Contribution à l étude de la stabilité des systèmes distribués - application au réseau de bord
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J3eA, Journal sur l’enseignement des sciences et technologies de l’information et des systèmes, Volume 4, Hors-Série 1, 2 (2005) DOI : http://dx.doi.org/10.1051/bib-j3ea:2005602 © EDP Sciences, 2005 Contribution à l'étude de la stabilité des systèmes distribués Application aux réseaux de bord d’avions 1 2 1 1S. Pierfederici , R. Meuret , F. Meibody-Tabar et B. Davat 1 GREEN-INPL, CNRS UMR 7037 2 HISPANO-SUIZA, Groupe SNCEMA serge.pierfederici@ensem.inpl-nancy.fr Contribution à l'étude de la stabilité des systèmes distribués – Application aux réseaux de bord d’avions S. Pierfederici*, R. Meuret**, F. Meibody-Tabar*, B. Davat* *GREEN-INPL, CNRS UMR 7037 **HISPANO-SUIZA, Groupe SNCEMA email : serge.pierfederici@ensem.inpl-nancy.fr Résumé : Dans cet article, nous présentons deux continu lorsqu'on dispose d'organe de commande coté approches permettant d'étudier la stabilité d'un source continue. Un exemple est traité mettant en ensemble de dispositifs électriques interconnectés. œuvre un redresseur commandé alimentant un La première établit des contraintes exprimées sous ensembles onduleur/machine synchrone à aimant. forme d'impédance entre les divers dispositifs. Un Dans un premier temps, tous les régulateurs utilisés exemple d'application traitant le cas d'un ensemble pour le contrôle des moteurs sont supposés linéaires onduleur-machine synchrone muni de son filtre (contrôleur de type P.I). Cette hypothèse permet ...

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J3eA, Journal sur lenseignement des sciences et technologies de linformation et des systèmes, Volume 4, Hors-Série 1, 2 (2005) DOI :thpt/:d/g/10.105x.doi.or2:ae6500ib/13j-b02© EDP Sciences, 2005Contribution à l'étude de la stabilité des systèmes distribués Application aux réseaux de bord davions S. Pierfederici 1, R. Meuret2, F. Meibody-Tabar1et B. Davat11 GREEN-INPL, CNRS UMR 7037 2 HISPANO-SUIZA, Groupe SNCEMA serge.pierfederici@ensem.inpl-nancy.fr 
Contribution à l'étude de la stabilité des systèmes distribués – Application aux réseaux de bord d’avions  
S. Pierfederici*, R. Meuret**, F. Meibody-Tabar*, B. Davat* *GREEN-INPL, CNRS UMR 7037
**HISPANO-SUIZA, Groupe SNCEMA  email : serge.pierfederici@ensem.inpl-nancy.fr   Résumé : Dans cet article, nous présentons deuxcontinu lorsqu'on dispose d'organe de commande coté approches permettant d'étudier la stabilité d'unsource continue. Un exemple est traité mettant en ensemble de dispositifs électriques interconnectés.œuvre un redresseur commandé alimentant un La première établit des contraintes exprimées sousensembles onduleur/machine synchrone à aimant. forme d'impédance entre les divers dispositifs. UnDans un premier temps, tous les régulateurs utilisés exemple d'application traitant le cas d'un ensemblepour le contrôle des moteurs sont supposés linéaires onduleur-machine synchrone muni de son filtre(contrôleur de type P.I). Cette hypothèse permet après d'entrée est présenté. La seconde approchelinéarisation autour d'un point de fonctionnement, s'applique au cas des systèmes électriques munisd'exhiber une structure de découplage du système. On d'une commande interne. Il est alors possible parmontre que grâce à elle, il est possible de diminuer la commande d'adapter les dynamiques de lafortement la taille de la capacité de stockage d'énergie source d'énergie à celle de ses charges. Le cas d'undu bus continu. De plus, le découplage proposé ne redresseur commandé alimentant N ensembleschange en rien la commande des ensembles convertis-convertisseurs-machine synchrone est ensuiteseurs-machines. Seule la commande du redresseur doit présenté.pour assurer le contrôle de la tensionêtre modifiée  continue, ce qui permet d'étendre la structure de  I. INTRODUCTION contrôle proposée à tous les types de contrôle moteur.  Des résultats de simulation avec des contrôleurs de  La multiplication des charges connectées sur le courants de type RST et glissant sont présentés pour même bus continu engendre des problèmes d'interac- valider l'approche proposée. tion électrique entre les convertisseurs [1-2]. Il devient impératif d'analyser et d'optimiser ces réseaux et les II. APPROCHE FREQUENCIELLE POUR L'ETUDE DE LA interactions entre les divers sous systèmes [3-4]. DansSTABILITE DES SYSTEMES DISTRIBUEES. cet article, nous présentons les méthodes permettant d'étudier la stabilité du bus continu d'un système de 2 dispositifs connectés en parallèleA. Cas distribué constitué d’une source électrique alimentant Pour étudier la stabilité d'un ensemble de disposi-un bus continu lui-même connecté à un ensemble de tifs électriques inter-connectés, on fait l'hypothèse que charges électriques. Deux approches sont développées. pris indépendamment chaque élément est stable. On La première expose les procédés qui permettent de appelle « dispositif » tout appareillage électrotechni-prouver la stabilité d'un système distribué sans que passif (ensemble redresseur avec son filtre modification des commandes de chaque élément [5-6]. d’entrée par exemple) ou actif (redresseur commandé Différents critères sont exposés, notamment les par exemple). On suppose connu l'impédance d'entrée critères de Middelbrook, et d'ESAC. Un exemple et de sortie de chaque dispositif. Un schéma de d'application permet d'étudier l'interaction entre un principe correspondant à la mise en cascade de deux onduleur alimentant une machine synchrone à aimant dispositifs électriques est donné sur la figure 1. permanent et son filtre d'entrée connecté à un réseau d'avion. L'influence des modes de régulations utilisésIDispositif 1IDispositif 2Iis pour le contrôle moteur sur le dimensionnement due filtre d'entrée est traité. Une méthode basée sur la compensation des variations d'énergie stockée dans leVeVo1Vi2Vs condensateur de filtrage permet une diminution  significative des ondulations de tension de l'étageFigure 1. Mise en cascade de deux dispositifs électriques continu lors de fortes variations de puissance. La seconde approche utilise une structure de découplage généralisée qui permet un parfait contrôle du bus poinLt a dset afboilnitcéti odnen echmaeqnut,e  ild isepsto sailtiofr sé tpaonts siabslseu,r éaep raèus  
 
linéarisation autour du point d'équilibre et transforma-tion de Laplace, de modéliser les deux dispositifs électriques sous une forme quadripôle :  ~ T Z ~ ~v~01=T1v1TZoutv~e~v021v 2 s2v0~1  ~= ⋅ ieZe1c1 Zi iinTc2is
où Tv1et TV2représentent les fonctions de transfert en tension, Tc1et Tc2les fonctions de transfert en courant. x représente les variations de la variable X autour du point de fonctionnement. La mise en cascade des deux dispositifs est possible si la fonction de transfert  02e stable. Supposons que le courant de est charge Isreste constant ( is=0 ), il vient alors :  ~ ~ vTv~eZiT~veZv01 = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ 01 v1 out v1 s1Zin 02Tν1Tν2 = d'où : vˆ01=Tν1Zvˆetuo et : 1+e1 Zout + ZinZin
On pose alors Tm=ZoutZin. Puisque Tv1 et Tv2 sont des fonctions de transfert stables, une condition suffisante de stabilité est que la fonction de transfert Tm stable. L'application du critère de Nyquist soit permet d'étudier la stabilité de cette association. Basées sur l'étude de ce tracé, différentes méthodes ont été proposées dans la littérature (critère de Middelbrook, critère d’ESAC, methode MGMP [1, 2, 5, 6]).  B. Cas de n dispositifs connectés en parallèle Comme dans le cas précédant, la stabilité de la fonction de transfert de la tension pour chaque convertisseur aboutit à :  0 j=Tv1Tvj   e1+ZoutTm avec : Tm=Zoutj1n1Zin et :Tj=Zout =jZinj  Pour prouver la stabilité du système distribué, les
relations suivantes doivent être vérifiéesj∈ {1,..., N} P  Z dBin j- ZBodut>MG+20logPjs realZZnojituArccos(PM)PPsj 
où Pj représente puissance la fournie par chaque dispositif à leur charge respective et Ps représente la puissance totale fournie par la source. La figure 2 représente un exemple de tracé satisfaisant ces deux relations.  
 
Région interdite /Z pour Zout in
Axe imaginaire
0
Zout Zin
Axe réel
1 Pj − ⋅ 2 Ps  Figure 2 : Spécification individuelle de charge avec une marge de gain MG de 6db et une marge de phase PM de 60°  III. APPLICATION A UN ENSEMBLE REDRESSEUR FILTRE ET ONDULEUR MACHINE SYNC ONE A AIMANT HR  A. Présentation du système Dans cette partie, on étudie la stabilité d'un système constitué d'un ensemble auto transformateur redresseurs (figure 3) alimentant un ensemble onduleur machine synchrone à aimant régulée en vitesse. La mise en parallèle des deux ponts redresseurs se fait par l'intermédiaire de deux inductances d’interphase présentant une inductance de fuite L supposée connue. Pour ce faire, l'étude est scindée en deux parties. L’une permet d'obtenir l'impédance d'entrée de l'ensemble onduleur-machine, l’autre l'impédance de sortie de la source d'énergie.
 Figure 3 : Schéma de principe du dispositif expérimental  B. Calcul de l’impédance d’entrée de l'ensemble onduleur-machine synchrone On se place autour d'un point de fonctionnement et on considère de petites variations autour du point d'équilibre. En supposant que la constante de temps mécanique est beaucoup plus grande que la plus grande des constantes de temps électrique, on néglige ainsi les variations de vitesse dans la modélisation. L'impédance d'entrée est alors donnée par l'expression Ze=veie=Zinoù ve i ete représentent les varia-tions de la tension et du courant d'entrée autour du point de fonctionnement (figure 4).
2
 
~ ve
~ ie
Onduleur
Mach.
 Figure 4. Schéma de principe de l'ensemble convertisseur moteur  En supposant les pertes par commutation nulles dans l’onduleur, la loi de conservation de puissance s'écrit :  veie=vdid+vqiq 
avec := ⋅ vvdqGvvd*q* où : G=2vepm le gain est   de l’onduleur, pm l'amplitude de la porteuse et Vd* et * Vq tensions de commande d'axes d et q de les l'onduleur. Pour de petites variations autour du point de fonctionnement, le modèle linéarisé conduit à :  veIe+Veie=vI+Vi+vI+Vi (1) d d d d q q q q v~vdq=2v~epmvvd**q+2Vepm~vvqd  Le principe de commande utilisé est présenté sur la figure 5. Un terme additionnel apparaît dans la structure de contrôle. A la référence de courant d'axe q classique est additionné un terme proportionnel aux variations de la tension d'entrée autour de sa valeur moyenne. En fait, on demande au moteur d'adapter sa demande de puissance afin de lutter contre les fluctuations de la tension d'entrée, notamment lors du démarrage de la machine.
idref id
* Cd(s) vdvdid  i
* v vq refCv(s) i Cq(s)DécouplageqOnduleurqMachineqref 1K ifeedback synchrone q veωsp+1  Figure 5. Schéma de contrôle de la machine synchrone à aimant permanent  En utilisant les équations standards de la machine synchrone à aimant permanent et le schéma de contrôle proposé sur la figure 6, il vient alors :  i~iqd=1D(s)Rsω+0LqLdRss+ω0LLqds~v2p.emvvq*d*+2Vp.emv~v~d**q (2)
 où : D(s)=Rs2⋅ (1+ τds)⋅1+ τqsω+02⋅ τdLd τd=Rs et :τq=LRqs  
 
τq 
3
En combinant les relations (1) et (2), il est alors possible d'exprimer les variations des grandeurs d'entrée en fonction des variations des courants d'axe d et q de la machine :  veIe+Veie=C(s)id+D(s)iq  (3)
C(s)=Vd+Id⋅ (Rs+Ldsω+)0LdIq avec :  D(s)=Vq+IqRs+Lqs− ω0LqId  A ce stade, il est nécessaire d'introduire la méthode de découplage choisie pour la régulation des courants d'axes d et q. On va détailler les calculs dans le cas d'un découplage de type Feedforward. Les tensions de commande d'axes d, q vérifient alors :  C(s)I I⎟⎞ *1*s ~ vd1 s ~ ~ ~ ~=ω+0τdτdω+τ0qτqq)(v⋅ Ωefrd− Ωd+ ⋅dωpωp+qvq *1CsC(s)ks~1evI 1 s
où Cd(s) et Cq(s) représentent les correcteurs de courant d'axes d et q et Cv(s) le correcteur de vitesse.  On recherche l'impact d'une variation de tension d'entrée sur le système. Les références de vitesse et de courant d'axe d sont donc prises constantes (i.e. leurs variations sont supposées nulles) :  =+ωττv~v~d*q*1ω0.1τd101qqs⎝ + τds − ⋅ Cds Id s ( )( )~( )ks~ev CqsCv(s)1p+TΨmffs+1I~+Cqωωp+⎝ ⎝ ⎠sp1 où f est le coefficient de frottement visqueux, J l'inertie de l'ensemble tournant, p le nombre de paires de pôles,ψf flux d'aimant et T lem la constante de temps mécanique (J/f).  Les relations (2) et (3) conduisent alors à :  ω+ω⎣ + ⋅ = ~i~iqd1D(sR1)sR10sL10dqLdss1Rs10q0LLsdq2.spvvVq*d*em2Cq1p(sm) ⋅k0ωspωsp+1~ev +τ+ ⋅ +τ+ τ ⋅ ()()~− ⋅ ⋅ R1s110ds1+01τqs2VpmeCqsCvC)(sds1p+ITfdΨmfs+1I~q On note : id=A(s)eet iq=B(s)e (5)
 
En combinant les relations (3) et (5) il vient alors :  ve=Z=(ve− ⋅)) ~ie C(s)I A(s) B(s D(s) e e  C. Calcul de l’impédance de sortie Pour modéliser la source d’énergie, on appelle L l'ensemble des inductances de fuite et/ou de câblage ramenées à l'entrée du pont redresseur, R la résistance modélisant l'ensemble des pertes résistives en série avec la source et E la tension du bus continu à vide (figure 6).  i i R-Ls
E v s C  Figure 6. Modélisation de la source d’énergie
 En l'absence de perturbations sur la tension d'entrée E, il vient :  Z Vs(Ls+R) = − = out ~i(LCs2+RCs+1) s  D. Analyse de la stabilité de l'association filtre d'entrée – onduleur - machine synchrone On fait l'hypothèse que tous les régulateurs sont de type PI. Les fonctions de transfert des correcteurs s'écrivent alors:  * * Cd(s) =Kpd1*+ τdC s(s) =Kpq1*+ τqs q τdsτqs *   Cv(s) =Kv1Tm+*Tms s  Les paramètres du système concernent un ensemble filtre – onduleur machine synchrone à aimant connecté à un réseau de bord d’avion. La tension continue est issue du montage redresseur représenté sur la figure 3. La machine synchrone est destinée à l’entraînement d’un actionneur.  Comme le prouve la figure 7, avec les paramètres choisis, le système considéré est stable. Les paramètres de commande étant connus, l'inductance de fuite n'étant pas a priori facilement réglable, le seul paramètre permettant assurer la stabilité du système est la valeur de la capacité C. Pour que le système soit stable au point de fonctionnement désiré, celle-ci doit être supérieure à une valeur critique Cmin. Sur la figure 8 est représentée l'évolution du maximum de la partie réelle des pôles de la fonction de transfert VsE en boucle fermée. On constate que le paramètre K a un effet légèrement stabilisant sur le système. La valeur
 
4
de capacité pour laquelle, la mise en cascade de l’ensemble filtre d'entrée – onduleur - machine est stable, diminue lorsque K augmente mais ceci dans de faibles proportions. Sur la figure 9, on voit l'impact du choix de K sur l'ondulation de tension d'entrée lors d'une phase de démarrage. Les ondulations sont significativement diminuées.  
0.8 0.6 0.4 0.2
0 . -0 2 -0.4 -0.6 -0.8 -1-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Axe réel Figure 7. Tracé de Nyquist de Zout/Ze  
K max
1  
600 500 400 Kin m 300 200 100 0 -100 0 50 100 150 200 C en µF  Figure 8 : Evolution du maximum des parties réelles des pôles lorsque C et K varient entre Kmin= 0 et Kmax= 0,92  
300
200
100
0
-100
K=0
K=1,5
0.05 0.06 0.07 0.08 0.09  Figure 9 : Tension continue vslors d'une phase de démarrage pour deux valeurs de K (K = 0 en rouge et K = 1,5 en bleue).  E. Influence du mode de découplage Il est possible d'étudier l'impact du mode de découplage sur le dimensionnement de la capacité de stockage d'énergie C. Si l’on envisage maintenant un découplage de type Feedback. L'équivalent de la relation (2) conduit à :  1 *~ i~i~d=Rs0Ld0s12~vepvvd*V2emvd*q* +Rs+Lqs+~ q m qp v
 
En suivant la méthodologie présentée en III.C, il est alors possible de calculer l'impédance d'entrée du dispositif avec ce type de couplage. La figure 10 représente l'évolution du maximum de la partie réelle des pôles du système en boucle fermée dans le cas de découplages Feedforward et Feedback avec K = 0. La valeur minimale de C assurant la stabilité du bus continu n'est que peu influencée par le mode de découplage choisi.  
400
300
200
100
0
Découplage FeedForward
Découplage FeedBack
160 180 200 220 240  Figure 10. Evolution du maximum de la partie réelle des pôles en fonction du mode de découplage avec K = 0  IV. APPLICATION A UN ENSEMBLE REDRESSEUR SINUS CHARGE PARNENSEMBLES ONDULEUR-MACHINE SYNCHRONE A AIMANT  A. Description générale de l'application Dans la partie précédente, le convertisseur de tête, un filtre d'entrée, était un dispositif passif. Il n'était donc pas "commandable". Lorsque le dispositif d'entrée est muni d'une commande, il est alors possible de rechercher des contrôles qui permettent d'obtenir une impédance de sortie quasi nulle dans la gamme de fréquence utile du système. Ceci permet alors de minimiser, voire d’éliminer tous les problèmes d’interaction et d’instabilité entre les divers convertis-seurs mis en cascade et leurs charges. Dans cette partie, nous allons exposer une méthode d'usage général, qui permet d'exhiber une telle structure de contrôle. Les calculs sont réalisés dans le cas d'un convertisseur de tête de type redresseur commandé, chargé par N ensembles convertisseur machine -synchrone à aimant (figure 11). Une matrice de découplage est proposée rendant les commandes des charges indépendantes les unes des autres. Elle permet de plus d’assurer la stabilité du bus continu et ceci avec une faible valeur de capacité de stockage d énergie.  B. Mise en équation du système Les variations de tension du bus continu dépendent non seulement de la puissance injectée par le redresseur mais aussi des variations de charge dues aux moteurs. La structure de découplage doit assurer que les variations de tension continue vs dépendent seulement des variations de la puissance injectée par le pont redresseur.
 
5
Réseau
Redresseur
v0
Impédance de câble
vin1
Impédance de câble
Onduleur
SM1
vinN OnduleurSMN  Figure 11. Schéma fonctionnel de l’application  De plus la variation de vitesse du kéme moteur, notéeωdépendre que de la variation duk , ne doit couple du kéme lui-même propor-tionnel au moteur, courant d'axe q, iqk(cas des machines à pôles lisses). Ainsi la matrice de découplage doit permettre d'exprimer les variations des grandeurs de sortie sous la forme : vs=f (P) etωk=g( iqk) .  Suite à une linéarisation au premier ordre des équations du système, la tension de sortie du pont redresseur vérifie la relation :  Cdvs=PPcons dt VsVs où C est la capacité de stockage d'énergie et Pcons la puissance totale fournie aux différentes charges : N   ~Pcons=~Pconsk k=1  Si l’on fait l'hypothèse que la fréquence de com-mutation des interrupteurs est constante et que les pertes par effet Joule dans les câbles sont négligeables, il vient alors :   N Pcons=(VdkIdk+VqkIqk) k=1  En développant cette expression au premier ordre autour du point de fonctionnement du système, on a :  N P~cons=Vdki~dk+~vdkIdk+Vqk~iqk+v~qkIqk k=1
avec :vdk=( Rsk+Ldks)idk− ωokLqkiqk     ~ ~ v~qk=( Rsk+Lqks)iqk+ ωokLdkidk où Ldk= Lqk= Lkpour des moteurs lisses.  En supposant maintenant que la dynamique de l'asservissement en puissance est beaucoup plus rapide que celui en tension et en posant : P=GpPref(où Gp représente le gain en puissance entre les variations de puissance de référence Pref de puissance injectée et P , on obtient :
 
~ R  P [V L ( I s) I L i ] cons=kN=1+[dkVq+k+(skRs+k+dLqkks)dkIq+kωoωokkdkLqkqkIdk]dkiqk~
et : ~ v~V1Cs(GP~N=[Vdk+(Rsk+Ldks)IdkokLdkIqk]idk s =s ⋅⋅ ⋅préfk 1⎝+[Vqk+(Rsk+Lqks)Iqk−ωokLqkIdk]~iqk  Les équations mécanique de la machine synchrone à aimant donnent alors :   ω~ Jkddtk=pk⋅ Ψfkiqkfrk⋅ ω~k ~ soit :ω~k=( f pk+Ψfk⋅ ⋅iqk rkJks ) Ψfk le flux magnétique à travers les enroule- est ments statoriques, pk nombre de paires de pôles du le kéme moteur, Jk son inertie et où les variations du couple de charge sont supposée être proportionnelles à celles de vitesse. Sous forme matricielle, on obtient alors :  GpL~frédkω~ω~v~MNsk=CM00Vss AM00k(frkpk+BM0kJΨkfks)LMA0M00N(frpNNBM0NJΨNfNs)~i~i~i~iPqdqMkNN   ⎣ + ⋅ ~ G ~ i C V s ~ 0 1 0 0 0 0 i 0 0 1 0 0 0  vNdkqkds=0sp0Ak0BkL100AN0B0N.i~i~i~P~~kdNqéfkr~M 00 0O M id ~ iqN0 0 0 0 1 i 0qN Les termes Aket Bkreprésentent les coefficients de couplage et sont égaux à :  A[Vdk+( Rsk+Ldks)Idk+ ωokLdkIqk] k= −VsCs  Bk= −[Vqk+( Rsk+Lqks)Iqk− ωokLqkIdk] VCs s  Dans cette relation, on appelle Pref, Vdkref, Vqkref la puissance de référence et les tensions d'axes d et q de référence pour le kéme moteur (à la sortie de la structure de découplage). De plus, on note P*, V’dkref, dV'aqxkreefk urtie d l eqds, sso ée  tisnouoaredc ucles bo tens de  .rueto s ndte mem  On introduit une structure de découplage modélisée par une matrice A. Les équations de
 
6
l'ensemble du système peuvent alors être mises sous la forme :   PrefP* ~ idkv~dkrefA a = ~i~l,c ~qMkv~AGXM col: ù ((1,1,K,1,1+N2N2)) ~=[][][]qferNerNdrkqffeK+ idNv i~ qNv            Les matrices G et X de dimension (2N+1)x(2N+1) représentent une matrice de gain et la matrice modélisant le système :  1 0 0 0 0 0[G]=G000000000v0000Gv0O0000000Gv00G00v  1 0 0 0 0 0 0 Rs1+Lq1sωo1Lq1 00 0 D1(s) D1(s) [ ]0− ωo1Ld1Rs1+Ld1 0 0s 0 1 1 X=s)D()s(0D00O0 0 0 0 0 0 Rsk+LqksωokLqk DN(s) DN(s) DN(s) D+N(s)0 0 0 0− ωokLdkRskLdks où Gv est le gain en tension de l'onduleur et :  Dk(s) (RskLqk)(Rsk+Ldk)ω+²okLdkLqk  Pour assurer un contrôle découplé des courants d'axes d et q, une condition suffisante sur les coefficients de la matrice A est donnée par :  a2 k , j=0=a2 k+1, j  :jjis  {..,.12jk2,N+k21}+1 a2 k , 2 k=1 a2k,2k+1= −(Rsωokk+LLddkks) 2 k+1 k+1= a, 2a12 k+1, 2 k=( Rsωokk+LLqkqks)       Ces relations correspondent aux résultats classiques obtenus par un découplage de type FeedForward des courants des machines. Si ces condi-tions sont vérifiées, la matrice précédente X.A.G peut être mise sous la forme :  
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