Cours : EDP hyperboliques. Les équations de propagations d
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a(x,y)u (x,y)+b(x,y)u (x,y)+c(x,y)u (x,y)+d(x,y)u (x,y)+eu(x,y) =f(x,y)xx yy x y
a(x,y)b(x,y) < 0
y t
D D = (Ω⊂ IR)×[0,T]
−u (x,t)+a(x,t)u (x,t)+c(x,t)u (x,t)+d(x,t)u (x,t)+e(x,t)u(x,t) =f(x,t), ∀x∈ Ω,∀t∈]0,T[tt xx x t
x∈ IR
nu (Ω⊂ IR )×[0,T]
Lu(x) =f(x), ∀x∈ Ω
L
n n2 X X∂ u(x,t)Lu =− + a (x,t)u (x,t)+ b (x,t)u (x,t)+c(x,t)u(x,t)ij x x i xi j i2∂t
i=1,j=1 i=1
A = aij
Dv(x,t) dρ =ργ(x,t) =f + σ, x∈ IR , t∈]0,T[
xDt
d = 1,2,3
d dv(x,t) : IR ×[0,T]→ IR
d dγ(x,t) : IR ×[0,T]→ IR
d df(x,t) : IR ×[0,T]→ IR
d d dσ(x,t) : IR ×[0,T]→ IR ×IR
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1 Tε(X,t) = ∇u(X,t)+∇ u(X,t) =∇ u(X,t)S2
¯σ(X,t) =K(X,t)⊗ε(X,t)
K(X,t)
2 d u(X,t) ¯¯ρ − K(X,t)⊗∇ u(X,t) =f
x S2dt
d = 1
2d u(X,t)
ρ −kΔu(X,t) =f
2dt
L S u(x,t)
N(x,t)
2∂ u ∂N
ρS − =N , x∈]0,L[, t∈]0,T[ext2∂t ∂x
N ∂u
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S ∂x
E
2 2∂ u ∂ u
ρS −ES =Next2 2∂t ∂x
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