au nombre de succès, échec, nul lors des n épreuves. échec, nul à la i-ème épreuve 1) Dans cette question, n = 5. Quelle est la probabilité d'obtenir dans cet ordre 2 succès suivis d'un échec et de 2 nuls ? Quelle est celle d'obtenir (sans condition d'ordre) 2 succès, 1 échec et 2 nuls ? 2) Généraliser en montrant que la probabilité d'obtenir au cours des n épreuves (et sans condition d'ordre) i succès, j échecs et k nuls (i + j + k = n) vaut : n! i! j! k! piqjrk. Vérifier que cela définit bien une loi de probabilité qui est celle du vecteur aléatoire (X1, X2, X3).

loi de z

penalties

réelle positive

penalty face

a?1e?t dt

variable aléatoire

séance des penaltys

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Penalty Variable aléatoire

UniversitÉ U.F.R. de

IPE Math 306

des Sciences et MathÉmatiques

Technologies de Lille Pures et AppliquÉes

AnnÉe 2008–2009

o Fiche n5 Ex 1. L’angoissedu gardien de but. On considÈre une suite denÉpreuves rÉpÉtÉes indÉpendantes avec pour chaque Épreuve trois issues possibles :succÈsavec probabilitÉp,Échecavec probabilitÉqounulavec probabilitÉr(p+q+r= 1). On note respectivementSi,EietNiles ÉvÉnements succÈs,Échec,nulÀ lai-Ème Épreuve,et on dÉﬁnit les variables alÉatoiresX1,X2etX3 Égales respectivement au nombre desuccÈs,Échec,nullors desnÉpreuves.Échec,nul À lai-Ème Épreuve 1) Danscette question,n= 5. Quelle est la probabilitÉ d’obtenir dans cet ordre2 succÈs suivis d’un Échec et de2Quelle est celle d’obtenir (sans condition d’ordre)nuls ? 2succÈs,1Échec et2nuls ? 2) GÉnÉraliseren montrant que la probabilitÉ d’obtenir au cours desnÉpreuves (et sans condition d’ordre)isuccÈs,jÉchecs etknuls (i+j+k=n) vaut : n! i j k p qr . i!j!k! VÉriﬁer que cela dÉﬁnit bien une loi de probabilitÉ qui est celle du vecteur alÉatoire (X1, X2, X3). 3) Quelleest la loi des variables alÉatoiresX1,X2etX3? Ces variables alÉatoires sont-elles indÉpendantes? 4) Onrevient au casn= 5et on dÉﬁnit la variable alÉatoireZ=X1−X2. Calculer P(Z= 0). 5)Application: Un match de coupe entre deux Équipes de football s’Étant terminÉ sur un score nul, l’Équipe qualiﬁÉe est dÉsignÉe par la sÉance des penaltys. Un joueur de l’Équipe A tire un penalty face au gardien de l’Équipe B, puis un joueur de l’Équipe B tire un penalty face À celui de l’Équipe A et ainsi de suite jusqu’À ce que chaque Équipe ait tirÉ 5 penaltys. On admet que la probabilitÉ de rÉussir un penalty est dans chaque cas de0,7et que tous les tirs sont indÉpendants. Calculer la probabilitÉ que les deux Équipes soient encore À ÉgalitÉ aprÈs avoir tirÉ chacune ses 5 penaltys. Calculer la probabilitÉ de qualiﬁcation de A au bout de ses 5 penaltys. Ex 2. Covariancesd’une loi multinomiale On considÈreX= (X1, . . . , Xn)un vecteur de loi multinomialeMult(n, p1, . . . , pd)oÙ P d nest un entier etp1, . . . , pdsont des rÉels positifs tels quepi= 1 i=1 1) Expliquersans calcul pourquoiVar(X1+∙ ∙ ∙+Xd) = 0. 2) Quelleest la loi deXipour1≤i≤d?? Que vaut sa variance 3) Pouri6=j, donner la loi et la variance deXi+Xj.

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