Die Potentialfunction und das Potential

Rudolf Clausius

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• Publié le: 08 décembre 2010
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The Project Gutenberg EBook of Die Potentialfunction Rudolf Clausius

und das Potential, by

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Title: Die Potentialfunction und das Potential

Author: Rudolf Clausius

Release Date: June 1, 2010 [EBook #32634]

Language: German

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GUTENBERG EBOOK DIE

POTENTIALFUNCTION ***

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DIE

POTENTIALFUNCTION

UND DAS

POTENTIAL.

DIE

POTENTIALFUNCTION

UND DAS

POTENTIAL.

EIN

BEITRAG ZUR MATHEMATISCHEN PHYSIK

VON

R. CLAUSIUS.

V I E R T E A U F L A G E.

LEIPZIG

JOHANN AMBROSIUS BARTH.

1885.

Leipzig. Druck von Grimme & Trömel.

Vorwort.

Die vorliegende Schrift beschäftigt sich mit der schon vonLaplace 1 2 undPoissonangewandten und später vonGreen) undGauss) speciell behandelten Function, welcherGreenden NamenPotential functiongegeben hat, und sie hat den Zweck, den Leser auf möglichst einfache Art mit dieser Function vertraut zu machen. Sie giebt daher eine von den Grundgleichungen der Mechanik aus gehende, zusammenhängende Auseinandersetzung von der Bedeutung dieser Function, von den Bedingungen, unter denen sie anwendbar ist, und von den wichtigsten über ihr Verhalten geltenden Sätzen. Daran schliesst sich zugleich die Behandlung einer anderen Grösse an, welche vonGreengar nicht und vonGaussnur gelegentlich und unvollstän dig besprochen ist, nämlich des aus der Potentialfunction durch Integra tion hervorgehendenPotentials, welches als Ausdruck der von Natur kräften gethanen mechanischen Arbeit in der mathematischen Physik eine grosse Rolle spielt. Die gegenwärtige vierte Auflage entspricht der dritten und unter scheidet sich von den beiden ersten vorzugsweise durch eine beträchtli che Vermehrung des Inhaltes. In dem ursprünglichen und bei den ersten Auflagen eingehaltenen Plane des Buches lag es nur, diejenigen Glei chungen und Sätze, welche für das eigentliche Wesen der Potentialfunc tion und des Potentials characteristisch sind, zu entwickeln und unter Berücksichtigung aller in Betracht kommenden Fälle zu beweisen, und demgemäss wurde von der Aufnahme weiterer, die Potentialfunction be treffender Gleichungen und Sätze, wie sie in den Schriften vonGreen, GaussundDirichletvorkommen, abgesehen. Bei der Bearbeitung

1 )An Essay on the Application of mathematical Analysis to the theories of Elec tricity and Magnetism; byGeorge Green. Nottingham 1828. — Wieder abge druckt inCrelle’s Journ. Bd. 44 u. 47. 2 )Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs und Abstossungskräfte. Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre 1839.

Vorwort.

V

der neuen Auflagen hat es mir aber doch zweckmässig geschienen, auch von diesen Gleichungen und Sätzen die wichtigsten, welche nicht blos Anwendungen auf specielle Körperclassen enthalten, sondern von allge meiner Bedeutung für die Potentialtheorie sind, mit aufzunehmen und dadurch der Auseinandersetzung eine grössere Vollständigkeit zu ge ben, und ich zweifele nicht daran, dass dieses von den Lesern als eine Verbesserung anerkannt werden wird.

Bonn, März 1885.

R. Clausius.

§ 1. § 2. § 3. § 4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. § 10. § 11. § 12. § 13. § 14.

Inhalt.

I. Die Potentialfunction. Seite Ausgangspunct der Betrachtungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Bedingungen, welche als erfüllt vorauszusetzen sind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Einfache Bestimmung der auf die Kraft bezüglichen Grössen durch die FunctionU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Geometrische Darstellung mit Hülfe der Niveauflächen. Benennung der FunctionU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Hauptfall, in welchem eine Kraftfunction existirt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Beschränkung auf solche Kräfte, welche dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional sind, und Beziehung der Kräfte auf Agentien.10 Annahmen, unter denen die Kraftfunction zur Potentialfunction wird. .13 Messung der Agentien und Festsetzung des Coefficientenε. . . . . . . . . . . . .14 Ueber den Namen Potentialfunction und das bei der Bestimmung dieser Function angewandte Vorzeichen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 Das Potentialniveau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Bestimmung der Potentialfunction für den Fall, wenn der Punctpsich innerhalb des von dem wirksamen Agens stetig erfüllten Raumes be findet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 Bestimmung der Potentialfunction einer Kugelschicht, in welcher die Dichtigkeit eine Function des Radius ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 Bestimmung der Kraftcomponenten für einen im Innern des wirksamen Körpers liegenden Punct. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Bestimmung der Differentialcoefficienten der Potentialfunction für einen im Innern des wirksamen Körpers liegenden Punct. . . . . . . . . . . . . . . . . .30

§ § § § § § § § § § § § § § § § § § § §

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34.

Inhalt.

VII

Seite 33 36 38 41 42 45 48 53 59 63 70 72 74 75 79 84 88 90 93 96

Satz in Bezug auf die zweiten Differentialcoefficienten der Potentialfunc tion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gestaltung des vorigen Satzes für den Fall, wenn der betrachtete Punct sich innerhalb des wirksamen Körpers befindet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beweis des Satzes für den Fall eines homogenen Körpers. . . . . . . . . . . . . . . Veränderte Form der Gleichung (II.) und vorläufige Beschränkung. . . . . Umgestaltung der Ausdrücke der Kraftcomponenten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beweis der Gleichung (IIa.) für homogene Körper. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beweis der Gleichung (IIa.) für nicht homogene Körper. . . . . . . . . . . . . . . . Erweiterte Anwendbarkeit der auf homogene Körper bezüglichen For meln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erweiterte Anwendbarkeit der auf nicht homogene Körper bezüglichen Formeln. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Specielle Betrachtung des Falles, wenn der Punctpsich in unmittelbarer Nähe der Oberfläche befindet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einfluss des Umstandes, wenn die Krümmung der Oberfläche an der betreffenden Stelle unendlich gross ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zurückführung des Falles, wo in der Nähe vonpeine sprungweise Aen derung der Dichtigkeit stattfindet, auf den vorigen. . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhäufung eines Agens auf einer Fläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bestimmung der Potentialfunction für eine gleichförmig mit dem Agens bedeckte ebene Figur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verhalten der Differentialcoefficienten erster Ordnung der Potentialfunc tion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeln, zu welchen man gelangt, wenn man den in Gleichung (95) ge gebenen Ausdruck der Potentialfunction differentiirt. . . . . . . . . . . . . . . . Verhalten der Differentialcoefficienten zweiter Ordnung der Potential function. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Betrachtung einer gleichförmig mit Agens bedeckten Kugelfläche. . . . . . . Betrachtung einer beliebig gekrümmten Fläche, in welcher die Dichtig keit des Agens nicht constant zu sein braucht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verhalten der GrösseE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ § § § § § § § § § § § § § § § §

35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51.

Inhalt.

VIII

Seite Verhalten der GrössenFundG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 Specieller Fall, wenn an der betreffenden Stelle die Krümmung der Flä che unendlich gross ist, oder die Dichtigkeit sich unendlich schnell ändert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105 Potentialfunction einer gleichförmig mit Agens bedeckten geraden Linie.107 Beweis der characteristischen Gleichungen für eine gekrümmte und un gleichförmig mit Agens bedeckte Linie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109 Characteristische Gleichungen für eine in einem Puncte concentrirt ge dachte Menge des Agens und Zusammenstellung der verschiedenen characteristischen Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114 Satz vonGreen. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Erweiterung der vorstehenden Gleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119 Satz über den nach der Normale einer geschlossenen Fläche genommenen Differentialcoefficienten der Potentialfunction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 Bestimmung der Potentialfunction eines durch eine Fläche von dem be treffenden Raume getrennten Agens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 Betrachtung des Falles, wo nur die Potentialfunction selbst in der Fläche gegeben ist. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 Green’sNachweis von der eindeutigen Existenz der Functionu. . . . . . .133 Dirichlet’sche Verallgemeinerung des vorstehenden Satzes und Beweis derselben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135 Flächenbelegung, deren Potentialfunction in der Fläche selbst vorge schriebene Werthe hat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140 Ersetzung des durch einen Raum verbreiteten Agens durch Agens, wel ches sich nur auf der Grenzfläche des Raumes befindet. . . . . . . . . . . . . .141 Bestimmung einer FunctionV, welche die GleichungΔV=−4πεker füllt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142 Ausnahmestellen und deren Absonderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144 Bestimmung der FunctionVunter Berücksichtigung der Absonderungs flächen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

§ § § § § § § § § § § § § §

52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65.

Inhalt.

IX

II. Das Potential Seite Ausgangspuncte für die Auseinandersetzung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 Begriff der virtuellen Bewegungen und Unterscheidung zweier Fälle. . . .153 Begriff der virtuellen Momente und Ausdruck des betreffenden Satzes. .155 Ausdruck desselben Satzes unter Anwendung des Begriffes der Arbeit. .157 Dasd’Alembert’sche Princip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 Satz von der Aequivalenz von lebendiger Kraft und Arbeit, und Bedin gung, welche für seine Gültigkeit erfüllt sein muss. . . . . . . . . . . . . . . . . .161 Unterschied in Bezug auf die Ausführbarkeit des die Arbeit darstellenden Integrals und Einführung des Ergals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166 Veränderter Ausdruck der Gleichgewichtsbedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 Die Energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 Ein Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .170 Ein anderer Fall, in welchem die Kräfte ein Ergal haben. . . . . . . . . . . . . . .173 Potential eines entweder in einzelnen Puncten concentrirten oder durch einen Raum stetig verbreiteten Agens auf ein anderes. . . . . . . . . . . . . . .176 Potential eines Systemes von Puncten, welche mit Agens versehen sind, oder eines durch einen Raum stetig verbreiteten Agens auf sich selbst.179 Anwendung der Potentiale zur Bestimmung der Arbeit. . . . . . . . . . . . . . . .183

Zusatz I. Ableitung der in § 17 erwähnten Form der Potentialfunction eines ho mogenen Körpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185

Zusatz II. Beweis des in § 29 angeführten Satzes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195