Theorie der Abel

Theorie der Abel'schen Functionen

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Project Gutenberg’s Theorie der Abel’schen Functionen, by Karl WeierstrassThis eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and withalmost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away orre-use it under the terms of the Project Gutenberg License includedwith this eBook or online at www.gutenberg.orgTitle: Theorie der Abel’schen FunctionenAuthor: Karl WeierstrassRelease Date: August 26, 2009 [EBook #29780]Language: GermanCharacter set encoding: ISO-8859-1*** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN ***Produced by K.F. Greiner, Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinsonand the Online Distributed Proofreading Team atAnmerkungderKorrekturleserDiese PDF-Datei wurde für den Bildschirm optimiert, kann beiBedarf aber leicht für den Drucker angepasst werden. Bitte findenSie weitergehende Informationen am Anfang des LaTeX-Quelltexts.TheoriederAbel’schenFunctionenvonKarlWeierstraß.E r s t e s H e f t.Abdruck aus dem „Journal für die reine und angewandte Mathematik.”Berlin.Druck und Verlag von Georg Reiner.1856.EinleitungDasAbel’sche Theorem über die hyperelliptischen Integrale bildet dieGrundlage für die Theorie einer neuen Gattung analytischer Functionen, diedeswegen passendAbel’scheFunctionen genannt, und folgendermaßen definirtwerden können.Es bedeuteR(x) =A (x a )(x a ) (x a )0 1 2 2%+1eine ganze Function (2% + 1)ten Grades von x, wobei angenommen werde, daßunter den Größena ; a ; :::; a1 2 2%+1keine ...

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Publié le 08 décembre 2010
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Project Gutenberg’s Theorie der Abel’schen Functionen, by Karl Weierstrass This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Theorie der Abel’schen Functionen Author: Karl Weierstrass Release Date: August 26, 2009 [EBook #29780] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK THEORIE DER ABEL’SCHEN FUNCTIONEN *** Produced by K.F. Greiner, Andrew D. Hwang, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at AnmerkungderKorrekturleser Diese PDF-Datei wurde für den Bildschirm optimiert, kann bei Bedarf aber leicht für den Drucker angepasst werden. Bitte finden Sie weitergehende Informationen am Anfang des LaTeX-Quelltexts. Theorie derAbel’schenFunctionen von KarlWeierstraß. E r s t e s H e f t. Abdruck aus dem „Journal für die reine und angewandte Mathematik.” Berlin. Druck und Verlag von Georg Reiner. 1856. Einleitung DasAbel’sche Theorem über die hyperelliptischen Integrale bildet die Grundlage für die Theorie einer neuen Gattung analytischer Functionen, die deswegen passendAbel’scheFunctionen genannt, und folgendermaßen definirt werden können. Es bedeute R(x) =A (x a )(x a ) (x a )0 1 2 2%+1 eine ganze Function (2% + 1)ten Grades von x, wobei angenommen werde, daß unter den Größen a ; a ; :::; a1 2 2%+1 keine zwei gleiche sich finden, während sie im Übrigen beliebige (reelle und imaginäre) Werthe haben können. Ferner seien u , u ,:::; u % unbeschränkt %1 2 veränderliche Größen, und zwischen diesen und eben so vielen von ihnen abhängigen x , x ,:::; x die nachstehenden Di erential-Gleichungen, in denen %1 2 P(x) das Product (x a )(x a ) (x a ) %1 2 bedeutet, gegeben: P(x ) dx1 P(x ) dx 1 P(x ) dx 1 % %1 1 2 2 du =  +  + +  ;p p p1 2 x a 2 x a 2 x a %1 1 R(x ) 2 1 R(x ) 1 R(x ) %1 2 P(x ) dxP(x ) dx P(x ) dx % %1 1 11 1 2 2 du =  p +  p + +  p ;2 2 x a 2 x a 2 x a2 2 2 % 21 R(x ) R(x ) R(x )2 %1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P(x ) dxP(x ) dx P(x ) dx % %1 1 11 1 2 2 du =  p +  p + +  p ; ) % 2 x a 2 x a 2 x a % %  %1 R(x ) 2 R(x ) R(x )2 %1 mit der Bestimmung, daß x , x , :::; x die Werthe a , a , :::; a annehmen % %1 2 1 2 sollen, wennu ,u ,:::; u sämmtlich verschwinden. %1 2 Alsdann sind x , x , :::; x als die Wurzeln einer Gleichung von der %1 2 Form % % 1 % 2x +P x +P x + +P = 02 %1 ) Man kann diesen Di erential-Gleichungen mancherlei verschiedene Formen geben; die hier gewählte vereinfacht die Rechnung nicht unwesentlich, ohne daß, wie später soll gezeigt werden, der Allgemeinheit Abbruch geschieht. — 2 — zu betrachten, wo P , P , :::; P eindeutige analytische Functionen von u , %1 2 1 u ,:::; u bedeuten; während eine zweite ganze Function von x des (% 1)ten %2 Grades % 1 % 2Q x +Q x + +Q ;1 2 % deren Coecienten eben solche Functionen vonu ,u ,::: u sind, wenn man %1 2 x = x , x ,:::; x setzt, die zugehörigen Werthe von %1 2 p p p R(x ); R(x ); :::; R(x ) %1 2 giebt. ) Hiernach ist jeder rational und symmetrisch aus p pp x ; x ;:::; x und R(x ); R(x );:::; R(x ) % %1 2 1 2 zusammengesetzte Ausdruck als eine eindeutige Function von u , u , ::: u %1 2 anzusehn. Insbesondere aber zeigt es sich, daß das Product (a x )(a x ) (a x );r r r %1 2 wo r eine der Zahlen 1, 2,::: 2% + 1 bedeutet, das Quadrat einer solchen ist. Betrachtet man demgemäß, indem man ’(x) = (x x )(x x ) (x x )2 %1 setzt, und unter h , h ,:::; h Constanten versteht, die Größen1 2 2%+1 p p p h ’(a ); h ’(a ); :::; h ’(a )1 1 2 2 2%+1 2%+1 als Functionen von u , u ,:::; u , so kann man nicht nur aus denselben die %1 2 Coecienten der Gleichung, deren Wurzeln x , x ,:::; x sind, leicht zusam- %1 2 mensetzen, sondern sie zeichnen sich auch gleich den elliptischen sin amu, cos amu,  amu, auf welche sie sich für% = 1 reduciren, und denen sie über- haupt vollkommen analog sind, durch eine solche Menge merkwürdiger und fruchtbarer Eigenschaften aus, daß man ihnen und einer Reihe anderer, im Zu- sammenhange mit denselben stehenden, vorzugsweise den Namen „Abel’sche Functionen” zu geben berechtigt ist, und sie zum Hauptgegenstande der Be- trachtung zu machen aufgefordert wird. Die nächste Aufgabe, welche sich nun darbietet, betri t die wirkliche Darstellung der im Vorstehenden definirten Größen, sowie die Entwicklung ) Den ersten Theil dieses Satzes hat bereitsJacobi ausgesprochen, und dadurch den wahren analytischen Charakter der Größen x , x ,:::; x klar gemacht.1 2 % — 3 — ihrer hauptsächlichsten Eigenschaften. Sodann ist es auch erforderlich, das Integral Z ( ) F(x ) dxF(x ) dx F(x ) dx % %1 1 2 2 + + + ;p p p R(x ) R(x ) R(x ) %1 2 wo F(x) eine beliebige rationale Function von x bedeutet, als Function von u ,1 u ,:::; u auszudrücken. Beide Probleme finden in der gegenwärtigen Schrift, %2 deren Resultate ich zum Theil schon früher in zwei kleinern Abhandlungen ) bekannt gemacht habe, ihre vollständige Erledigung, und zwar auf einem Wege, welcher von dem für die Abel’schen Functionen zweier Argumente von Göpel und Rosenhain betretenen gänzlich verschieden ist. Die genannten Mathema- tiker gehen nämlich von unendlichen Reihen aus, die sie aus denen, durch welcheJacobi die elliptischen Functionen auszudrücken gelehrt hat, durch ei- ne von tiefer analytischer Einsicht zeugende Verallgemeinerung erhalten, und zeigen dann, wie sich aus denselben, die zwei veränderliche Größenu ,u ent-1 2 halten, die Coecienten einer quadratischen Gleichung so zusammensetzen lassen, daß zwischen deren Wurzeln undu ,u zwei Di erential-Gleichungen1 2 von der oben aufgestellten Form bestehen. Dagegen war mein Bestreben von Anfang an auf die Aundung einer Methode gerichtet, die geeignet sei, un- mittelbar von den genannten Di erential-Gleichungen aus für jeden Werth von % auf einem einfachen, alle Willkührlichkeit ausschließenden Wege zur Dar- stellung der Größen x , x ,:::; x als Functionen von u , u ,:::; u in einer % %1 2 1 2 für alle Werthe der letztern gültig bleibenden Form zu führen. Durch weitere Ausbildung eines Verfahrens, dessen ich mich bereits früher zur directen Ent- wicklung der elliptischen Functionen, ohne Voraussetzung der Multiplications – und Transformations-Formeln mit gutem Erfolge bedient hatte, gelang es mir, das Ziel, welches ich mir gesteckt, vollständig zu erreichen; wo sich denn als schließliches Resultat meiner Untersuchungen ergab, daß sich sämmtliche Abel’sche Functionen einer bestimmten Ordnung auf eine einzige, in einfacher Form darstellbare Transcendente zurückführen lassen. Damit ist aber für sie dasselbe erreicht, was für die elliptischen Functionen Jacobi gethan hat, und wasLejeuneDirichlet in seiner Gedächtnißrede auf den großen Mathematiker mit Recht als eine der bedeutendsten Leistungen desselben bezeichnet. Die vorliegende Arbeit ist unter mancherlei äußern Hemmungen ent- standen, die mir nur von Zeit zu Zeit, und oftmals nach langer Unterbrechung, mit derselben mich zu beschäftigen gestatteten. Ohne Zweifel wird man Spuren davon an nicht wenigen Stellen entdecken. Gleichwohl ho e ich, daß ihr die Sachkundigen auch in der Gestalt, wie ich sie jetzt ihrer Beurtheilung vorlege, ) Programm des Braunsberger Gymnasiums v. J. 1849 und Crelle’s Journal Bd. 47. — 4 — nicht ganz ihren Beifall versagen, und wenigstens ein Ergebniß derselben mit Befriedigung aufnehmen werden, die Thatsache nämlich, daß sich die ellip- tischen und die Abel’schen Functionen nach einer für alle Ordnungen gleich bleibenden und zugleich directen Methode behandeln lassen; und ich trage kein Bedenken, zu gestehen, daß ich auf dieses Resultat meiner Arbeit einigen Werth lege, und es als ein für die Wissenschaft nicht unbedeutendes betrachte. ErstesKapitel. ErklärungderAbel’schenFunctionen;Bestimmungder analytischenFormderselben. §.1. Ich beginne mit der Ermittelung der Form, unter welcher der Zusammenhang zwischen den Größen x , x , :::; x und u , u , :::; u dargestellt werden % %1 2 1 2 kann. Zuvörderst aber möge, zur Vermeidung von Wiederholungen, hier ein für allemal in Betre einiger Bezeichnungen, die ich im Verlaufe der ganzen Abhandlung unverändert beibehalten werde, Folgendes festgestellt werden. Die ersten Buchstaben des deutschen Alphabets,a,b,c ::: sollen, sobald nicht ausdrücklich etwas Anderes bestimmt wird, ausschließlich Zahlen aus der Reihe 1; 2; :::; % bedeuten, in der Art, daß jeder derselben, wo er in einer Formel vorkommt, unabhängig von den übrigen etwa in ihr sich findenden, sämmtliche dieser Reihe angehörigen Werthe durchlaufen kann. Ein Ausdruck, der einen oder mehrere dieser Buchstaben enthält, repräsentirt demnach, je nachdem die Zahl 2 3derselben 1, oder 2, oder 3 u. s. w. ist,%, oder% , oder% u. s. w. Werthe. Die Sum- me aller dieser Werthe soll dann ferner durch ein dem Ausdrucke vorgesetztes P bezeichnet werden, und zwar in der Regel ohne besondere Andeutung der Buchstaben, auf welche es sich bezieht, was nur in dem Falle nicht unterbleiben darf, wenn außer derselben noch andere deutsche Buchstaben vorkommen. — 5 — Hiernach ist z. B. a=% X X F(a) = F(a) a=1 a=%b=% X XX F(a;b) = F(a;b): a=1b=1 Dagegen soll a=% X X F(a;b) = F(a;b) a a=1 a=%b=%X XX F(a;b;c) = F(a;b;c) a;b a=1b=1 sein; u. s. w. Kommt es in einem besondern Falle vor, daß bei einer solchen Summa- tion ein Buchstabe von den festgesetzten Werthen irgend einen bestimmten P 0nicht annehmen darf, so soll darauf durch ein dem oben beigefügtes ( ) aufmerksam gemacht, und zugleich der auszuschließende Werth neben der Summenformel angegeben werden; wonach z. B. die Bedeutung der Formel  X 0 1 ; (a?b) a aa ba klar ist. Endlich bemerke ich noch, daß eine Gleichung, die einen, oder zwei u. s. w. der in Rede stehenden deutschen Buchstaben enthält, ein System von 2 %, oder % u. s. w. Gleichungen darstellt; so daß z. B. die in der Einleitung aufgestellten Di erential-Gleichungen sämmtlich in der folgenden X 1 P(x ) dxa a (1.) du =  pb 2 x aa b R(x )aa enthalten sind. Dies vorausgeschickt soll nun zunächst gezeigt werden, daß sich x , x ,1 2 :::; x bei hinlänglich kleinen Werthen vonu ,u ,:::; u nach ganzen positiven % %1 2 Potenzen dieser Größen in convergirende Reihen entwickeln lassen. — 6 — Wenn die Di erenz x a , wor irgend eine der Zahlen 1, 2,:::; 2% + 1r bezeichnen soll, dem absoluten Betrage ) nach kleiner ist als die Di erenz zwischen a und jeder andern der Größen a , a , :::; a (was durch denr 1 2 2%+1 Ausdruck „es befinde sich x in der Nähe von a ” bezeichnet werden möge), sor läßt sich 1 durch eine convergirende Reihe von der Formp R(x) n o1 2  1 + (r) (x a ) + (r) (x a ) +p r r1 2 0R (a )(x a )r r @R(x)0darstellen, wo R (x) = , und (r) , (r) u. s. w. rational aus a und denr1 2 @x Coecienten vonR(x) zusammengesetzte Ausdrücke sind. Wird daher angenommen, es befinde sich x in der Nähe von a , x in1 1 2 der Nähe von a u. s. w., und setzt man,2 R(x) @P(x) 0 =A (x a ) (x a ) mit Q(x); mit P (x)0 %+1 2%+1 P(x) @x bezeichnend, s  0P (a )a (2.) (x a ) = s ;a a a Q(a )a so hat man  1 P(x ) dxa a 2 4  = (a;b) + (a;b) s + (a;b) s + ds ;p a0 1 a 2 a 2 x xa b R(x )a wo (a;b) , (a;b) u. s. w. rationale, aus a , a und den Coecienten von P(x),a0 1 b Q(x) zusammengesetzte Ausdrücke bedeuten, und insbesondere (a;a) = 1; (a;b) = 0; wenna?b,0 0 ) Unter dem absoluten Betrage oder Werthe einer complexen (imaginären) Größe verstehe ich hier den analytischen Modul derselben, wie er sonst genannt wird. Der Umstand, daß das Wort Modul in so verschiedenem Sinne gebraucht wird, und namentlich in der Theorie der elliptischen undAbel’schen Functionen bereits eine feststehende Bedeutung hat, möge die Einführung der vorgeschlagenen Benennung entschuldigen. — 7 — ist. Hiernach geben die Gleichungen (1.) durch Integration 8 ( ) X> (a; 1)n 2n+1>u = s +S s ;> 1 1 a > 2n + 1>>> n = 1:::1> >> ( )> X> (a; 2)n 2n+1 >u = s +S s ; 2 2 a< 2n + 1(3.) >> n = 1:::1> > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .> >> ( )> X> (a;%)> n 2n+1>u = s +S s : % % a> 2n + 1>: n = 1:::1 Aus diesen Reihen erhält man dann ferner durch Umkehrung die folgenden, in denen (u ;u ;:::;u ) eine ganze homogene Functionnten Grades von u , u , % n1 2 1 2 :::; u bezeichnen soll. % s8  > 0 P (a )> 1> s = (x a ) =u + (u ;u ;:::;u ) + (u ;u ;:::;u ) +; % %1 1 1 1 1 2 3 1 2 5> Q(a ) 1>>> s >>  > 0 P (a )> 2< s = (x a ) =u + (u ;u ;:::;u ) + (u ;u ;:::;u ) +; % %2 2 2 2 1 2 3 1 2 5(4.) > Q(a )> 2> > . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .> s>>  0  P (a )> %> s = (x a ) =u + (u ;u ;:::;u ) + (u ;u ;:::;u ) +:> % % % % % %1 2 3 1 2 5: Q(a ) % Ferner, da sich P(x )a in eine Reihe von der Formp R(x )a 3 5s + (a) s + (a) s +a 1 2a a entwickeln läßt, p R(x )P(x ) aa (5.) = =u + (u ;u ;:::;u ) + (u ;u ;:::;u ) +:p a % %1 2 3 1 2 5Q(x )aR(x )a (a = 1; 2;:::;%)