Cours sur les calculs matriciel et Analyse

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Calcul matriciel et Analyse
DUT Informatique, semestre 1
Version 2.0
29 novembre 2007
Ph. Roux
2002-2007
12IUT Lannion Analyse semestre 1
Table des mati`eres
Table des mati`eres 3
1 Calcul matriciel 5
1.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Compl´ements sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 G´eom´etrie Euclidienne 12
2.1 Rappels sur la g´eom´etrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 D´eterminant et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Formules compl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Les fonctions de R dans R 22
3.1 D´efinition des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Limites et continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 D´eriv´ees et plan d’´etude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Suites num´eriques 32
4.1 Diff´erents types de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Convergence des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 Les fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5 Int´egration 41
5.1 Int´egrale propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Calcul d’int´egrales propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Int´egration num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Int´egrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 S´eries et complexit´e algorithmique 50
6.1 Quelques th´eor`emes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 Calcul des d´ecimales de e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 Complexit´e algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
´7 Equations diff´erentielles 57
7.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 R´esolution approch´ee d’´equations diff´erentielles . . . . . . . . . . . . 58
8 Rep`eres historiques 60
8.1 TARTAGLIA et CARDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.2 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.3 Brook Taylor (1685-1731) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.4 Records de calculs pour certaines constantes: . . . . . . . . . . . . . 62
R´ef´erences 64
3DUT Informatique Analyse Math´ematiques
4
4

2
3
M
donc
3
M
;
7
4
1
(
i
R
1
)
-
M
0
=
0
0
1
@
6
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2
2
ligne
0
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3
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1
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4
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A
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9
eme
>
3
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=
colonne
>
m
>
=
;
?
3
lignes
M
IUT Lannion Analyse semestre 1
1 Calcul matriciel
1.1 D´efinition et exemples
Beaucoup de structures de donn´ees peuvent ˆetre repr´esent´ees par des tableau `a
uneoudeuxdimension.Cetypededonn´eecorrespond`auntyped’objetmath´ematique
bien particulier: les matrices.
D´efinition 1.1 On appelleA une matrice a` coefficient r´eels a` p lignes etn colonnes
un tableau de nombres r´eels comportant p lignes et n colonnes que l’on note 
a ... a ... a11 1j 1n
. . . . . .. . .  
A = (a ) = a ... a ... a  ou` i = 1,...p et j = 1,...n.ij i1 ij in . . . . . . . . .
a ... a ... ap1 pj pn
ie`me ie`meLe coefficient a` l’intersection de la i ligne et de la j colonne est not´e a .ij
L’ensemble des matrices a` p lignes et n colonnes est not´eM (R) et le couple (p,n)p,n
est appel´e la taille de la matrice.
Donc contrairement aux tableaux qu’on rencontre couramment dans divers lan-
gages de programmation en informatique la premi`ere case (i.e. en haut `a gauche)
est num´erot´ee 1,1 et non pas 0,0!
Fig. 1 – Bien se rep´erer dans une matrice
Exemple 1.2 Commenc¸ons par fixer le vocabulaire en donnant quelques exemples
de matrices particuli`eres
• matrice (vecteur) ligne ( 1 2 0 4 )∈M (R),1,4
57
DUT Informatique Analyse Math´ematiques
 
3 2 • matrice (vecteur) colonne ∈M (R)4,1 1
5 
0 0 0 0 0 0 • matrice nulle = 0 ∈M (R)4,3 4,3 0 0 0
0 0 0 
1 3 4 • matrice carr´ee d’ordre 3 −1 2 0 ∈M (R),3,3
5 −6 2 
1 0 0 • matrice triangulaire inf´erieure 1 −2 0 ,
−6 5 3 
3 −1 2 4 0 −5 2 3 • matrice triangulaire sup´erieure , 0 0 6 1
0 0 0 −7   3 0 0 0
1 0 0 0 3 0 0   • matrice diagonale , et matrice identit´e 0 1 0 = Id ,3 0 0 −1 0
0 0 1
0 0 0 5
1.2 Op´erations sur les matrices
Nous allons maintenant d´efinir un certain nombre d’op´erations courantes sur les
matrices. On commence par l’addition.
D´efinition 1.3 On appelle addition des matrices l’op´eration interne sur M (R)p,n
d´efinie par
+ : M (R)×M (R) −→ M (R)p,n p,n p,n
A,B → A+B = (a +b )ij ij
Cetted´efinitionesttotalementnaturelleetonauraaucuna`fairelecalculsuivant:
4 −2 0 1 3 −1
A = et B =
7 5 1 4 −2 −5
5 1 −1
A+B =
11 3 −4
L’additiondesmatrices´etantconstruite`apartirdel’additiondesr´eelsonr´ecup`ere
pour cette op´eration interne la plupart des propri´et´es de l’addition des r´eels.
Proposition 1.4 l’addition des matrices v´erifie les propri´et´es suivantes:
• commutativit´e ∀A,B∈M (R), A+B = B +Ap,n
67
7
6
IUT Lannion Analyse semestre 1
• associativit´e ∀A,B,C∈M (R), A+(B +C) = (A+B)+Cp,n
• poss`ede un ´el´ement neutre 0 (la matrice nulle)p,n
∀A∈M (R), A+0 = 0 +A = Ap,n p,n p,n
• tout ´el´ement poss`ede un sym´etrique
′ ′ ′∀A∈M (R), ∃A = (−a )∈M (R), A+A =A +A = 0p,n ij p,n p,n
Preuve : Ces d´emonstrations ressemblent `a celles qu’on a pu faire en d´ebut
d’ann´ee, pour les r´ediger plus rapidement il suffit d’´ecrire la propri´et´e pour un
´el´ement quelconque de la matrice. Par exemple pour la commutativit´e:
comme l’addition dansR est commutative on a que
∀(i,j)∈{1; ...; p}×{1; ...; n},a +b =b +aij ij ij ij
ce qui signifie que A+B = B +A.
On fera de mˆeme pour les autres propri´et´es en TD. Attention, dire que + est
commutative surR donc + est commutative pour les matrices par h´eritage direct est
compl`etement Faux!!! En effet si (p,n) = (1,1) alorsM (R)6R.p,n
Passons maintenant `a la deuxi`eme op´eration (plus difficile) le produit matriciel:
D´efinition 1.5 On appelle produit matriciel l’op´eration suivante
× : M (R)×M (R) −→ M (R)p,k k,n p,n
A,B → A×B = (m )ij

kX
ou` m = a b =a b +a b ++a bij il lj i1 1j i2 2j ik kj
l=1
En particulier quand p = k = n le produit matriciel× est une op´eration interne
dans l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre nM (R)n
× : M (R)×M (R) −→ M (R)n n n
A,B → A×B
Exemple 1.6 Avant decommencer `afaireun produitmatriciel ilfauts’assurer que
les tailles des matrices sont compatibles entre elles.   −3 1
1 2 3  A = et B = 2 0
4 −1 5
4 2
13 7
A×B =
6 14
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DUT Informatique Analyse Math´ematiques
c’est `a dire que
m = 1×(−3)+2× 2 +3×4 = 1311
m = 4×(−3)+2×(−1)+5×4 = 621
m = 1× 1 +2× 0 +3×2 = 712
m = 4× 1 −1× 0 +5×2 = 1422
Il existe une m´ethode de pr´esentation des calculs particuli`erement efficace dans
le cas du produit matriciel qui permet de visualiser la taille du r´esultat final aussi
bien que les coefficient mis en jeux dans le calcul d’un coefficient de la matrice finale
cf. Figure 2.
 −3 1  2 0 
4 2
! ? !
-1 2 3 13 7
4 −1 5 6 14
Fig. 2 – pr´esentation d’un produit matriciel
Contrairement `a l’addition des matrices le produit matriciel `a des propri´et´es
notablement diff´erente du produit des r´eels.
Proposition 1.7 Le produit matriciel v´erifie les propri´et´es suivantes:
• associativit´e ∀A∈M (R),B∈M (R),C∈M (R),p,k k,l l,n
A×(B×C) = (A×B)×C
• distributivit´e par rapport `a l’addition ∀A∈M (R),B,C∈M (R),p,k k,n
A×(B +C) = (A×B)+(A×C)
• dansM (R)× est une op´eration interne qui poss`ede un ´el´ement neutre Idn n
∀A∈M (R), A×Id =Id ×A = An n n
et on peut d´efinir la puissance d’une matrice par:
0 ∗ n n−1∀A∈M (R), A = Id et∀n∈N , A =A×An n
par contre
• × n’est pas commutative∃A,B∈M (R), A×B =B×An
• absence de sym´etrique pour certains ´el´ements:
∃A∈M (R)\{0 }, ∀M ∈M (R), A×M = Idn n n n
• si A et B ∈M (R) poss`edent des sym´etriques alors A×B poss`e