Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions

Ernst Leonard Lindelöf

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• Publié par: epsau
• Publié le: 08 décembre 2010
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The Project Gutenberg EBook of Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions, by Ernst Leonard Lindelöf This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions Author: Ernst Leonard Lindelöf Release Date: August 24, 2009 [EBook #29781] Language: French Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK LA THÉORIE DES FONCTIONS *** Produced by Joshua Hutchinson, Andrew D. Hwang, and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images generously made available by Cornell University Digital Collections) Note sur la transcription Ce livre a été préparé à l’aide d’images fournies par la Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection. Des modifications mineures ont été apportées à la présentation, l’orthographe, la ponctuation, et aux notations mathématiques. Ce fichier est optimisée pour imprimer, mais peut être aisément reformater pour être lu sur un écran. Veuillez consulter le préambule A du fichier L TEX source pour les instructions. COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS ´      M. É B.  LE CALCUL DES RÉSIDUS ET SES APPLICATIONS À LA THÉORIE DES FONCTIONS PAR E LINDELÖF, PROFESSEUR À L’UNIVERSITÉ DE HELSINGFORS. PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE D U B U R E A U D E S L O N G I T U D E S , D E L ’ É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E, Quai des Grands-Augustins, 55. 1905 LE CALCUL DES RÉSIDUS ET SES APPLICATIONS À LA THÉORIE DES FONCTIONS. LIBRAIRIE GAUTHIER-VILLARS. COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. PUBLIÉE SOUS LA DIRECTION DE M. ÉMILE BOREL. Leçons sur la théorie des fonctions (Éléments de la théorie des ensembles et applications), par M. É B, 1898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leçons sur les fonctions entières, par M. É B, 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . Leçons sur les séries divergentes, par M. É B, 1901 . . . . . . . . . . . . . . . . . Leçons sur les séries à termes positifs, professées au Collège de France par M. É B et rédigées par M. Robert d’Adhémar, 1902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leçons sur les fonctions méromorphes, professées au Collège de France par M. É B et rédigées par M. Ludovic Zoretti, 1903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives, professées au Collège de France par M. H L, 1904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Leçons sur les fonctions discontinues, professées au Collège de France par M. R´ B et rédigées par M. A. Denjoy, 1905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes, professées à l’École Normale, par M. É B, rédigées par Maurice Fréchet avec des Notes de M. P. P´ et de M. H. L,  1905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN PRÉPARATION : 3 fr. 50 3 fr. 50 4 fr. 50 3 fr. 50 3 fr. 50 3 fr. 50 3 fr. 50 4 fr. 50 Quelques principes fondamentaux de la théorie des fonctions de plusieurs variables complexes, par M. P C. Leçons sur les séries de polynomes à une variable complexe, par M. É B. Leçons sur les correspondances entre variables réelles, par M. J D. Principes de la théorie des fonctions entières de genre infini, par M. O B. Leçons sur les séries trigonométriques, par M. H L. Leçons sur la fonction ζ(s) de Riemann et son application à la théorie des nombres premiers, par M. H  K. COLLECTION DE MONOGRAPHIES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS ´      M. É B.  LE CALCUL DES RÉSIDUS ET SES APPLICATIONS À LA THÉORIE DES FONCTIONS PAR E LINDELÖF, PROFESSEUR À L’UNIVERSITÉ DE HELSINGFORS. PARIS, GAUTHIER-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE D U B U R E A U D E S L O N G I T U D E S , D E L ’ É C O L E P O L Y T E C H N I Q U E, Quai des Grands-Augustins, 55. 1905 (Tous droits réservés.) PRÉFACE. Les progrès réalisés depuis quelques années dans la théorie des fonctions analytiques ont fait ressortir combien sont toujours fécondes et efficaces les méthodes ingénieuses créées par Cauchy, parmi lesquelles il convient de citer en premier lieu le Calcul des résidus. Il n’est donc pas sans intérêt de revenir maintenant sur ce Calcul classique et d’étudier systématiquement le rôle qu’il joue dans la théorie des fonctions proprement dite. C’est ce que nous avons tâché de faire dans ce petit Livre, en vue de faciliter dans une certaine mesure l’accès des parties modernes de l’Analyse. Dans le premier Chapitre, nous passons rapidement en revue les principes et théorèmes généraux dont nous aurons à faire usage, en cherchant d’ailleurs à varier un peu ce sujet tant de fois exposé. Ayant fait une étude détaillée des travaux de Cauchy, y compris quelques Mémoires peu répandus que M. Mittag-Leffler a généreusement mis à notre disposition, nous avons tenu à relever les dates et à faire ressortir la portée de ses découvertes, ce qui nous a paru d’autant plus nécessaire qu’on rencontre souvent, dans la littérature, des indications assez peu exactes à ce sujet. Le deuxième Chapitre contient diverses applications du Calcul des résidus, dues pour la plupart à Cauchy. Cependant les limites restreintes imposées à cet Ouvrage ne nous ont permis de donner qu’une idée très imparfaite du parti que Cauchy avait tiré lui-même de son Calcul. Parmi les applications faites par lui qui n’ont pu trouver place dans ce Chapitre, nous devons signaler surtout la méthode qu’il a employée pour obtenir des séries analogues à celle de Fourier, méthode dont on trouve une très belle exposition au Tome II du Traité d’Analyse de M. Picard. Le troisième Chapitre est consacré aux formules sommatoires. Le Calcul des résidus, appliqué systématiquement, permet de rattacher toutes ces formules, avec leurs conséquences multiples, à un même principe simple et naturel, et contribue ainsi à mettre plus d’ordre et d’unité dans cette partie si intéressante de l’Analyse. Comme application de ces formules, nous en déduisons, au quatrième Chapitre,  ´ .  une grande partie des expressions et des développements trouvés, à différentes époques et par différentes méthodes, pour la fonction gamma et pour la fonction de Riemann. Ce Chapitre contient aussi quelques résultats nouveaux relatifs à la série de Stirling. Enfin, au dernier Chapitre, nous donnons un aperçu de quelques résultats modernes relatifs au prolongement analytique et à l’étude asymptotique des fonctions définies par un développement de Taylor, en insistant surtout sur certains théorèmes généraux riches en applications et qui semblent présenter un caractère définitif. Ici encore nous avons dû être assez bref et laisser de côté bien des questions intéressantes, mais nous espérons néanmoins que notre exposition ne sera pas sans utilité pour ceux qui désirent approfondir le sujet. Nous tenons à exprimer ici nos vifs remercîments à M. Émile Borel, qui nous a invité à écrire ce Livre et qui, ensuite, en revoyant les épreuves, a bien voulu nous assister de ses précieux conseils. Helsingfors, le 13 novembre 1904.