Premiers pas en regression lineaire avec sas

Saubin

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®PREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS Josiane Confais (UPMC-ISUP) - Monique Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR8174) e-mail : [e-mail] e-mail : [e-mail] Résumé Ce tutoriel accessible par internet montre de façon intuitive et sans formalisme excessif, les principales notions théoriques nécessaires à la compréhension et à l'interprétation des résultats ®d’analyses de régression linéaire, simple et multiple, produits par la procédure REG de SAS 1et par le menu FIT de SAS/INSIGHT . Ce document est issu d’un cours enseigné par les auteurs dans différentes formations : ISUP, DEA & DESS de Paris 1, formation permanente du CNRS, au CEPE de l’INSEE. Il fait suite à un premier document de travail publié à l’Unité Méthodes Statistiques de l’INSEE. Nous avons ajouté de nombreux graphiques et affichages de SAS/INSIGHT, qui par ses possibilités de visualisation et d’interactivité, facilitent la compréhension à la fois des données et des techniques. Nous avons profité des possibilités d’internet pour ajouter des liens vers des applets ou d’autres documents accessibles sur le web. Nous insistons dans ce tutoriel, sur l’importance des graphiques exploratoires, et sur les limites des résultats obtenus par une régression linéaire, si l’étape de vérification des suppositions n’est pas systématiquement entreprise. 1 ® SAS et SAS/INSIGHT sont les marques déposées de SAS Institute Inc., Cary, NC, USA © Revue MODULAD, 2006 - 220- Numéro 35  1. SENSIBILISATION A LA REGRESSION LINEAIRE SIMPLE ........................................................................... 224 1.1. Où se place la régression linéaire ?............................................................................................224 1.2. Ajustement affine ou Régression Simple...................................................................................... 225 1.2.1. Comment trouver la droite qui passe « au plus près » de tous les points?............................................... 227 1.2.2. Méthode d’estimation des paramètres β et β ...................................................................................... 228 0 1 1.2.3. Effet d’un point observation sur la droite de régression ......................................................................... 230 1.2.4. Décomposition de l'écart entre Y et la moyenne de Y 230 i 1.2.5. Analyse de la variance............................................................................................................................ 231 Ce que le modèle explique et ce qu'il n'explique pas.............. 231 Standard de présentation de l'Analyse de la Variance ....................................................................................... 232 Comment apprécier globalement la régression.................................................................................................. 234 Exemple : Régression de la Taille en fonction du Poids ................................................................................... 235 1.2.6. Représentations géométriques ................................................................................................................ 238 Régression simple de Y sur X........................ 238 Distribution en un point fixé de X............................................................................................. 240 Représentation de X fixé et Y aléatoire............................................................................................................. 241 1.3. Glissement fonctionnel de la méthode des Moindres Carrés Ordinaires à la Régression. ......... 242 1.3.1. De l'Astronomie...................................................................................................................................... 243 1.3.2. … Aux Sciences Sociales ....................................................................................................................... 243 1.3.3. Galton Diagram Regression.................................................................................................................... 243 1.3.4. Formalisation des Suppositions .............................................................................................................. 245 1.4. Confiance à accorder aux résultats 246 1.4.1. Test de la signification globale de la régression ..................................................................................... 246 1.4.2. Statistiques liées au paramètre β ........................................................................................................... 247 1 Calcul de la variance de b ................................................................................................................................ 248 1 Test portant sur le paramètre β ........................................................................................................................ 249 1 Calcul de l'intervalle de confiance de β 250 1 1.4.3. Statistiques liées au paramètre β 250 0 Calcul de la variance de b. 250 0 Test portant sur le paramètre β 251 0 Calcul de l'intervalle de confiance de β .......................................................................................................... 252 0 Exemple d’estimation des paramètres avec Proc REG...................................................................................... 253 1.4.4. Précision sur l'estimation de Y................................................................................................................ 254 Intervalle de confiance autour de l'estimation de la droite de régression........................................................... 255 lle de prévision de Y sachant X.............................................................................................................. 257 Exemple avec les options CLI CLM de la Proc REG....................................................................................... 258 2. LA REGRESSION LINEAIRE MULTIPLE ..................................................................................................... 260 2.1. Le critère des moindres carrés.................................................................................................... 260 2.2. Formalisation de la régression linéaire multiple........................................................................ 261 2.3. Exemples de régression linéaire multiple avec Proc REG.......................................................... 263 2.3.1. Présentation des données ........................................................................................................................ 263 2.3.2. Régression linéaire multiple avec Proc REG sans options...................................................................... 264 2.4. TYPE I SS et TYPE II SS de Proc REG ....................................................................................... 267 2.4.1. Définition de TYPE I SS et TYPE II SS................................................................................................. 267 2.4.2. Interprétations conjointes de TYPE I SS et TYPE II SS......................................................................... 270 2.4.3. Options SS1 et SS2 de l’instruction model de Proc REG ....................................................................... 270 2.4.4. Tester la nullité de r paramètres pour tester un sous modèle .................................................................. 272 2.4.5. Exemple de test partiel avec PROC REG..... 273 2.5. Ce qu'il faut retenir des 'SS' ........................................................................................................ 275 2.6. Les résidus................................................................................................................................... 276 Conclusion ........................................................................................................................................................ 277 3. QUAND LES RESULTATS D'UNE REGRESSION NE SONT PAS FORCEMENT PERTINENTS.............................. 278 3.1. Exemples en régression simple.................................................................................................... 278 3.1.1. Une même valeur pour des situations différentes ................................................................................... 278 3.1.2. Pondérations et régression linéaire par morceaux................................................................................... 280 Théorie de la régression pondérée..................................................................................................................... 283 3.1.3. Transformation des données ................................................................................................................... 283 3.1.4. Méthode non paramètrique du LOWESS ............................................................................................... 287 3.2. Exemples en régression multiple.................................................................................................289 3.2.1. Y « expliquée » par la corrélation entre deux régresseurs....................................................................... 289 3.2.2. Instabilité des coefficients de la régression, en cas de multicolinéarité .................................................. 291 Exemple sur données réelles ............................................................................................................................. 291 © Revue MODULAD, 2006 - 221- Numéro 35 Exemple sur données avec modèle théorique connu et régresseurs corrélés ..................................................... 293 3.3. Conditions d'utilisation de la régression, les diagnostics ....................................