Evaluation et coût du capital d'une start-up

Michel Levasseur

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Evaluation et coût du capital d’une startup Michel LEVASSEUR Publié dans la Revue du Financier, 2005. L’évaluation d’une startup pose une série de problèmes spécifiques.Elle repose plus sur une promesse d’activités que sur un ensemble d’actifs opérationnels.Les risques, et tout particulièrement d’échec définitif, sont élevés.Aussi, les exigences des apporteurs de fonds sontelles particulièrement élevées.Les taux de rentabilité requis sont sans commune mesure avec ceux habituellement observés sur les marchés financiers.L’objectif de ce papier est de proposer quelques outils afin de guider l’analyste dans le choix des facteurs fondamentaux propres à un modèle d’évaluation adapté à ce genre de situation et à mieux comprendre les déterminants du coût du capital. La modélisation proposée s’inscrit dans le champ des options réelles.Les techniques utilisées se retrouvent dans de nombreuses contributions (Brennan, M. et Trigeorgis, L., 1999, Dixit & Pindyck, 1996, Trigeorgis, L., 1996 pour n’en citer que quelquesunes).A l’instar de modèles « traditionnels »d’évaluation comme celui de Bates, nous proposons un modèle à deux périodes. Lapremière est celle du développement initial.Les apporteurs de fonds passent un contrat initial suivant lequel ils s’engagent à financer de manière irrévocable l’activité de développement de l’entreprise pendant un nombre d’années limité.Cette période est caractérisée par une consommation de fonds régulière («cash burning») et une absence d’activité notable de production ou de commercialisation.Pour simplifier, nous supposerons que la firme est suffisamment dotée en capital pour faire face à ses besoins financiers initiaux. Le risque de défaillance est donc nul à cette époque.La décision de développement est par ailleurs irrévocable. Au terme de cette première période, les associés sont confrontés au choix suivant.Ils peuvent, soit décider de la mise en œuvre du projet industriel, investir et commencer l’activité productrice, soit attendre et prolonger la période de développement, soit enfin abandonner et liquider l’entreprise.Ils disposent à cette date d’une bonne évaluation du chiffre d’affaires attendu, des marges possibles et des perspectives de croissance.Cependant, il subsiste une incertitude sur le niveau de valeur créée par unité monétaire investie.Cette incertitude résiduelle peut être suffisante dans certaines situations pour justifier une stratégie de report de l’investissement et d’attente.L’évaluation de l’entreprise au début de la deuxième période empruntera le chemin d’une évaluation sous forme d’option réelle sans échéance.Un des intérêts du choix de cette technique est de pouvoir rendre compte, d’une part qu’au moment où les fonds seront levés pour financer l’investissement, la valeur de l’entreprise excédera largement la valeur du capital investi, ce qui est généralement le cas, d’autre part que cette entreprise reste confrontée à un risque de défaillance encore non négligeable. Ce papier est divisé en 5 sections.La première présente les variables utilisées et les principales hypothèses.La seconde propose une modélisation de la valeur finale de l’entreprise au terme de la première période.La troisième développe un modèle d’évaluation courant tout au long de la période initiale de contractualisation, intégrant le modèle précédent pour la valeur finale et tenant compte de l’aspect optionnel du contrat.La quatrième fournit une estimation du taux de rendement attendu par les actionnaires au cours de la période

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contractuelle. Lacinquième est consacrée à une étude comparative de l’importance des différents paramètres sur la détermination de la valeur initiale de l’entreprise et sur son coût du capital. 1.Hypothèses et cadre de la modélisation Supposons que l’entreprise soit financée uniquement par des fonds propres.Elle ne détient pas d’actifs en place et le coût de son fonctionnement pour chaque année est évalué sous la forme d’un flux égal àcvaleur initiale pour ses actionnaires est désignée par. SaS 0 . Les actionnaires ont conclu un pacte initial.L’entreprise pourra consommer chaque année jusqu’enTun montantcpour poursuivre le développement d’un produit.Afin de faire face à ⎡ −rT ⎤ 1− e ⎢ ⎥ ses besoins, elle a été dotée d’une trésorerie initiale égale à c⋅  oùr désignele ⎢ ⎥ r ⎣ ⎦ taux sans risque.Le contrat est irrévocable. Au terme de ces T années, la valeur de l’entreprise est égale àS T . Ace terme, les dirigeants de l’entreprise peuvent décider de la réalisation immédiate ou différée d’un investissement irréversible I.L’activité qui en résultera permettra de dégager un cashflow égal àπ. Pour financer cet investissement, l’entreprise devra lever des fonds sur le marché financier.On π supposera que la valeurV(π)attribuée à l’entreprise après investissement est égale àoùδ δ représente le taux de capitalisation en usage dans le secteur, vu le risque et les perspectives de croissance. Les dirigeants n’ont pas l’obligation de réaliser immédiatement en T cet investissement.Ils peuvent bien évidemment abandonner le projet etS T . vaut zéro.Cette décision est irrémédiable. Ilspeuvent aussi décider d’attendre.Il leur en coûtera de devoir continuer à financer les dépenses courantes d’exploitation C sans bénéficier de recettes mais ils auront l’avantage de prendre éventuellement une décision d’investissement mieux avisée, leur connaissance du cashflow futur et de son taux de capitalisation pouvant évoluer.Posons V ( π ) x= la suite,. Par x sera modélisé sous la forme d’un processus stochastique pour rendre I compte de cette incertitude spécifique.Nous supposerons qu’il existe une valeur x 1 de x telle que six estsupérieur àx 1 , les dirigeants de l’entreprise décident de réaliser immédiatement l’investissement. Dansce cas, S ( x ) =I⋅ ( x−1 ) . T Six estinférieur àx 1 , l’entreprise devra couvrir des dépenses d’exploitationc jusqu’au moment oùxsera égal àx 1 et où le projet d’industrialisation sera entrepris.Notons parD(x) la valeur espérée et actualisée en T de tous ces décaissements à venir qui sont, quant à leur

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nombre, incertains (la date d’arrêt n’est pas connue au départ). Cette fonction vérifie la conditionD(x 1 ) = 0. Parailleurs, elle continuera à détenir une option sur la réalisation du projet au cas oùxdeviendrait égal àx 1 . NotonsW(x)la valeur de cette option réelle, sachant queW(x 1 ) = I . (x 1 1). Pourfinir, nous pouvons noter queS T (x) = W(x) – D(x). Il reste à prendre en compte la responsabilité limitée des actionnaires.La variableS T (x)doit rester positive.Il existe donc une deuxième valeurx 2 , telle que six estinférieur àx 2 , il est optimal pour les actionnaires de liquider immédiatement l’entreprise. Figure 1 Valeur de l’entreprise enT: S T (x)= 0 x 2 S T (x)= W(x) – D(x) x 1 S T (x)= I . (x–1) abandon attente réalisation Nous supposerons dans ce qui suit quexsuit un mouvement brownien géométrique et que sa valeur espérée et actualisée enT pourdes dates futures est déclinante suivant un taux d’attritionα. L’attenteBien au contraire, l’effet de lan’apporte aucun avantage spécifique. concurrence ne peut que porter préjudice.Dès lors, on peut écrire : dx=r−α ) ⋅x⋅dt+σ⋅dz (1) 2 Le paramètreσ 2 l’incertitude qui pèse sur les prévisions effectuées en mesureTet qui porte sur les périodes audelà. Il reste à caractériser la dynamique du processusxentre maintenant et la date de fin de contrat T . Onsuppose qu’il suit un mouvement brownien géométrique mais de paramètre différent : dx=μ⋅x⋅dt+σ⋅dz (2) 1 1 Le paramètreσ 1 mesure l’incertitude qui pèse sur les prévisions effectuées entre maintenant et Tetμ 1 peut excéder r en fonction des progrès technologiques espérés.

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2.Modélisation de la valeur au terme de la période contractuelle de développement Le lemme d’Itô établit que : 2 ⎡ ⎤ ∂W∂W1 2 2 ∂W∂W dW= + ( r−α ) ⋅x⋅ +⋅σ⋅x⋅ ⋅dt+σ⋅x⋅ ⋅dz  (3) ⎢ 2 ⎥ 2 2 ∂t∂x2 ∂x ∂x ⎣ ⎦ et 2 ⎡ ∂∂ ⎤ ∂ ∂ D D1 2 2 D D dD= + ( r− α ) ⋅x⋅ +⋅ σ ⋅x⋅ ⋅dt+ σ ⋅x⋅ ⋅ dz  (4) ⎢ 2 ⎥ 2 2 ∂t∂x2 ∂x ∂x ⎣ ⎦ CommeW etD sonthomogènes dans le temps (r,α,σ 2  constantset pas d’échéance), nous avons : ∂W∂D = =0 ∂t∂t En probabilité risque neutre, on peut écrire : E [ dW ] =W⋅r⋅dt E [ dD ] −c⋅dt=D⋅r⋅dt d’où : 2 1 2 2 ∂W∂W ⋅σ⋅x⋅ + ( r−α ) ⋅x⋅ −r⋅W=0 2 2 2 ∂x ∂x  (5) 2 ∂ 1 2 2 ∂D D ⋅σ⋅x⋅ + ( r−α ) ⋅x⋅ −r⋅D−c=0 2 2 2 ∂ Les solutions générales de ces deux équations aux dérivées partielles sont de la forme : β β 1 2 W ( x ) =A⋅x+A⋅x 1 2 c β β ' ' 1 2 D ( x ) = −A⋅x+A⋅x 3 4 En reprenant ces formes, les deux E.D.P. s’écrivent alors :

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β 2 β 2 1 1 2 1 A⋅x⋅ [ ⋅σ⋅β⋅ ( β−1 ) + ( r−α ) ⋅β−r ] +A⋅x⋅ [ ⋅σ⋅β⋅ ( β−1 ) + ( r−α ) ⋅β−r ] =0 1 22 11 12 22 22 2

β ' '2 ' β ' '2 ' 1 1 2 1 A⋅x⋅ [ ⋅σ⋅β⋅ ( β−1 ) + ( r−α ) ⋅β−r ] +A⋅x⋅ [ ⋅σ⋅β⋅ ( β−1 ) + ( r−α ) ⋅β−r ] =0 3 22 11 14 22 22 2 Les coefficientsβsont les racines de l’équation du second degré : 2 1 ⋅σ⋅β⋅ ( β−1 ) + ( r−α ) ⋅β−r=0 (6) 2 2 2 2 2 1 Posons : Δ = [ ( r−α ) − ⋅σ ] +2⋅σ⋅r. 2 22 Les solutions sont : 2 1 − [ ( r−α ) − ⋅σ ] + Δ ' 22 β=β= 1 1 2 σ 2  (7) 2 1 − [ ( r−α ) − ⋅σ ] − Δ ' 22 β=β= 2 2 2 σ 2 Les conditions aux bornes sont : W ( x ) =I⋅ ( x− 1 ) 1 1 D ( x ) =0 (Triggerpoints conditions) 1 W ( x ) =D ( x ) 2 2 et W ( x ) 1 =I ∂x ∂D ( x ) 1 =0  (Smoothpasting conditions) ∂x ∂W ( x ) ∂D ( x ) 2 2 = ∂x∂x Les conditions contenant le termex 1  (1,2, 4 et 5) permettent d’exprimer les valeurs des 4 constantes :

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β ⎡ ⎛ 1−β−β ⎞⎤ − 1 2 2 A=x I⋅ ⎜ x⋅ − ⎟ 1 1 ⎢ 1 ⎥ β−β β−β ⎣ ⎝⎠⎦ 1 21 2 − β ⎡ ⎛ β−1β ⎞⎤ 2 1 1 A=x I⋅ ⎜ x⋅ − ⎟ 2 1 ⎢ 1 ⎥ β−β β−β ⎣ ⎝⎠⎦ 1 21 2 − β ⎡ c ⎛ − β ⎞⎤ 1 2 A=x⋅ ⎜⎟ 3 1 ⎢ ⎥ rβ−β ⎣ ⎝⎠⎦ 1 2 − β ⎡ c ⎛ β ⎞⎤ 2 1 A=x⋅ ⎜ ⎟ 4 1 ⎢ ⎥ rβ−β ⎣ ⎝⎠⎦ 1 2 On peut ainsi exprimer la valeur de l’option réelle liée au projet : β β ⎛ ⎞ ⎡ ⎛ − − ⎞⎤ ⎛⎞ ⎡ ⎛ − ⎞⎤ 1 2 x 1β 2 β 2 x β 1 1β 1 ( ) + ⎜ ⋅ − ⎟ W x= ⎜ ⎟ ⋅ ⎢ I⋅ ⎜ x⋅ − ⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ⋅ ⎢ I⋅x ⎥  (8) 1 1 xβ−β β−βxβ−β β−β ⎝ 1 ⎠ ⎣⎝ 1 21 2 ⎠⎦ ⎝ 1 ⎠ ⎣⎝ 1 21 2 ⎠⎦ La valeur des décaissements qu’il faudrait maintenir au cas où l’attente serait décidée : ⎡ β β ⎤ 1 2 c ⎛ x ⎞ − β ⎛ x ⎞ β ⎢ ⎥ 2 1 D ( x ) = ⋅1− ⎜⎟ ⋅ − ⎜⎟ ⋅ (9) r ⎢ xβ−βxβ−β ⎥ ⎝ 1 ⎠ 1 2 ⎝ 1 ⎠ 1 2 ⎣ ⎦ Ce montant peut être considéré comme une évaluation de la ronde de financement qu’il faudrait organiser entre la première ronde de lancement de l’entreprise et la dernière correspondant à l’industrialisation. La 6° condition aux bornes permet d’écrire : 1 β−β ⎡ −1 ⎛ c ⎞ ⎤ 1 2 I⋅x⋅ ( 1−β ) − ⎜I− ⎟ ⎢ 1 1 ⎥ x 2 ⎝ r ⎠ ⎢ ⎥ = x 1 ⎢ −1 ⎛ c ⎞ ⎥ I⋅x 1 ⋅ ( 1−β 2 ) − ⎜I− ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎝ r ⎠ ⎦ En introduisant cette expression dans la 3° condition aux bornes et en notantc’ =c/I, on obtient l’équation suivante en x 1 :

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β 1 ' β−β ⎡ ⎛ c ⎞ ⎤ 1 2 −1 x⋅ ( 1−β ) − ⎜ 1− ⎟ ⎢ 1 1 ⎥ ' r ⎡ 1−β ⎛ c ⎞ − β ⎤ ⎢ ⎝⎠ ⎥ 2 2 ⋅x⋅ − ⎜ 1− ⎟ ⋅ ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ' β ββ β ⎛ c ⎞ −r− 1 ⎠ ⎦⎣ ⎝ − 1 21 2 ⎢ x⋅ ( 1−β ) − ⎜ 1− ⎟ ⎥ 1 2 r ⎢ ⎝⎠ ⎥ ⎣ ⎦ (10) β 2 ' β−β ⎡ ⎛ c ⎞ ⎤ 1 2 −1 x⋅ ( 1−β ) − ⎜ 1− ⎟ ⎢ 1 1 ⎥ ' ' ⎤ r ⎡ β−1 ⎛ c ⎞ β c ⎢ ⎝⎠ ⎥ 1 1 + ⋅x⋅ − ⎜ 1− ⎟ ⋅ −=0 ⎢ 1 ⎥ ⎢ ⎥ ' β ββ β ⎛ c ⎞ −r−r 1 ⎠ ⎦⎣ ⎝ − 1 21 2 ⎢ x⋅ ( 1−β ) − ⎜ 1− ⎟ ⎥ 1 2 ⎢ r ⎥ ⎣ ⎝⎠ ⎦ Cette équation ne peut être résolue que numériquement.Mais, il est intéressant de constater que les valeurs critiquesx 1 etx 2 sont fonction d’un nombre réduit de paramètres :σ 2 qui rend l’attente attractive etr,α etc’ quisont des termes de coût (coût du capital, attribution traduisant une perte d’avantage compétitif et «cashburning »dans la phase de développement). En réarrangeant les termes, on peut exprimer la valeur de l’entreprise pour ses actionnaires en T: S ( x ) =I⋅ [ x−1 ] six>x T1 S ( x ) =I⋅ [ x⋅ Φ ( x ) − Φ ( x )] six<x<x T 12 21 1 S ( x ) =0 six<x T2

avec β ββ ββ β 1 21 21 2 ⎧ ⎡⎤ ⎫⎧ ⎡⎤ ⎫ ⎛ ⎪ x ⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎪⎪⎛ x ⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎪ ⎜⎟ ⋅ ⎢ 1− ⎜⎟ ⎥ − ⎜⎟ − ⎜⎟ ⋅ ⎢ 1− ⎜⎟ ⎥ − ⎜⎟ ⎨ ⎬⎨ ⎬ x ⎢ x ⎥ x xx ⎥ x ⎪⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎪⎝⎠ ⎪ 1 ⎝ ⎠ ⎢ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎪ ⎩ ⎣⎦ ⎭⎩ ⎣⎦ ⎭ Φ ( x ) = Φ ( x ) + 1 2 β β 2 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 2 2 β ⋅ ⎢ 1− ⎜⎟ ⎥ − β ⋅ ⎢ 1− ⎜⎟ ⎥ 1 2 x x ⎢ ⎝ 1 ⎢ ⎝⎠ ⎥ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

β ββ β 2 21 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ x ⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎢ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎥ ⋅ ( β ) + ⎢ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎥ ⋅ ( −β ) 1 2 x xx x ⎢⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎥⎢⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Φ ( x ) = 2 β β 2 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 2 2 β ⋅ ⎢ 1− ⎜⎟ ⎥ − β ⋅ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ 1 2 x x ⎢ ⎝ 1 ⎠ ⎥⎢ ⎝ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ Notons, par ailleurs, qu’on peut réécrire S ( x ) =I⋅ [ x⋅ Φ ( x ) − Φ ( x )] sous la forme : T1 12

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 (11)

β β 1 2 S ( x ) =I⋅ [ k⋅x+k⋅x+k ] T1 23

avec β ⎡ ⎤ 2 ⎛ x ⎞ 2 x ⋅ ⎢ 1 − β − ⎜ ⎟ ⎥ + β 1 22 x ⎢ ⎝ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1 k= ⋅ 1 β β β 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ x 2 1 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 1 2 2 β ⋅ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ − β ⋅ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ 1 2 x x ⎢ ⎝ 1 ⎠ ⎥⎢ ⎝ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ β ⎡ ⎤ 1 ⎛ x ⎞ 2 x ⋅ ⎢ β−1+ ⎜ ⎟ ⎥ − β 1 11 x ⎢ ⎝ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 1 k= ⋅ 2 β β β 2 2 1 ⎡ ⎤⎡ ⎤ x ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 1 2 2 β ⋅ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ − β ⋅ ⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ 1 2 x x ⎢ ⎝ 1 ⎢ ⎝⎠ ⎥ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ β β 1 2 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ 2 2 ⎜⎟ ⋅ [ x⋅ ( 1−β ) +β ] + ⎜⎟ ⋅ [ x⋅ ( β−1 ) −β ] 1 22 11 1 x x ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1 ⎠ k= − 3 β β ⎡ ⎤⎡ ⎤ 2 1 ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ (11’) 2 2 β ⋅ ⎢ 1− ⎜⎟ ⎥ − β ⋅ ⎢ 1− ⎜⎟ ⎥ 1 2 x x ⎢ ⎝ 1 ⎢ ⎝⎠ ⎥ 1 ⎠ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞ De manière approchée, les ratios ⎜ ⎟ et ⎜ ⎟ mesurent respectivement la capacité à devenir x x ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 ⎠ rentable à l’avenir et le risque de défaillance (plus ce dernier ratio est proche de 1). Le recours à la variable x n’est pas nécessairement intuitif.Pour lui donner un contenu pratique, il suffit de remarquer qu’il s’agit du ratio de la valeur capitalisée du cashflow attendu par l’investissement requis : Cash−flow δ x= oùδdésigne le taux de capitalisation attendu sur le marché I S ( x ) T L’un des intérêts de ce modèle est de mettre en exergue le ratioqui peut être interprété I comme le Q de Tobin moins 1.Ce modèle suggère qu’il est opportun d’introduire la startup sur le marché financier avant la phase d’industrialisation afin de bénéficier d’une valorisation relative flatteuse.

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3.Détermination de la valeur actuelle Connaissant la valeur terminale de l’entreprise pour ses actionnaires enT, il reste à déterminer sa valeur initiale.Entre la date présente et la fin du pacte initial, la dynamique dexest décrite par le mouvement brownien géométrique : dx= ⋅x dt+σ⋅dz 1 1 Il s’en suit que : μT 1 E [ x ] =x⋅e T0 En notantλla prime de risque, nous pouvons écrire : =r+λ⋅σ 1 1 En univers risque neutre, log(x T ) suit une distribution normale : 2 1 N ( log ( E [ x ] − ( λ⋅σ+ ⋅σ ) ⋅T ) ,σT ) T1 11 2 Sachant que, vu les développements précédents (11’) : S ( x ) =I⋅ [ x−1 ] six>x T1 β β 1 2 S ( x ) =I⋅ [ k⋅x+k⋅x+k ] six<x<x T1 23 21 S ( x ) =0 six<x T2 En conservant cette distribution de probabilité risque neutre, on peut écrire : −r⋅T S=e⋅E [ S ( x )]  (12) 0T Posons : β=0 3 2 ⎡ σ ⎤ 1 β ⎢ λ σ− ( β− ) ⋅ ⎥T − ⋅⋅1⋅ 1 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ g ( β ) =e  (13) E [ x ] T log ( ) x 1 d ( x,β ) = − [ λ− ( β− ) ⋅σ ] ⋅T 2 1 σ⋅T 1 On obtient la solution suivante : j= 3 ⎧ ⎫ β −r⋅T j ∑ S=e⋅I⋅E [ x ] ⋅g ( 1 ) ⋅N ( d ( x,1 )) −N ( d ( x,0 )) +k⋅E [ x ] ⋅g(β)⋅ [ N(d(x,β))−N(d(x,β)) ] 0 ⎨ T1 1j Tj1j2j ⎬ ⎩ ⎭ j=1 (14)

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