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Remarques de M. Rolle, de l'Académie Royale des sciences, touchant le problesme genéral des tangentes

De
51 pages
J. Boudot (Paris). 1703. [II]-47-[I] p. ; in-4.
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REMARQUES
DE
M ROLLE
DE L'ACADEMIE ROYALE
D|S SCIENCES
, LI, - Touchant
LE FROBLESME GENERAL
1. DES TANGENTES-
A PARIS,
Chez JEAN BOUDOT, Libraire , Imprimeur du Roy,
&. de r Academie Royale des Sciences, rue Saint Jacques,
1 au Soleil d'Or.
M D C C I I I.
a Jj
APPROBATION.
J'AY u par ordre de Monteur l'Abbé B i GNON ces
Remarques dont les pages font i. 1. 13. jufqu'à 108. par
M. RoIIe ; Je n'y ay rien trouvé qui empêche qu'el-
les ne foient imprimées, l'Auteur neanmoins pourra retran-
cher. FAIT a Paris le quatorze May 1703.
TH. GOUYE, S. J.
"PRIVILEGE D V T^O T.
NAVARRE : A nos améz 8c féaux Confeillers, les Gens tenanc
LOUIS PAR LA GRÂCE DE DIEU ROY DE FRANCE ET DI
m nos Cours de Parlement, Maîtres des Requêtes ordinaires de
nôtre Hôtel, Baillifs, Sénéchaux , Prévôts, Juges, leurs Lieutenans ,
& à tous autres nos Jufticiers & Officiers qu'il appartiendra : SALUT.
L'Academie Royale des Sciences , Nous a trés-humblement fait re-
montrer que fuivant le nouveau Reglement que Nous luy avons don-
ne , Elle redoublera fes foins pour publier divers Ouvrages tant de
Remarques ou Obfervations journalières, & des Relations annuel-
les de ce qui aura été fait dans fes Alïèmblées , que d'autres Mémoi-
res, Livres & Traitez faits par les Académiciens qui la compofênt,
Nous fuppliant de luy vouloir allffi accorder toutes Lettres & Privi-
lèges necefïàires pour faire imprimer , vendre & debiter par tel Li-
braire qu'Elle choifîra, tous & tels Ouvrages qu'Elle aura approuvés.
A CES CAUSES, & nôtre intention étant de procurer à ladite Acadé-
mie en Corps & à chaque Académicien en particulier, toutes les fa-
cilités & tous les moyens qui peuvent contribuer à rendre leur tra-
vail utile au Public, Nous luy avons permis 8c accordé, permettons
& accordons par nos prefèntes Lettres, de faire imprimer, vendre &c
debiter en tous les lieux de nôtre Royaume par tels Libraires qu'Elle
jugera à propos de choinr : Les Remarques ou Obfervations journa-
lieres, & les Relations annuelles de ce qui aura été fait dans les jîflem-
blées de ladite jicademie , & generalement tout ce qu'Elle voudra
faire paroitre en fon nom , comme auffi les autres Ouvrages , Me.
moires, Traitez ou Livres des Particuliers qui la compofênt, lorfqu'-
aprés les avoir examinez , approuvez aux termes de l'article trente
dudit Reniement , Elle les jugera dignes d'être imprimez. FAISONS
trés-expreffes deffenfes à toutes fortes de perfonnes de quelque qua-,
lité-celles foient, & nommément à tous autres Libraires & Impri-1
meurs, que celuy ou ceux que l'Academie aura choifis, d'imprimer,
vendre ou débiter aucuns defdits Ouvrages en tout ou en partie &c
fous quelque prétexte que ce puiflè être, à peine contre lesContreve-
nans de connfcation au profit dudit Libraire, de tous les Exemplaires
contrefaits & de trois mil livres d'amende, applicable un tiers àNous,
l'autre tiers à l'Hôpital du lieu où la contravention aura été faite, &
l'autre tiers au Dénonciateur, à condition qu'il fera mis deux Exem-
plaires defdits Ouvrages dans Nôtre Biblîotheque publique , un en
celle du Cabinet de nos Livres en nôtre Maifon du Louvre, & un en
celle de nôtre très-cher 8c feal Chevalier Cbtnmandeur de nos Ordres,
le lieur Boucherat, Chancelier de France, avant que de les expofer en,
vente ; & à la charge auffi que lefdits Ouvrages feront imprimez fur
de beau & bon papier & en beaux caraéleres, fuivant les derniers Re-
glemens de la Librairie & Imprimerie, 8c de faire enregiftrer ces Pre-
lentes fur le Regiftre de la Communauté des Libraires & Imprimeurs
de Paris, le tout à peine de nullité des Présentes ; du contenu defquel-
les Vous mandons. & enjoignons faire jouir & ufer ladite Academie & -
tes Ayans-caufe pleinement &*paifiblement, celïànt 8c faifantcener
tous troubles 8c empêchemens contraires. Voulons qu'en mettant au
commencement ou à la fin defdits Ouvrages, l'Extrait des Prefentes,
elles foient tenuës pour dûement ngninées, 8c qu'aux copies collation-
nées par l'un de nos Amez & féaux Confeillers Secrétaires, foy foit
ajoutée comme à l'Original : Commandons au premier nôtre. Huiffier
ou Sergent fur ce requis de faire pour l'exécution des prefentes tous
Exploits , faifies 8c autres Actes neceflfaires fans autre provifion : CAR
tel eft nôtre plaifir. DONNE' à Verfailles le fixiéme jour d'Avril, l'an
de grace mil (ix cens quatre-vingt-dix-neuf, & de nôtre Règne le cin-
quante-fix. Signé, LOUIS. Et plus bas, Par le Roy, PHELYPEAUX.
Regiflré fur le Livre de la Communauté des Imprimeurs & Libraires, conforme-
mmt aux Régltmms, à PRrisle huitilme Mars 1699.
C. BAL L A RD, Syndic.
Collationne à l'Original, par Nous Confeiller Secretaire du Roy*
Ma'ifon Couronne de France & de fes Finances.
L'Academie a cédé le droit du prefent Privilege au lieur JEAN
BOUDOT, Libraire à Paris, & fon Libraire ordinaire, pour en jouir
luy feul & à l'exclufionde tous autres, dans toute fon étendue, fuivant
les conditions d^Traitçîal>.entre ladite Academie & luy, le onzième
Juillet 1699i /, > •
REMARQUES
A
REMARQUES
DE
M ROLLE
DE L'ACADEMIE ROYALE
DES SCIENCES,
Touchant le Problême général des Tangentes.
POVR S ERVIR DE R E P L J gJV E
J la Rlponft que l'on a inférée, fous le nom de
M. Saurin, dans le Journal des Sçawans du 3.
Aouft 17 oz.
ART. I.
A Methode des Tangentes Se
celle de Maximis à- Minimis,font
des premieres qui fe prefèntent,
quand on veut s'inftruire de la
Science generale des Lignes cour-
bes, & ces deux Methodes font
des principes pour les grandes recherches qui regardent
De V Origi-
ne fa du
progrès de
lA Methode
ordinaire
des Tagtn*
tes.
1 REMARQUES
cette Geometrie. Il eft aifé de tirer la Méthode des Tan-
genres de celle de Max. & Min; plus facile encore de
tirer celle de Max. & Min. de la Mechode des Tangen-
tes, & l'on peut les former chacune feparément. ZD
Lettres de
M. Defcar-
tes., tom j.
Lettre 61.
Meffieurs Defcartes 6c de Fermât, font les premiers
qui ont entrepris de trouver des Réglés générales pour
ces deux Methodes. Ils ont d'abord réduit ce Problême
de lignes courbes, à un Problême de lignes droites, Se
celuy-cy en Problême d'AIgebre, Pour cela, ils ont fup-
pofé deux abfciffes avec leurs appliquées, 6c que la diffé-
rence de ces abfcifles eft indéterminée: le premier fournit
une Regle pour trouver le cas où les deux abfcilTes font
entierement égales. Le fecond en fournit une autre pour
faire que la difference de ces deux abfcifles foit entièrement
détruite. Ainfi, les premiers principes en font les mêmes ;
de de-là il réfiilce une Egalité dans chacune de ces deux
Methodes, qui fournit toutes les Tangentes ordinaires des
lignes geometriques de tous les genres, lorfque le point
propofé eft donné fur la courbe. Delà auffi s'ouvre un
moyen pour trouver les Tangentes extraordinaires de ces
lignes, & les Tangentes des autres lignes qu'on appelle
Méchaniques ou tranfeendantes. Mais ces deux Metho-
des font d'ailleurs un peu différentes dans la figure, plus
differentes dans le calcul; & M. Defcartes a marqué dans
une Lettre à M. de Beaune, que la fienne en certains cas
n'étoit pas aufli Ample que celle de M. de Fermât. Ce-
pendant M. Defcartes luy-même dans une autre Lettre à
M. Hardy explique & perfeâionne la Methode de M. de
Fermât. Il defïgbe la différence des abfcifles par un fegmenc
de ligne dans la figure, & il la defigne encore par la let-
tre e dans le calcul, comme l'avoit déjà fait M. de Fer-
mat luy-même. Outre cela il fuppofe une droite qui ren-
contre la courbe en deux points, &. qui doit devenirTan-
gente lorfque la difference indéterminée des abfcifles eft
prife pour un zéro abfolu. Il pourfuit fclon les Regles ordinai-
res de la Geometrie & de l'Algebre, & félon les idées de
l'Auteur dont il explique la Methode.
SUR LES TANGENTES. 3
A ij
Enfaite, M. Hudde donna une Regle fort ingenieufe
pour refoudre Iesqueftions de Max. & Min. avec laquelle
on abrege la Methode des Tangentes qui eft particuliere
à M. Defcartes. Cette Methode de M. Hudde eft la plus
Simple que l'on puitfe fbuhaiter pour de Max. & Min. Mais
tous les fecours que l'on a en tiré pourra Methode de M.
Defcartes, n'ont pas empêché que celle de M. de Fermat
n'ait prévalu.
D'autres Auteurs ont cultivé cette Methode de M. de
Fermat; ils l'ont abregée, & ils en ont fait l'application
aux lignes tranfcendantes. C'efi: ce qu'il faut marquer icy
felon l'ordre des dattes pour ma défenfe : Mais aupara-
vant il faut diftinguer deux chofes dans leurs recherches.
1°. La maniere de former la Methode, d'en faire voir
l'origine, & d'en donner la démonftration.
2°. La maniere de retrancher toutes les operations qui
ne font pas nsceffàires pour la pratique, quoique neceSIai-
res pour la démonftration. C'eft a dire, de trouver un ca-
non , une formule ou une égalité qui donne les Tangentes
que l'on demande, de la maniere la plus courte & la plus
facile.
Pour mieux diftinguer ces deux chofës, il eft bon d'ap-
porter icy pour exemple l'égalité generatrice que j'ay mar-
quée en A dans le Journal du 13 Avril, &: que l'on peut
voir icy en C.
Si la différence des y eft nommée e, & que la différen-
ce des x [oit appellée comme l'a voit fuppofé M. Barou
avant que l'on eût parlé du calcul différentiel, il n'y a qu'à
multiplier chaque terme par fon expofant, & mettre cha-
que différence, au lieu d'une des dimenfions de fon ln.
connue. C'eft-là tout ce qu'il faut faire pour trouver la
formule ordinaire des Tangentes; & cette formule dans
l'exemple propofé eft telle qu'on la voit icy en D.
4 Remar q^u e s
Quand on a cette formule on trouve tout d'un coup
l'Egalité qui détermine les Tangentes fur chacun des
Axes de la Courbe. Si l'on veut par exemple l'Egalité des
Tangentes fur l'ASe des y , & que l'on prenne f pour
l'expreflion des Soutangentes, il fuffit de fubftituer f au
lieu de e dans l'Egalité D, & d'y fubftituer x au lieu de d.
Delà il refulcera celle que l'on voit icy en E, pour l'E-
xemple propofé. -
Et fi l'on d-égage r à l'ordinaire, on aura cette même
Egalité fous la forme qui eft marquée icy en F.
Si l'on aimoit mieux la Soûtangente des Je, & qu'on la
nommât t, il n'y auroit qu'à fubftituer t au lieu de <%, & y au
lieu de e.
A mu, la manière de former une de ces trois Egalités
D, E, F, eft auffi la maniere de former les deux aucres;
puifque les fubftitutions ne font pour l'Operation que des
changemens de noms, & que chacun de ces noms eft
defîgné par une feule lettre.
Cela pofé, il fera facile de fçavoir que la formule fon-
damentale du Calcul différentiel n'eft autre chofe que la
formule ordinaire des Tangentes, & qu'elle-étoit publi-
que avant que l'on eût rien fait paroître des premiers
projets de ce Calcul. -
Voir fur ce-
la M. Neu-
vendit dans
fon Analy-
fe des fan-
nis. Chap.
1. art. S. 6.
7. 1.
- En l'année 1674. Mt. Barou donna au public fes Le-
çons Geometriques : Où l'on peut voir page 80. qu'il
propofe un Canon abrégeant pour trouver les Egalitez
C. E. F. & qu'il marque comment on peut y venir & en
donner la Démonftrarion. On a reconnu dans la Préface
de PAnalyfe des Inf. petits quë Mr Barou avoit travaillé
en cela fur les Idées de M'de Fermât.
SUR LES TANGENTES. - 5
A iij
Mr de Tfchirnhaus propofa auffi la Régie la plus abré-
geante pour trouver l'Egalité des Tangentes fous la for-
me qu'on l'a marquée icy en F; dans les Journaux de
Leipfîc du mois de Décembre 16Si. Il fe propofe auflî
bien que Mr Barou d'en faire l'application aux Lignes
méchaniques ; & après cela il ajoute: Demonflrationem ho-
rum omnium fuo loco exbibebo ; quam tamen unujquifque vel
levitèr in Analyticis verfatus ex haHenus exbibitis Methodis
Cartefii, Fermatii, Slufii &c. facile poterit elicere.
Ainfi, les Défenfeurs de l'Analyfe des Inf. petits ne
peuvent pas nier que Mrs Barou Se de Tfchirnhaus ne (è
fuuenc fervis des Idées de Mr de Fermat pour trouver
l'Egalité ou la formule ordinaire des Tangentes qu'ils
nomment Eqalitè différentielle, & l'on y peut voir que la
maniéré delà trouver ne confiffce qu'à multiplier tous les
termes des deux Inconnues de la propofée, chacun par
fon Expofant, & à faire les changemens de noms que
nous avons marquez icv.
Sur cela, il faut obferver que les différences telles que
a ou e, font toûjours indéterminées dans l'hypotéfe de
Mr de Fermât : qu'elles ne reçoivent aucun changement
ni aucune détermination dans fa Méthode, jufqu'à ce
qu'elles fe trouvent dans la derniere Egalité qui réfulte
de l'Evanouiflement des Inconnues, & que dans cette
Egalité il fubftituë des zeros abfolus au lieu de ces dif-
ferences pour avoir la formule ou l'Egalité des Soûtan-
gentes. C'eft ainfi que Mr Defcartes en a usé pour l'ex-
plication de cette Méthode dans fa Lettre à Mr Hardy,
& cela eft neceflaire pour en donner une véritable Dé-
monflration. De maniere que les Differences A & e n'ont
aucune valeur dans la formule des Soûtangentes. Ce qui
fera prouvé dans la fuite par bien d'autres Voyes.
Alors, ces lettres a & e ne font dans cette formule que
des Expreffions qui peuvent fervir a comparer des rap-
ports; & fi l'on veut leur attribüer de l'étendue de
la divifibilité & des Configurations, il faut regarder 8c
conduire ces fuppolirions comme de faufles hypotefes.
6 R E m A i,, QJJ E S
En l'année 1684. Mr de Leibniz donna dans les Jour-
naux de Leipfic des Exemples de la formule ordinaire des
Tangentes, & il impofa le nom & Egalité différentielle à
cette formule. Parmi ces Exemples, il y en a qui ont des
Signes radicaux; Se il ajoûte qu'il n'eft point necelïaire
de faire évanouir ces Signes pour y appliquer les Régies
dont il fe fert. On y voit auffi qu'il propofe toutes les
formules dont il parle comme l'effet d'une nouvelle Lo-
giftique ou d'un Algorithme nouveau auquel il donne le
nom de Calcul différentiel. C'efl: ce prétendu Algorithme
qui a efté comme le berceau de la Géometrie tranfcen-
dante , & l'on voudroit aujourd'huy qu'il fût auffi le
tombeau de la véritable Géometrie.
Mr de Leibniz n'entreprend point d'expliquer l'Ori-
gine de ces formules dans ce premier Projet, ni d'en don-
ner aucune Démonftfation. Les différences dont il fe fert
ne marquent aucune quantité réelle; ce font des expref-
fions qui peuvent fervir à comparer des rapports, corn,
me dans la formule que l'on a marquée icy en D; 6c on
le verra encore mieux dans la fuite.
Au lieu de l'a & de l'e, il prend dx Se dy. Ce qui eft
fouvent commode dans la pratique lorfque l'on y eft ac-
coûtumé; mais ces nouvelles expreffions dy j dx font
tres-incommodes dans l'Opération & dans les raifonne-
mens lorsqu'il s'agit de faire voir l'origine de la Methode
ou d'en donner la Démonftration 5 & il eft évident que
des changemens d'expreffion ne font pas des principes
de connoiuance.
Mr de Leibniz a donné plufieurs Mémoires en divers
temps pour foûtenir ce Projet, 5c pour le rendre re-
commandable. Il a fupposé une fuite de quantitez incorn-
farablement plus petites les unes qut les autres, Se delà
fe forme une efpece de Syfteme pour expliquer les Me-
thodes que l'on attribue au Calcul différentiel.
Enfin l'on a réuni dani l'Analyfe des' Inf. petits tout
ce qui avoit eflé fait de plus confîderable jufques là pour
celebrer le Calcul différentiel. Au lieu des Incomparables
SUR LES TANGENTES. 7
de Mr Leibniz, on a introduit des Infniment petitJ dans
cette Analyfe, qui ont des conditions différentes de cel-
les des Incomparables, mais pleines de paradoxes.
D'abord l'on propofedans cette Analyfe les premieres
définitions & les fuppofitinns de l'Infini qui ont quelque
vray-femblance, & l'on entreprend d'en tirer une Ega-
lité différentielle. On ne dit pas en y propofant cette Ega-
lité qu'elle n'eft autre chofe que la formule ordinaire des
Tangentes ; &; l'on en parle au contraire comme fi elle
éroit particuliere au Calcul differentiel. On la fait des-
cendre du nouveau Syftéme de l'Infini, & l'on propofe
une Logiftique nouvelle pour appuïer cette nouvelle gé-
néalogie. On y fùppofé une Addition, une SoufiraHion, une
Multiplication, éc une Divijîon. Mais tous ces mots ne
font d'aucun ufage dans cette Occafion. L'on voit
aufiï qu'ils ne reviennent jamais dans la fuite du Livre,
ni dans le détail du Calcul que preferivent les Methodes;
& que l'on ne peut les y introduire fans faire paroître
une affectation qui en feroit remarquer les inutilirez.
Il ne s'agit pour former cerre Egalité différentielle
que de multiplier tous les termes de chaque inconnue
chacun par ton expofanr, & de iubftitiier l'expreffion
des differences détruites, comme l'avoient déjà fait plu-
lieurs Auteurs, & comme je l'ay marqué icy. On ne fait
que cela auffi fur cette formule dans l'Analyfè des Inf.
petits ; ou's'il y a du changement, cen'eftque pour écrire
dxStdy au lieu dea&cdee^ Mais l'on y feroit porté à croire
que toutes ces Operations ne fe font qu'en confequence
du nouveau Syftéme de l'Infini, quoiqu'elles fulïént ré-
glées fur de bons principes avant que l'on eut parlé du
Calcul differentiel, Se que le manège que l'on fait en cela
dans cette Analyfe, ne foit qu'un d-guifement des Ré-
gies qui avoienc déjà paru fur ce fujec; comme je l'ay
fait voir dans des Mémoires que j'ay communiquez à
différentes perfonnes. Et s'il étoit vray que les fuppo-
fidons de l'Infini fulTent des principes de connoiffance,
on n'auroit pas pÚ. dire delà comme on l'a dit dans le
1 It E m A P, 0, u F. s
Journal du 3. Aouft, que je n'ay pû tirer les Régies que
j'ay propofeesdans le Journal du 13. Avril que du Calcul
différentiel feulement, ni m'accufer en cela d'lnjujiice,
puifque je ne me fers point de ces Supposions, mais
e lement des principes & des voyes ordinaires qui étoient
en ufage avant qu'on eût parlé de ce Calcul.
Art. II. On pourra voir icy par des effets, que les
Régies dont je me fuis fervi pour de nouvelles Tangen-
tes dans le Journal du 13. Avril font fort differentes de
toutes les Régies de l'Analyfe des In£ petits. Mais avant
que d'en venir à l'experience, on pourroit encore s'afîu-
rer en plufieurs maniérés, que je ne me fuis point fervi
pour former ces Régies, ni des principes, ni du tour
qu'on a pris dans cette Analyfe. Non feulement je ne
me fuis point fervi en cela de tout ce que l'on y pro-
pofe pour principe d'invention , de Theorie & de Dé-
monftration i mais il ne fe trouvera point auffi dans la
premiere, manière de trouver les formules, que les ope-
rations dont je me fers (oient femblables à celles dont
on fe fert dans l'Analyfe des Inf. petits. C'eft principa-
lement de cette premicre manière dont il s'agit : Car la
génération de l'Egalité B que j'y ay marquée eft en ce-
la un principe neceflaire pour faire voir comment ces
formules conduifent aux nouvelles Tangences ; en quoi
l'on n'a pas befoin delà feconde manière que je propo-
fe pour trouver ces formules, & cela n'eft pas récipro-
que. Car l'on ne fçauroit démontrer les Régies que j'ai
proposées par la féconde manière fans fùppofer la premiére;
enforte que la premiere peut fuffire pour la Theorie & pour
la Pratique, & que la feconde ne peut fervir que pour
abréger, en certains Cas , les Opérations Analytiques.
Que les
différents
de l'Analy-
fe des Inf.
petits, font
infiniment
différentes
4e celles
C'eft cette premiere manière la feule importante icy,
que l'on n'a touchée qu'en payant dans le Journal du 3.
Aouft. On y fuppofe i0. que n" n 'lJ dont je me fuis fervi
pour marquer les différences, font la même chofe que
le d x & le d y du Calcul différentiel. 2°. Que c'eft en-
core la même chofe pour trouver l'Egalité B dans le
Journal
SUR LES T ANGENTES. 9
B
Journal du 13. Avril, d'y fubftituery -+ dy au lieu dey,
& x -+ d x au lieu de x, que d'y fubftituery --i- n zau
lieu dey, ôc x–h n v au lieu de x.
11 y a plufieurs remarques confiderables à faire fur ce fujet.
dont [e me
fuis fciri
dans le
Journal du
13. Avril.;
D'abord on peut obferver qu'il y a de très-grandes
différences entre les dx, dy du Calcul differentiel , 6c les
s z,, n v dont je me' fuis fervi.
10. nzjk.nv marquent toujours des différences finies &
réelles; au lieu que dans le Didionnaire du Calcul diffé-
rentiel les dx & dy marquent toûjours des Infinis , & que
ces expreflions ne defignent effectivement aucune quan-
tité réelle , dans l'égalité différentielle.
20. Chacune des expreflions ns^9 nv marque toûjours
le produit de deux quancitez ; ce qui n'arrive jamais à
d x ni à d y, félon l'Analy/è des infiniment petits. ;
3°. La lettre n commune à n z & n v défigne toûjours
un commun diviïéur de ces deux differences ; mais la
lettre d commune aux deux differences dy, dx ne marque
jamais de commun divifeur.
4°. La lettre n ne fe trouve jamais dans l'égalité qui ré-
faite des triangles femblables ni dans les formules des Tan-
gentes ; mais la lettre d fe trouve toujours dans cette éga-<
1ité, & fe trouve encore dans les formules des Tan-
gentes.
)°. En effaçant la lettre commune d des differences dx)
dy, il en réfulte l'expreflion des appliquées & dePabfciffe ;
& en effaçant n de n Ï, n v, il ne refaite rien moins que
i'abfciue & l'appliquée. Delà auffi l'on peut voir que
n, rl-) v, fe peuvent feparer & fe placer au commencement,
au milieu, ou à la fin du monome auquel elles appartien.
nent : mais pour d x3 il faut non feulement que ces deux
lettres foient infeparables , mais aufli que d foit la
premie re, & que les deux enfemble foient placées a
la fin de chaque monome. Il en eft de même de dy,
& de toutes les differences du nouveau fyftême de PIn.
fini.
ro REM A R. Q. U E S
Ainu, l'on peut voir que la fignification de nv efi:
infiniment différente de celle des d x, d y. On peut encore
voir delà qu'elles font differentes dans l'ufage, & on le peut
voir auflî par d'autres raifons tres-confîderables en cette oc-
cafion. Car il arrive toûjours qu'en prenant n–0 dans la ré-
duite du Probl e "iffe,toutes les différences s'évanotiiflènt à la
fois : ce qui détermine la fecante indéterminée à devenir
unetangente$& c'eft là non feulement un principe d'invep-
tion pour former la Régie, mais encore un moyen pour
en donner la Démonftration. Rien de femblablene fe fait
- & ne fe peut faire dahs le Calcul différentiel par le moïen
des d x & d y. De plus, on a toûjours nzj n v : : : v. AinÍi
les différences réelles des Abfciflès & des Appliquées font
toûjours dans le rapport dexàv : de maniere que z,& v
ne font pas les différences mêmes ) elles font feulement
des expteffîons pour en marquer le rapport. Ce qui fera
expliqué plus amplement dans là fuite. ,..
Si j'avois dllciter quelque Auteur pour les Triangles
GE F , F H C, & pour avoir marqué les différences par
des lettres, ce feroit plûtofl M. Barrou & les autres qui
s-étoient fervi de Y a Se de IV & de ces Triangles, que de
citer le Calcul différentiel 5 pdfquè cet a, cet e & ces
Triangles avoient fervi pour l'expreffion de ces differen-
ces avant que l'on fe fût fervi de d x ni de dy: Et s'il y
avoit quelque Injitfiice en cela , elle feroit premierement
de ce Calcul ; de n'y avoir pas dit que ce dx & ce dy ne
défignent dans l'égalité differentielleque l'a & l'e dont
on s'étoit fervi auparavant. Ainfî le reproche que l'on me
fait dans le Journal du 3. Aoufl fur n Z, n v, & fur les Trian-
gles GE F, FHC, retomberoit fur l'Analyfe des Inf. pe-
tits, ou fur Mr de Leibnitz. Comme on ne pouvoir citer
dansce Journal la Theorie de cette Analyfe, & que l'on vou-
lait néanmoins faire croire -que j'en âvois tiré les Réglesque
j'ay proposées } on a efté obligé d'attribuer l'origine de
ces Régies & leurs errets à des Expreffions purement ar-
bitraires: car l'on n'entreprend pas de raifonner dans le
Journal du 3. Aouft fur les d x & les dy en confèquence
SUR. LES TANGENTES. II
Bij
des idées que l'on y a attachées dans rAnalyfe des Inf.
petits.
Suite &
Confirma-
tion du
précèdent
article.
- ART. III. Les Subftitutions ordinaires dont je me fuis
fervi dans le Journal du 13.Avril, page 240. ont deux avan.
tages conifderables. i o. Elles produifent à la fois la formu-
le ordinaire des Tangentes avec les autres formules qui
peuvent fervir au Problème. 10. L'Egalité qui réfulte de
cette fùbftitution, & qui renferme toutes ces formules,
eft une des principales chofès pour faire voir l'origine des
Régies que j'ay propoféesfur les Tangentes, & pour en
donner la Démonftration. Rien de cela n'eft proposé, ni
même indiqué dans l'Analyfe deslnf. petits. M. de Fer-
mat dans fa Méthode , M. Defcartes dans fa Lettre à
M. Hardy, ôg d'autres Auteurs encore, avoient fait de fem-
blables fubftitutions & trouvé des égalitez équivalentes,
avant qu'on eût parié du Calcul différentiel. Mais les prin:
cipales voyes qu'ils ont tenues, font celles que l'on a voulu
éviter dans ce Calcul : & néanmoins on veut faire croire
dans le Journal du 3. Aouft que la manière de fai-
re ces fubftitutions, d'en tirer à la fois toutes les formules
des Tangentes, & d'en régler l'U/àge,nefe peut trouver que
dans les principes de l'Analyfe des Inf. petits. On ne le dit
pas toujours en termes ex prés ; mais on en tire prefque
par tout des confequences, comme fi on l'avoit déjà prou-
vé. Voici ce que l'on a dit dans ce Journal du 3. Aouft fur
la fin de la page 516. & au commencement de la page 517.
où M. Saurin parle de moy en cette maniéré : Son Egalité
B qui comprend une fuite £ Egalité^ differentielies, & qu'il
forme par la fubfiitution, efi-elle differente en quelque chofe
aux noms prés, de celle qui fèroit firmce par la fubfiitution de
y -+ d y au lieu de y, e- de d x au lieu de x --+ d x ? Et delà
on a conclu au même endroit que pour tirer de l'Analyfe
des Inf. petits les Régies que j'ay propofées dans le Journal
du 13. A vrille n'ai fait autre chofe que changer d Je & dy en
nzjècnv: Mais l'on y peut voir, comme je l'ay déja mar-
que ici, que ce prétendu rapport de dx, d'y, à n v, n Zl eft
IJ. REMAR OU E S
une fuppofition fan (Te dans le récit ; ôc rien ne Ce trouve
dans cette Analyfe qui marque Iafubftitution qui fournie
l'égalité B ; il ne s'y trouve aucune Régie qui donne à la
fois toutes les formules que fournit cette Egalité, ni par
des fubftitutions, ni autrement 5 & fi on l'y avoit mire, alors
il faudroit reconnoîcre que cela vient des Auteurs qui a-
voient précédé le Calcul différentiel, félon cequeje viens
de dire. De plus, les Expreflïons d x, dy feroienttrés-in-
commodes dans cette occafion, foit pour l'opération, foie
pour les preuves, quand même on voudroit en changer
les idées. ,
On peut voir auffi que Mr Saurin abandonne cette fup-
pofition en la propofant, & qu'il fe retranche dans les
Régies de furcroît. Il faut le fuivre.
Que dans
les opéra-
tions de
furcroît je
n'ay pu ti-
rer de TA-
nalyfe des
Inf. petits
ni du Cal-
cul diffé-
rentiel les
Régies que
j'ay propo-
ses dans le
Journal du
ij. Avril.
ART. IV. La fécondé manière que j'ay propofée dans
le Journal du 13. Avril page 24 1, pour trouver l'Egalité qui
eff marquée en B dans cejournal, ne feroit pas plus cour-
te que la premiere manière, fi l'on avoit befoin de tous les
termes de cette Egalité, ou des formules que chacun four-
nie; mais Tufàge en eft d'autant plus grand, qu'elles font
plus proches du dernier terme: Ainfi, c'eft abréger l'opéra-
tion, que de les trouver fucceffivement,& de voir où il faut
s'arrefter pour ne point former celles qui font inutiles, Ec
c'eft dans cette generation fucceffive, que confifte la fé-
conde manière de former l'Egalité B. Mais fi l'on vouloir
démontrer qu'elle fournit toujours les Tangentes dont il
s'agit, il faudroit des preuves de deux ordres bien diffe-
rens. Il faudroit prouver que la premiere maniére donne
ces Tangentes, & prouver auffi que les formules qu'elle
fournit font les mêmes que dans la feconde manière. OB
n'avpit garde de rien entreprendre cle-c [emblable ni rien.
d'équivalent dans le Journal du 3. Aouft : M. Saurm
auroit été obligé d'abandonner les principes qui font par-
ticuliers à l'Analyfë des Inf. petirs , de rentrer dans les
voyes naturelles, ôede convenir que l'on a trouvé ou ren-
contré dans ces voyes ce qu'il y a de vrai dans cette Ana-
lyfe. Il n'en faudroit pas davantage pour défabufer ceux qui
SUR LES TANGENTES. 13
B iii
ne cherchent en cela que la vérité, & qui veulent en
être perfuadez : Mais ils peuvent l'être encore, s'ils pren-
nent la peine d'examiner ce qui fuir.
Il faut d'abord diftinguer deux chofes dans la féconde
manière de trouver les formules que j'ay propofëes dans le
Journal du 13. Avril, page 241. La premiere n'eft autre
chofe que la formule ordinaire des Tangentes , & il ne
faut pas qu'elle fèit confondue avec les autres. On a déjà
marque ici que cette formule , la manière abregée de la
trouver,& la manière de l'appliquer aux Tangentes, é-
toient déja communes & publiques avant que l'on eut
rien publié du Calcul différentiel. On a marqué auffidans
le premier Article que l'abregement & l'ufage de cette
formule nous font venus premierement de M. de Fermât.
Ainfi) j'ai eu raifon de dire dans le Journal du 13. Avril,
que j'avois fuivi les idées de cet Auteur: & delà on peur
voir que loin d'avoir fait en cela une Injuftice à l'A nalyfe
des Inf. petits, j'au rois eu tort de dire que ce font des prin-
cipes particuliers à cette Analyfe , & de fuppofer que ce
ne font pas les Idées de M. de Fermât.
Dans cette premiere formule & dans toutes les au-
tres qui fe forment par le moïen des Régies abrégeantes
que j'ai propofées j on y multiplie tous les termes des In-
connuës chacun par fon expofaot. On fait de femblables
multiplications dans l'Analyfe des Inf. petits ; & fur cela
on a voulu faire croire dans ce Journal du 3. Aouft, que
la maniére de trouver toutes ces formules ne pouvoit fe
tirer que de cette AnalyCe. Mais il faut obferver 10. Que
M. Hudde long-temps avant qu'on eût parlé du Calcul
différentiel, avoit donné le moïen le plus court de
former une fuite d'égalitez pour les Max. & Min. & pour
abréger la Methode des Tangentes ; que pour cet effet il
multiplie tous les termes,chacun par fon expofant^&que ces,
formules ont efté prifes pour une fuite d'Egœlitez^differen-
tielîes dans FAnalyte des Inf petits, Se&. 10. Dep'us,
M" Barrou/Tfchirnhaus, Huguens, & d'autres auffi qui ont
cultivé les idées de M. de Fermât, avoient multiplié tous
14 REMARQUES
les termes des inconnuës chacun par Ton expolant pour la
premiere formule des Tangentes. Ainfi, l'on peut voir que
cette multiplication ne nous vient pas de l'Analyfe des Inf.
petits, & que je n'ai point fait d'inju/îice à cette Analyfe de
ne l'avoir point citée fur cela. 2°.11 ne s'agit pas ici de cette
multiplication en elle-même : il s'agit de la manière de l'ap-
pliquer pour trouver les nouvelles Tangentes que j'ai pro-
pofees : il s'agit encore de fçavoir fi l'on a propolë des Ré-
gies pour faire cette application dans l'Analyfe des Inf.
petits fi je me fuisfervide ces Régies. Or il ne fe trou-
ve dans cette Analyfe ni précepte qui prefcrive la manière
de regler cette application, ni aucune obfervation qui la
puifle indiquer, ni un feul mot pour donner occafion d'en
faire la recherche. On y traite fort au long les Tangentes
ordinaires, mais l'on n'y parle point de ces Tangentes ex-
traordinaires; & neanmoins L'on s'étoit propofé dans ce
Livre d'être court furies ckofes qui font déjà connues 3 & de
s* attacher principalement à celles qui font nouvelles. 30. Mais il
y a bien plus ici pour ma défenfe. Car les fecondes for-
mn!es, &: les autres enfuite que j'ai propofées dans le Jour-
nal du 13. Avril, font tres-differentes de toutes les formu-
les que fournit l'Analyfe des Inf. petits; & cette différence
fuffiroit pour mejuftiner. Voici comment.
Loin d'a-
voir fuivi
l'Analyfe
des Inf- pe-
tits dans lç
Journal du
15. Avril,
j'ai fait tout
le contraire
de ce qu'el-
le preferit
dans fon
Syfteme &
danslesRé-
gles fonda-
mentales
qui lui font
particuliè-
tes.
Il y a deux fortespe Régies dans cette Analyfe pour
trouver les formules ou les egalirez différentiel l'es.
Les Régies de la premiere forte font dans la i e. Seétion,
& n'ont été faites que pour tirer la difference d'une Egali-
té qui n'a point encore été dirrerentiéc.
Les Régies de la 1c. forte font dans la 4e. Secfcion art.
95. pages 58. 59. Elles ont été faites pour avoir la différen-
ce des Egalitez déja differentiées, ou compofêes de differences.
quelconques.
Les Régies de la feconde forte ne confident que dans
la maniere d'appliquer celbs de la premiere forte ; & les
quantitez proposées ne pouvant être differentiées ou non
differentiées, il n'y a pas lieu d'hefiter un moment pour fça-
voir de laquelle de ces deux Régies il faut fe fervir pour
SUR LES T ANGENTES. 15
differentier une égalité propofée, quand on veut Cuivre
les Methodes de l'Analyfe des Inf. petits.
Or la quantité de 4y*ày– nyydx &c. dontM.Sau-
rin a voulu prendre la difference <dans le Journal du 3.
Aouft page 52,7. eft une quantité déja differentiêe. Elle eft
compofée des différences dy, dx. Ain fi, il auroit dû fuivre dans
ce journal les Régies de la fécondé forte que l'on propofe
dans l'Analyfe des Inf. petits pour les quantitez qui font
compofees de différences quelconques Sett. 4e. art. 65. s'iléroit
vrai qu"il eût tiré de cette Analyfe la maniere de former
les fécondes formules qu'il nomme de ftcondes égalitez dzf-
ferentielles. On peut fe fervir en cela des Régies de la pre-
miere Sedion; mais il faut les appliquer comme on l'a pref-
crit dans la 4c. Sedian, ( puifqu'elle n'a été faite que pour
régler cette application) quand on veut fuivre l'Analyfe
des Inf. petits & l'on y pei»fc.voir qu'elle ne ne permet
pas de differentier une fécondé fois , comme l'a fait M.
Saurin. Car l'on a dit dans la Régie génerale de cette 4c.
Seftion art. 6 de prendre pour confiante une des différences
telles que d x ou d y, & de prendre toutes les autres pour des
quantilez variables. Cela eft marqué en termes exprés dans
l'énoncé de la Régie : cela fe foûtient dans tous lesfc exem-
ples & dans tout le détail du Syftémeôc des Methodes; &
c'eft combattre le S y ftéme & les Methodes, que de difFe-
rentier comme l'a fait M. Saurin.
On peut nommer Egalitez différentielles toutes les for-
mules des Tangentes que j'ai propofées, & que Mr. Saurin
auroit voulu tirer de l'Analyse des Inf. petits dans le Jour-
nal du 3. Aouft page 517. Mais fi l'on veut leur donner
ce nom, il faut convenir premièrement qu'elles font tres-
difFerentes de celles de cette Analyfe, & qu'elles fèroient
contraires à tes Méthodes, & même à la nature des Cour-
bes. Car 1°. Dans ces fécondés Egalitez difftrentieltes il n'y
auroit jamais de fécondés différences ; &dans les troisièmes èga-
Jite, dljfirentieUes il ne fe trouveroit jamais de troifîêmes
différences : c'eft à-dire,que jamais les proprietez fpécifiques
.qui doivent con-fticuer cette forte d'égalitez, ne s'y trouve-
I6 REMARQUES
roient ; jamais de d d x ni de d d y > jamais d'Infini
de l'Infini, ni de toutes les autres efpeces d'Infinis qui
viennent enfuite dans le Syftéme. On fe fert des Régies
que j'ai propofées pour réformer l'Analyfe des Inf. pe-
tits cependant on veut faire croire que cette Analyfe
fert pour réformer ces Régies.
2°. En prenant toutes les differences pour des quanti-
tez confiantes comme l'a fait M. Saurin, c'efl fuppofèr
que toutes les Courbes foient des lignes droites: Car il n'y
a que la ligne droite dont toutes les differences telles que
d y, dx, foient confiantes. Ce qui détruiroit cette fuite
infinie d'Infinis qui font le fublime ou le myflique de la
Géometrie tranfcendante.
L'on peut voir auffi en comparant les pieces, qu'il ne fait
que déguifer en cela l'opération des Régies que j'ai pro-
pofées , èc les operations^feulement qui regardent les
abregemens de furcroifl. Car il n'entreprend pas de faire
voir comment ces formules doivent être parfaitement
femblables aux termes de l'Egalité B, ni de prouver que
les quantitez qu'elles fourniflent foient de veritables fou-
tangentes. S'écarter de l'Analyfè des Inf. petits, comba-
tre cette Analyfe, 6c dire qu'en cela même on la fuit exa-
ctement, c'efl ce que l'on a fait dans le Journal du 3.
Aoufl pour déguifer les Régies que j'ai données dans le
Journal du 13. Avril.
Il elt vrai que M. Saurin cite dans la page 717. la pre-
miere Seâion de l'Analyfè des Inf. petits. Mais cette Se-
âion n'a eflé faite que pour les premieres formules déjà
ordinaires : & fi l'on veut fuivre cette Analyfe pour ap-
pliquer cette premiere Settion, & en tirer de fécondés
formules, il faut fe fervir de la 4. Seaion , comme je l'ai
déja dit? puifque c'efl dans cette quatrième Sedion que
l'on a réglé cette application. C'efl au contraire ce que
l'on a évité dans le Journal du 3. Aouft. Ne citer dans
ce Journal que la premiere Seétion pour les égalitez dont
il s'agit, ce n'eil citer que les formules ordinaires, ou la
Régie ordinaire que l'on avoit auparavant pour les trou-
ver
SUR LES TANGENTES. 17
ç
ver. En faire l'application comme au Journal du 3. Aoujft,
c'eft fe fervir de cette régie pour copier en quelques
exemples 3 ce qui étoit déja fait dans le Journal du 13.
Avril page 241. Les petites divifîons qui fe font dans cet
endroit par une progreffion arithmétique, font necelfaires
pour voir le rapport des formules qui en refultent aux
termes de l'égalité B, & non feulement ces diviuons
n'ont jamais efté prefcrites par aucune règle dans l'Ana.
lyfe des InE petits, mais on ne fçauroit en marquer les
raifons parle moïen de cette Analyfe, ni defonSyflémei
& néanmoins M. Saurin ne lailTe pas d'en parler comme
fi elles s'y trouvoient effectivement.
On peut fe fervir du mot de differentier pour marquer
la multiplication de chaque terme par fon expofantavec
les changemens de nom qui fe font pour la generation de
chaque formule. On peut encore fe fervir des d x & des
dy dans les formules , au lieu de z,. & de v donc me fuis
.fervi dans le Journal du 1 3. Avril. Mais il faut diftinguer
dans tous ces mots & dans tous ces caractères les diverfes
chofes qu'ils fïgnifîent, & ne pas vouloir faire croire que
des Méthodes fort differentes foient partout les mêmes,
de cela feul que l'on fe fert des mêmes termes dans les
unes & dans les autres.
Je me fervirai de ces termes autant que je le pourrai
pour entrer dans les defïèins que l'on a marquez fous le
nom de M. Saurin dans le Journal du 3. Aoufi; & je me
fervirai auffi dansl'occafion des Propofitions de l'Analyse
des Inf petits qui fe trouvent conformes à la véritable
Géometrie^mes devoirs ne permettent pasque j'en faueda.
vantage pour fatisfaire en cela des perfonnes que j'honore.
Pour les Journaux de Paris & de Leipnc que cite M.
Saurin dans fa Réponfe, il ne s'y trouve ni régies ni prin-
cipes pour former celles que j'ai propofées. On voit feu-
lement dans celui de Paris de l'année 1692. une proprieté
particuliere dans un point de la Courbe que l'on y pro-
pofe. Comme ce point lie deux parties de cette Courbe
qui font parfaitement femblables, on peut conclurre de