Codes Correcteurs d'Erreurs Cours 1 + Introduction + Codes linéaires en bloc

Marc Chaumont

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Introduction IntroductionLes codes lin´eaires en blocs Les codes lin´eaires en blocsSourcesCodes Correcteurs d’ErreursCours 1+ Introduction ”The Art of Correcting Coding”, Robert H. Morelos-Zaragoza,2002+ Codes lin´eaires en blocCours de Pierre Abbrugiati, Universit´e de Nice,Cours de Marc Uro, INT Evry.Marc ChaumontNovember 12, 2008Marc Chaumont Introduction Marc Chaumont IntroductionPr´eambule Pr´eambuleIntroduction Les 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distance Introduction Les 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distanceLes codes lin´eaires en blocs Capacit´e de d´etection et de correction des erreurs Les codes lin´eaires en blocs Capacit´e de d´etection et de correction des erreursExercice ExercicePlan Code d´etecteur/correcteur d’erreur1 IntroductionPr´eambulePar codes, on peut entendre plusieurs concepts distincts :Les 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distanceles codes pour la cryptographie,Capacit´e de d´etection et de correction des erreursExercice les codes pour la compression,les codes pour la correction d’erreur.2 Les codes lin´eaires en blocsDans ce cours, nous nous interessons uniquement aux codes cor-D´efinitionrecteurs d’erreurs.Matrice g´en´eratrice et de v´erification de parit´eExerciceLe poids = la distance !Marc Chaumont Introduction Marc Chaumont IntroductionPr´eambule Pr´eambuleIntroduction Les 3 principaux param`etres : longueur, dimension, distance Introduction Les 3 principaux ...

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Extrait

Introduction Lesocedlsnie´iaereslonbcs Intro ocselsed tcud L noi nbsecslo´einreai ecsoSru omuanItnaMhCcronodtrtiucaMcrhCuaomtnIntroduction

Plan

1 Introduction Pr´ bule eam Les3principauxparame`tres:longueur,dimension,distance Capacit´eded´etectionetdecorrectiondeserreurs Exercice 2 Lescodesline´airesenblocs D´efinition Matricege´ne´ratriceetdeve´rificationdeparit´e Exercice Le poids = la distance !

Par codes, on peut entendre plusieurs concepts distincts : les codes pour la cryptographie, les codes pour la compression, les codes pour la correction d’erreur. Dans ce cours, nous nous interessons uniquement aux codes cor- recteurs d erreurs. ’

Codes Correcteurs d’Erreurs Cours 1 + Introduction +Codesline´airesenbloc Marc Chaumont

Marc Chaumont Introduction Pr´eambule Introduction Les3principauxparam`etres:longueur,dimension,distance Lescodesline´airesenblocs Capacite´dede´tectionetdecorrectiondeserreurs Exercice

”The Art of Correcting Coding”, Robert H. Morelos-Zaragoza, 2002 CoursdePierreAbbrugiati,Universit´edeNice, Cours de Marc Uro, INT Evry.

Marc Chaumont Introduction Pr´eambule Introduction Les3principauxparame`tres:longueur,dimension,distance Lescodesline´airesenblocs Capacit´eded´etectionetdecorrectiondeserreurs Exercice Coded´etecteur/correcteurd’er reur

November 12, 2008

iaernie´edlsseoc ion L ductntroI ecetd´dedeetontiC ecnatsi e´ticapa Exer eurs Cons cice ceitocrresrrnoed Le le prs3ciinuxpa bnesscol e´rPubma ueur,dimension,dapar`mteer:solgn tat el eL3srp rPe´maub senblocsin´eaireocselsed tcud L noiIront iquedelath´eorie icec cS´hmecaalss deonrrserseu erEx noitedterrocitceit´eapacetecded´ nod,neiscn C esiatnglos:reim,duruexuapicnite`marap del’information MarcChaumontIntrdocuitno

Surinternet,(paquetsIP)lecodecorrecteurselimite`ala d´etectiondeserreurs(sommedecontrˆole).Lacorrectionest alorsre´alise´eparunenouvelledemandedetransmissiondumes- sage (protocole TCP). Danslecasdudisquecompact,leserreurspeuventˆetrecause´es pardesrayuresoudesimpurete´sdusupport,ellessontmoins fre´quentesmaisbeaucoupplusvolumineuses.Lanormedela soci´ete´Philipsimposelacapacit´edecorrectiond’erreursdans lecasd’unerayurede0,2milli`etre,danslapratique,lecode m utilise´corrigejusqu’a`4096bitsconsecutifssoitunerayurede ´ plusd’unmillim`etredelarge. Communications sans fils : GSM, satelite, sous-marine...

Figure: Transmissionaveccodagede´tecteur/correcteurd’erreurs

no

le code de p it´ ar e : Ge´ne´ralement,onajoute`a7bitsdedonne´es1bitvalant1s’ilya unnombreimpairde1,et0sinon.Sia`lar´eceptionundes8bits esterron´e,ilyad´etectiond’erreur. controˆlederedondancecyclique:CRC Less´equencesbinairessonttrait´eescommedespolynoˆmesdontles coefficientscorrespondenta`las´equencebinaire.Onajoutea`la se´quencebinairelerested’unedivisionpolynomiale(divisionparle ` polynˆom´´ateur)Alar´eceptionlerestedeladisisionre¸cuet e gener . lerestedeladivisioncalcule´doiventcoincideroualorsilyaerreur de transmission.

Autrement dit, les donne´es , lorsqu’elles circulent sur cette voie, sont susceptiblesd’eˆtrealte´re´es . Bref,ilfautdesm´ecanismesde de´tectionetdecorrectionde ces erreurs ...

Marc Chaumont Introduction Pr´eambule Introduction Les3principauxparam`etres:longueur,dimension,distance Les codes lineaires en blocs Capacit´edede´tectionetdecorrectiondeserreurs ´ Exercice Exemple de code d´etecteur d’erreur : lecodedeparite´ et le CRC

Marc Chaumont Introduction P ´ mbul rea e Introduction Les3principauxparame`tres:longueur,dimension,distance Lescodesline´airesenblocs Capacit´eded´etectionetdecorrectiondeserreurs Exercice Exemple de canal de communication

Danslagrandemajorite´descas,une transmissiondedonne´es se fait en utilisant une voie de communication qui n’est pas entierement fi-` able : le canal de communication .

rtdocuitaumontInMarcCh

r´ea ocs Pe Les mbul ´naeseilnelbrise tiucodtr odscLe onnI ´tdedee´ ec aCapic n,distandimensiougno,ruerte`l:sexpauamarri3pipnc ocvndoseuscsvsreblocodes ice C xercE sruerresednoitcreorectdneioctte cicr exE e elpmocedd´deeceturtecoet tcoiendtceroertciondeserreurs Exe noiti etrurrceerru’dre oded :le cp´eter´e ifutolnvd d enepd´nu’deitrocruedoc te`auranraincodefnrolei’noocamitonti ´epredc´teen uqisledefni’amro r. Note1:Lechoixd te’le´atdtcudoue oN .noitacilppa’ldendpe´eedodnc’u noovedcsseoctnl,uemeoriqHistte2:uopsuelr´fe´e´reett´pr´etiluonfsyonaeces”etealrcge”souplrd´ecoda fi c slotu lbcodosesuscsverconvodes L sfitulo csedocseeuctreorreerd’rsruE(CCp)ueevtneˆtredivis´esen2 clessa el :s docsneseocblls:Iaitrntteinfoocd’ueblchaq epdndne´ oi i nmrta sadenssulentmeamdtomeuqahC.sertu ind´epen ecodeest tuermstoadtnedas scleesod ecsde.od :sfiosaLvnoctulo be´d(ruojeca`suncl`esime`e21duuteLmset:3 .” oN puel sconcodeeurseill ´derdoceaptnteˆseri`soe”sd´eanemllleseoc ol l n qaeuepouvaiedesblocn ntInaumouctitrodno fa`aleibnsde´eit aped´tir aM )e hCcr e)sontlescodesblco(sri´rgelueisr esirblenliesean´eL no docs dortitcuauxparam3princip bmlu L e se co P s ´rae on In uctitrodntInuaomcrhCaM crex P eci nal ioctesndreers E ur oisnemidnatsid,n:lestr`er,euguon oienettcroerdtcepaci ce Caed´et´ed

1 Introduction Pr´eambule Les3principauxparam`etres:longueur,dimension,distance Capacite´ded´etectionetdecorrectiondeserreurs Exercice 2 Lescodesline´airesenblocs D´efinition Matriceg´en´eratriceetdev´erificationdeparit´e Exercice Le poids = la distance !

Marc Chaumont Introduction Pre´ambule Introduction Les3principauxparam`etres:longueur,dimension,distance Lescodesline´airesenblocs Capacit´edede´tectionetdecorrectiondeserreurs Exercice ’ Qu’attend-on d un bon code

Un bon code doit avoir : unbonrendement(taux)c’est-a`-direungrandnombredebits d’informationparrapportauxbitscod´es. unebonnecapacit´edede´tectionetcorrectiond’erreurs, uneproce´duredede´codage(etdecodage)suffisammentsimple et rapide. Toutleproble`medelath´eoriedescodescorrecteursd’erreursest l`a:construiredescodesquide´tectentetcorrigentleplusd’erreurs possible, tout en allongeant le moins possible les messages, et qui soientfacilesa`decoder. ´

Technique de codage : Pourunbitd’information,3bitssontenvoye´s(cadcod´es)telsque : 0 → 000 1 → 111 Techniqueded´ecodage: Lede´codagesefaitparvotemjaire.Parexemple,¸ a orit si le mot recu est001,alorsond´eduitquelebit´emise´tait0.

itnodocunIrtomtnChauMarc emsnoi,nidtsnaec Capacit´eded´ete cniruapirapxe`maestron:leugudir, aeriil´nlbcosene eamb s Pr´ es3p ule LrtnIontiucod esodscLe