Polycopié du Cours première année

Nicolas Savy

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Extrait

Probabilit´espremi`ereanne´e ———————– Enonc´esdesexercices ———————– Version du 20 novembre 2007

Universite´PaulSabatier-Toulouse3 IUT de Toulouse 3 A D´epartementGEARangueil

Nicolas SAVY [e-mail] Bureau 111

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De´nombrements

Exercice 1 Uneurnecontientdixboulessurlesquellesonte´te´marqu´eeslesdixlettresdel’alphabetdeA `aJ.Ontiresuccessivementquatreboulessansremiseetl’oninscritdansl’ordreleslettresport´ees parlesboulestire´es. Combien de mots de quatre lettres (ayant un sens ou non) peut-on former ?

Exercice 2 Combien de mots de trois lettres peut-on former en utilisant les lettres du mot PARIS et uni- quementcelles-la`?

Exercice 3 Lors d’une course de chevaux, il y a 8 partants. Combiendepossibilit´esy-a-t-ilpourletierce´final?Pourlequart´e?

Exercice 4 Combiendenombresde4chiffrespuis-je´ecrireenutilisantuniquementleschiffres3,6,7?

Exercice 5 Consid´eronsunjeude32cartes. 1. Combien y a-t-il de mains de cinq cartes ? 2. Combien y a-t-il de mains de cinq cartes contenant exactement 2 coeurs ? 3. Combien y a-t-il de mains de cinq cartes contenant au moins un roi ?

Exercice 6 Lorsd’untiragedulotode4num´erosavec10boules,combieny-a-t-ildegrillespossibles? Lorsd’untiragedulotode6num´erosavec49boules,combieny-a-t-ildegrillespossibles?

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Probabilit´es

Exercice 1 On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 carte et on suppose que tous les tirages sont e´quiprobables.Onconsid`erelese´ve´nementssuivants:

A:“Lacartetire´eestunroi”, B:“Lacartetire´eestuntre`fle” C:“Lacartetire´eestunecartenoire”

1.D´efinirparunephraselese´v´enementsA,B,C,A∩B,B∩C,A∩B∩C,A∪B,B∪Cet A∪B∪C. 2.Calculerlesprobabilit´esdeA,B,C´eestdeenemenv´d-sesticus.s

Exercice 2 Onconsid`erelese´l`evesd’uneclasse.Troislanguesleursontpropos´eescommeoption,lerusse, l’italienetl’espagnol.Les´el`evespeuventn’enchoisiraucune,enchoisirune,deuxoulestrois.On noteC,etlcsaessonactte`le´sedepmocsevelblemns’eRmbledes´l’ensee,lentssRusiohassie`lecsev I’itaantlsisschoivesee´`ldesemelblns’eteneilEceux pratiquant l’espagnol. 1.Traduireenfranc¸aislesensemblessuivantsR∩E,R∪I,I,I∩E. 2. Traduire en utilisant le formalisme ensembliste –Les´el`evesquifontrusseetespagnol –Lese´le`vesquineparlentaucunedestroislangues –Les´el`evesquiparlentaumoinsunedestroislangues 3.Relierlesensembles´egaux: (I\(E∩I))∪(E∩I)∅ R∩E∩I C (R\(R∩E∩I))∩(E∩I) (C\(R∩E∩I))∪(C\(R∩E))∪(C\(R∩I))∪(C\R) C\R(R∩E)∩(E∩I)∩(R∩I) R∪I∪E∪(I∩R∩E)I Exercice 3 Onlanceunde´a`sixfaces´equilibr´e.Calculerlesprobabilite´sd’obtenirunnombrepair,un multiplede3,unnombrestrictementsupe´rieura`3puiscelled’obtenirunnombrea`lafoispairet supe´rieura`3.

Exercice 4 Onconside`reles´ev´enementsale´atoiressuivants:

A : ”Ce jeudi, il y aura du vent” et B : ”Ce jeudi, il y aura de la pluie”.

M´ete´o-Franceaannonce´lesprobabilite´ssuivantes: 3 1 2 5 P[A] =,P[B] =,P[A∩B] =,P[A∪B] =. 4 2 5 6 1.AetBsont-ilsind´ependants?Sont-ilsincompatibles?

2.Expliciterlese´ve´nementssuivants`al’aidedesop´erationsensemblistes:

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– C : ”Ce jeudi, il y aura de la pluie ou du vent”. – D : ”Ce jeudi, il y aura de la pluie et du vent”. – E : ”Ce jeudi, il n’y aura ni pluie, ni vent”. – F : ”Ce jeudi, il y aura de la pluie mais pas de vent”. – G : ”Ce jeudi, il y aura ou de la pluie, ou du vent”, mais pas les deux”. 3.Calculerlesprobabilit´esdese´ve´nementspre´c´edentsenmenantvoscalculssousformefrac- tionnelle. Exercice 5 Uneurnecontientquatreboulesnum´erot´ees10,20,30et40.Oneffectuetroistiragessuccessifs avecremise,c’est-`a-direqu’apr`eschaquetirageonreplacelabouletir´eedansl’urne.Ler´esultat d’uneexp´eriencepeutalorseˆtrerepre´sente´paruntriplet,unelisteordonne´edetrois´el´ementsde l’ensembleE={10,20,30,40}. 1.Combienya-t-ildere´sultatspossibles? 2.Quelleestlaprobabilite´d’obtenirlescassuivants: (a)Lapremi`erebouletire´eportelenume´ro10,ladeuxi`emelenum´ero40,latroisie`mele num´ero20? (b)Lapremi`erebouletire´eportelenum´ero30etladeuxi`emelenume´ro20? (c)Ladeuxi`emebouleportelenume´ro20?

Exercice 6 Soitunstockde10pi`ecesme´caniquesd’aspectidentiqueparmilesquelles3sontd´efectueuses. 1.Quelleestlaprobabilit´epourqu’unepie`cesoitde´fectueuses? 2.Onprendsuccessivement3pie`cesauhasard,avecremiseapre`schaquepre´le´vement. Quelleestlaprobabilite´pourqueles3pi`ecessoientd´efectueuses? 3.Onprendsuccessivement3pi`ecesauhasard,sansremise. Quelleestlaprobabilite´pourqueles3pi`ecessoientde´fectueuses?

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Probabilite´s

conditionnelles

Exercice 1 Unefranchisedemodeposse`detroismagasinsA,B,Cquirecoiventrespectivement20,30et50 %delaproduction.Laprobabilite´qu’unproduitinvendu(´eve´nementI)aite´te´retourn´eparA,B ou C est : P[I|A] = 0,05,P[I|B] = 0,04,P[I|C] = 0,01

1.D´eduiredel’e´nonce´lesprobabilite´sP[A],P[B],P[C] qu’un article soit respectivement dis- tribu´eparA,BouC. 2.Rappellerlesdeuxexpressionsdelaformuledesprobabilite´stotalespourlapartition{A, B, C}. 3.Ende´duirelaprobabilite´qu’unproduitsoitinvendu. 4.RappellerlaformuledeBayespourles´eve´nementsAetI,puisIet C.

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