Cours sur l'algèbre linéaire - Niveau DUT

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Alg`ebre lin´eaire
DUT Informatique, semestre 2
Version 3.0
21 mars 2011
Ph. Roux
2002-20112Table des mati`eres
Table des mati`eres 3
1 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Les ensembles de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Alg`ebre des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Autres op´erations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Quelques structures alg`ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1 Groupes et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
n2.2 L’espace vectorielR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Syst`emes d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1 La m´ethode de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
n3.2 Nature d’une famille de vecteurs deR . . . . . . . . . . . . . 28
n3.3 Bases des sous-espaces vectoriels deR . . . . . . . . . . . . . 37
n p4 Applications lin´eaires deR dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Repr´esentation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Th´eor`eme de la dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.1 D´efinition g´en´erale d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . 60
5.2 Nature d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Les suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Rep`eres historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1 Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Giuseppe Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3 Karl Friedrich Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.4 Google . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Bibliographie 82
Index 83
3Avertissement
Pour bien utiliser ce polycopi´e, il faut le lire au fur et `a mesure de l’avancement
du cours magistral, et prendre le temps de refaire les exercices types qui y sont
propos´es.
• Les d´efinitions et th´eor`emes sont num´erot´es suivant le mˆeme ordre que dans le
cours magistral. Ils apparaissent dans un cadre gris´e et sont en g´en´eral suivit
de leur d´emonstration, signal´ee par une barre dans la marge et un `a la fin.
• Latabledesmati`eresetl’index(`alafindudocument)permettentderetrouver
une notion pr´ecise dans ce polycopi´e.
• Les m´ethodes et techniques qui seront approfondies en TD sont signal´ees par
un cadre (sans couleurs)
• Des exercices types corrig´es, et surtout r´edig´es comme vous devriez le faire en
DS, sont signal´es par le symbole :
• Les erreurs et les confusions les plus fr´equentes sont signal´ees dans des cadres
rouges avec le symbole :

• Vous ˆetes libre de r´eutiliser le contenu de ce document sous les termes de la
licence CC-BY-NC-SA [8]
4
PDUT Informatique Alg`ebre lin´eaire Math´ematiques
1 Calcul matriciel
1.1 Les ensembles de matrices
Beaucoup de structures de donn´ees peuvent ˆetre repr´esent´ees par des tableau `a
uneoudeuxdimensions.Cetypededonn´eescorresponda`untyped’objetmath´ematique
bien particulier : les matrices.
D´efinition 1.1 On appelleAune matrice`a coefficientsr´eelsa`p lignesetn colonnes
un tableau de nombres r´eels comportant p lignes et n colonnes que l’on note
 
a ... a ... a11 1j 1n
. . . . . .. . . 
 
A = (a ) = a ... a ... a ou` i = 1,...p et j = 1,...n. ij i1 ij in
 . . . . . . . . .
a ... a ... ap1 pj pn
ie`me ie`meLe coefficient a` l’intersection de la i ligne et de la j colonne est not´e a .ij
L’ensemble des matrices `a p lignes et n colonnes est not´eM (R) et le couple (p,n)p,n
est appel´e la taille de la matrice.
Contrairement aux tableaux qu’on rencontre couramment dans divers langages
de programmation en informatique la premi`ere case (i.e. celle en haut `a gauche)
est num´erot´ee (1,1) et non pas (0,0)!
Figure 1 – Bien se rep´erer dans une
matrice
5
>
;
3
{z
@
1
lignes
0
4
;
colonnes
>
1
?
3
M
)
=
M
0

@
9
4
A
2
4
0
5
3
2
7
=
5
(
1
M
>
=
3
?
4
=
6
>
1
}
1
|
A
1
2
6
i
3

1
eme
7
ligne
0
3
4
i
0

M
eme
R
colonne
4
donc
3
m
2
23
0DUT Informatique Alg`ebre lin´eaire Math´ematiques
1.1 exemples de matrices particuli`eres
• matrice (vecteur) ligne ( 1 2 0 4 )∈M (R),1,4 
3
 2 • matrice (vecteur) colonne ∈M (R)4,1 1
5
 
0 0 0
 0 0 0 • matrice nulle = 0 ∈M (R)4,3 4,3 0 0 0
0 0 0
 
1 3 4
 • matrice carr´ee d’ordre 3 −1 2 0 ∈M (R),3,3
5 −6 2
 
1 0 0
 • matrice triangulaire inf´erieure 1 −2 0 ,
−6 5 3
 
3 −1 2 4
 0 −5 2 3 • matrice triangulaire sup´erieure , 0 0 6 1
0 0 0 −7
 
 3 0 0 0
1 0 0 0 3 0 0   • matrice diagonale , et matrice identit´e 0 1 0 =Id ,3 0 0 −1 0
0 0 1
0 0 0 5
Ilestsouvent tr`espratique ded´ecrire une matriceendonnantlaformuleg´en´erale
i`eme i`emedu coefficient a a` l’intersection de la i ligne et de la j colonne.i,j
1.2 Construire la matrice A de taille (4,3) telle que a =i+ji,j
 
2 3 4
 3 4 5 A = 4 5 6
5 6 7
on pourra v´erifier la concordance entre les valeurs de i, j et a :ij
j = 1 j = 2 j = 3
 
i = 1 2 3 4
 i = 2 3 4 5 
 i = 3 4 5 6
i = 4 5 6 7
6
P
PDUT Informatique Alg`ebre lin´eaire Math´ematiques
1.2 Alg`ebre des matrices
Nous allons maintenant d´efinir un certain nombre d’op´erations courantes sur les
≪matrices. On commence par l’addition qui est le mod`ele des op´erations terme `a
≫terme s’appliquant `a des matrices de mˆeme taille.
D´efinition 1.2 On appelle addition des matrices l’op´eration interne surM (R)p,n
d´efinie par
+ : M (R)×M (R) −→ M (R)p,n p,n p,n
A,B −→A+B = (a +b )ij ij
Cette d´efinition est totalement naturelle comme le montre l’exemple suivant.
1.3 somme de deux matrices

4 −2 0 1 3 −1
A = et B =
7 5 1 4 −2 −5
sont de mˆeme taille donc on peut les additionner :

5 1 −1
A+B =
11 3 −4
L’additiondesmatrices´etantconstruitea`partirdel’additiondesr´eelsonr´ecup`ere
pour cette op´eration interne la plupart des propri´et´es de l’addition des r´eels.
Proposition 1.3 l’addition des matrices v´erifie les propri´et´es suivantes :
• commutativit´e ∀A,B∈M (R), A+B =B +Ap,n
• associativit´e ∀A,B,C∈M (R), A+(B +C) = (A+B)+Cp,n
• poss`ede un ´el´ement neutre 0 (la matrice nulle)p,n
∀A∈M (R), A+0 = 0 +A =Ap,n p,n p,n
• tout ´el´ement poss`ede un sym´etrique
′ ′ ′∀A∈M (R), ∃A = (−a )∈M (R), A+A =A +A = 0p,n ij p,n p,n
Preuve :Cesd´emonstrationsressemblent`acellesqu’onapufaireend´ebutd’ann´ee,
pour les r´ediger plus rapidement il suffit d’´ecrire la propri´et´e pour un ´el´ement
quelconque de la matrice. Par exemple pour la commutativit´e :
comme l’addition dansR est commutative on a que
∀(i,j)∈{1;...;p}×{1;...;n},a +b =b +aij ij ij ij
ce qui signifie que A+B =B +A.
On fera de mˆeme pour les autres propri´et´es de +.
Attention, dire que + est commutative surR donc + est commutative pour les
matricespar h´eritage direct est compl`etement Faux! En effet si (p,n) = (1,1)
alorsM (R) ⊂R.p,n
7
P6DUT Informatique Alg`ebre lin´eaire Math´ematiques
Passons maintenant `a la deuxi`eme op´eration (plus difficile) le produit matriciel :
D´efinition 1.4 On appelle produit matriciel l’op´eration suivante
× : M (R)×M (R) −→ M (R)p,k k,n p,n
A,B −→A×B = (m )ij

kX
ou` m = a b =a b +a b +···+a bij il lj i1 1j i2 2j ik kj
l=1

En particulier quand p =k =n le produit matriciel× est une op´eration interne
dans l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre nM (R)n
× : M (R)×M (R) −→ M (R)n n n
A,B −→A×B
1.4 Calcul d’un produit matriciel Avant de commencer `a faire un produit
matriciel il faut s’assurer que les tailles des matrices sont compatibles entre elles :
 
−3 1
1 2 3  A = et B = 2 0
4 −1 5
4 2
A poss`ede 3 colonnes et B poss`ede 3 lignes, le produit est donc possible. Le r´esultat
sera donc une matrice `a 2 lignes (comme A) et 2 colonnes (comme B) :

13 7
A×B =
6 14
les coefficients o