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Vorticity and Vortex Dynamics

De

"

About this book
This book is a comprehensive and intensive monograph for scientists, engineers and applied mathematicians, as well as graduate students in fluid dynamics. It starts with a brief review of fundamentals of fluid dynamics, with an innovative emphasis on the intrinsic orthogonal decomposition of fluid dynamics process. This is followed by vortex dynamics dealing with the motion, interaction, stability, and breakdown of various vortices. Typical vortex structures are analyzed in laminar, translational, and turbulent flows, including stratified and rotational fluids. In another chapter vortical flow management is presented, such as diagnostics and control. Physical understanding of vortical flow phenomena and mechanisms is the first priority throughout the book. To make the book self-contained, some mathematical background is briefly presented in the main text, but major prerequisites are systematically given in appendices.
Written for:
Scientists, engineers and graduate students in fluid mechanics or aerodynamics
Keywords:
Aerodynamics
Flow stability
Fluid mechanics
Turbulence
Vortex dynamics
"

Voir plus Voir moins
Contents
1
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Fundamental Processes in Fluid Dynamics and Their Coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Historical Development . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 The Contents of the Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Part I Vorticity Dynamics
2
2.1 2.2 2.3 2.4
Fundamental Processes in Fluid Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Basic Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Descriptions and Visualizations of Fluid Motion . . . . . . . 2.1.2 Deformation Kinematics. Vorticity and Dilatation . . . . . 2.1.3 The Rate of Change of Material Integrals . . . . . . . . . . . . . Fundamental Equations of Newtonian Fluid Motion . . . . . . . . . . 2.2.1 Mass Conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Balance of Momentum and Angular Momentum . . . . . . . 2.2.3 Energy Balance, Dissipation, and Entropy . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Boundary Conditions. Fluid-Dynamic Force and Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 Effectively Inviscid Flow and Surface of Discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intrinsic Decompositions of Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Functionally Orthogonal Decomposition . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Integral Expression of Decomposed Vector Fields . . . . . . 2.3.3 Monge–Clebsch decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Helical–Wave Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Tensor Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Splitting and Coupling of Fundamental Processes . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Triple Decomposition of Strain Rate and Velocity Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 3 6
13 13 13 18 22 25 25 26 28 30 33 36 36 40 43 44 47 48 49
VIII
3
4
Contents
2.4.2 Triple Decomposition of Stress Tensor and Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Internal and Boundary Coupling of Fundamental Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Incompressible Potential Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
55 59 63
Vorticity Kinematics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1 Physical Interpretation of Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Vorticity Integrals and Far-Field Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.1 Integral Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2 Biot–Savart Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.2.3 Far-Field Velocity Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.3 Lamb Vector and Helicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.3.1 Complex Lamellar, Beltrami, and Generalized Beltrami Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.3.2 Lamb Vector Integrals, Helicity, and Vortex Filament Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Vortical Impulse and Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.1 Vortical Impulse and Angular Impulse . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.4.2 Hydrodynamic Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.5 Vorticity Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.5.1 Vorticity Evolution in Physical and Reference Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.5.2 Evolution of Vorticity Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.5.3 Enstrophy and Vorticity Line Stretching . . . . . . . . . . . . . . 105 3.6 Circulation-Preserving Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.6.1 Local and Integral Conservation Theorems . . . . . . . . . . . 109 3.6.2 Bernoulli Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.6.3 Hamiltonian Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.6.4 Relabeling Symmetry and Energy Extremum . . . . . . . . . 120 3.6.5 Viscous Circulation-Preserving Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Fundamentals of Vorticity Dynamics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.1 Vorticity Diffusion Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.1.1 Nonconservative Body Force in Magnetohydrodynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.1.2 Baroclinicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 4.1.3 Viscosity Diffusion, Dissipation, and Creation at Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.1.4 Unidirectional and Quasiparallel Shear Flows . . . . . . . . . 144
5
4.2 4.3 4.4 4.5
Contents
IX
Vorticity Field at Small Reynolds Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.2.1 Stokes Approximation of Flow Over Sphere . . . . . . . . . . . 150 4.2.2 Oseen Approximation of Flow Over Sphere . . . . . . . . . . . 153 4.2.3 Separated Vortex and Vortical Wake . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.2.4 Regular Perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Vorticity Dynamics in Boundary Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.3.1 Vorticity and Lamb Vector in Solid-Wall Boundary Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.3.2 Vorticity Dynamics in Free-Surface Boundary Layer . . . 168 Vortex Sheet Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.4.1 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.4.2 Kutta Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.4.3 Self-Induced Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.4.4 Vortex Sheet Transport Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Vorticity-Based Formulation of Viscous Flow Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.5.1 Kinematical Well-Posedness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.5.2 Boundary Vorticity–Pressure Coupling . . . . . . . . . . . . . . . 190 4.5.3 A Locally Decoupled Differential Formulation . . . . . . . . . 191 4.5.4 An Exact Fully Decoupled Formulation . . . . . . . . . . . . . . 197 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Vorticity Dynamics in Flow Separation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.1 Flow Separation and Boundary-Layer Separation . . . . . . . . . . . . 201 5.2 Three-Dimensional Steady Flow Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.2.1 Near-Wall Flow in Terms of On-Wall Signatures . . . . . . . 205 5.2.2 Local Separation Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.2.3 Slope of Separation Stream Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 5.2.4 A Special Result on Curved Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 5.3 Steady Boundary Layer Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 5.3.1 Goldstein’s Singularity and Triple-Deck Structure . . . . . 218 5.3.2 Triple-Deck Equations and Interactive Vorticity Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.3.3 Boundary-Layer Separation in Two Dimensions . . . . . . . 227 5.3.4 Boundary-Layer Separation in Three Dimensions . . . . . . 229 5.4 Unsteady Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 5.4.1 Physical Phenomena of Unsteady Boundary-Layer Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 5.4.2 Lagrangian Theory of Unsteady Boundary Layer Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 5.4.3 Unsteady Flow Separation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
X
Contents
Part II Vortex Dynamics
6Typical Vortex Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.1 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.2 Axisymmetric Columnar Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.2.1 Stretch-Free Columnar Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 6.2.2 Viscous Vortices with Axial Stretching . . . . . . . . . . . . . . . 263 6.2.3 Conical Similarity Swirling Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 6.3 Circular Vortex Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 6.3.1 General Formulation and Induced Velocity . . . . . . . . . . . . 272 6.3.2 Fraenkel–Norbury Family and Hill Spherical Vortex . . . . 277 6.3.3 Thin-Cored Pure Vortex Ring: Direct Method . . . . . . . . . 281 6.3.4 Thin-Cored Swirling Vortex Rings: Energy Method . . . . 283 6.4 Exact Strained Vortex Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 6.4.1 Strained Elliptic Vortex Patches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 6.4.2 Vortex Dipoles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 6.4.3 Vortex Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 6.5 Asymptotic Strained Vortex Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 6.5.1 Matched Asymptotic Expansion and Canonical Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 6.5.2 Strained Solution in Distant Vortex Dipole . . . . . . . . . . . 303 6.5.3 Vortex in Triaxial Strain Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 6.6 On the Definition of Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 6.6.1 Existing Criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 6.6.2 An Analytical Comparison of the Criteria . . . . . . . . . . . . 314 6.6.3 Test Examples and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7
Separated Vortex Flows. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.1 Topological Theory of Separated Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 7.1.1 Fixed Points and Closed Orbits of a Dynamic System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 7.1.2 Closed and Open Separations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 7.1.3 Fixed-Point Index and Topology of Separated Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 7.1.4 Structural Stability and Bifurcation of Separated Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 7.2 Steady Separated Bubble Flows in Euler Limit . . . . . . . . . . . . . . 339 7.2.1 Prandtl–Batchelor Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 7.2.2 Plane Prandtl–Batchelor Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 7.2.3 Steady Global Wake in Euler Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 7.3 Steady Free Vortex-Layer Separated Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 7.3.1 Slender Approximation of Free Vortex Sheet . . . . . . . . . . 353
Vortical-Flow Stability and Vortex Breakdown. . . . . . . . . . . . . 451 9.1 Fundamentals of Hydrodynamic Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 9.1.1 Normal-Mode Linear Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 9.1.2 Linear Instability with Non-normal Operator . . . . . . . . . 458 9.1.3 Energy Method and Inviscid Arnold Theory . . . . . . . . . . 462 9.1.4 Linearized Disturbance Lamb Vector and the Physics of Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 9.2 Shear-Flow Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 9.2.1 Instability of Parallel Shear Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 9.2.2 Instability of free shear flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472 9.2.3 Instability of Boundary Layer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 9.2.4 Non-Normal Effects in Shear-Flow Instability . . . . . . . . . 477
Part III Vortical Flow Instability, Transition and Turbulence
Core Structure, Vortex Filament, and Vortex System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 8.1 Vortex Formation and Core Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 8.1.1 Vortex Formation by Vortex-Layer Rolling Up . . . . . . . . 384 8.1.2 Quasicylindrical Vortex Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 8.1.3 Core Structure of Typical Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 8.1.4 Vortex Core Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 8.2 Dynamics of Three-Dimensional Vortex Filament . . . . . . . . . . . . 399 8.2.1 Local Induction Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 8.2.2 Vortex Filament with Finite Core and Stretching . . . . . . 407 8.2.3 Nonlocal Effects of Self-Stretch and Background Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 8.3 Motion and Interaction of Multiple Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 8.3.1 Two-Dimensional Point-Vortex System . . . . . . . . . . . . . . . 418 8.3.2 Vortex Patches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 8.3.3 Vortex Reconnection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 8.4 Vortex–Boundary Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 8.4.1 Interaction of Vortex with a Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 8.4.2 Interaction of Vortex with Fluid Interface . . . . . . . . . . . . 441 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
XI
Contents
9
8
7.3.2 Vortex Sheets Shed from Slender Wing . . . . . . . . . . . . . . . 359 7.3.3 Stability of Vortex Pairs Over Slender Conical Body . . . 361 7.4 Unsteady Bluff-Body Separated Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 7.4.1 Basic Flow Phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 7.4.2 Formation of Vortex Shedding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 7.4.3 A Dynamic Model of the (St, CD, Re) Relationship . . . . 376 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
XII
10
Contents
9.3 Instability of Axisymmetric Columnar Vortices . . . . . . . . . . . . . . 480 9.3.1 Stability of Pure Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 9.3.2 Temporal Instability of Swirling Flow . . . . . . . . . . . . . . . . 481 9.3.3 Absolute and Convective Instability of Swirling Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 9.3.4 Non-Modal Instability of Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 9.4 Instabilities of Strained Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 9.4.1 Elliptical Instability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 9.4.2 A Columnar Vortex in a Strained Field . . . . . . . . . . . . . . 496 9.4.3 Instability of a Vortex Pair . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 9 .5 Vortex Breakdown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502 9.5.1 Vorticity-Dynamics Mechanisms of Vortex Breakdown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 9.5.2 Onset of Vortex Breakdown: Fold Catastrophe Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 9.5.3 Vortex Breakdown Development: AI/CI Analysis . . . . . . 511 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
Vortical Structures in Transitional and Turbulent Shear Flows. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1 Coherent Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 10.1.1 Coherent Structures and Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 10.1.2 Scaling Problem in Coherent Structure . . . . . . . . . . . . . . . 522 10.1.3 Coherent Structure and Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 10.2 Vortical Structures in Free Shear Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 10.2.1 Instability of Free Shear Layers and Formation of Spanwise Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 10.2.2 The Secondary Instability and Formation of Streamwise Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 10.2.3 Vortex Interaction and Small-Scale Transition . . . . . . . . . 532 10.3 Vortical Structures in Wall-Bounded Shear Layers . . . . . . . . . . . 535 10.3.1 Tollmien–Schlichting Instability and Formation of Initial Streaks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 10.3.2 Secondary Instability and Self-Sustaining Cycle of Structure Regeneration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 10.3.3 Small-Scale Transition in Boundary Layers . . . . . . . . . . . 541 10.3.4 A General Description of Turbulent Boundary Layer Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 10.3.5 Streamwise Vortices and By-Pass Transition . . . . . . . . . . 548 10.4 Some Theoretical Aspects in Studying Coherent Structures . . . 550 10.4.1 On the Reynolds Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 10.4.2 On Vorticity Transport Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556 10.4.3 Vortex Core Dynamics and Polarized Vorticity Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Part IV Special Topics
Vortical Aerodynamic Force and Moment. . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 The Need for “Nonstandard” Theories . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 The Legacy of Pioneering Aerodynamicist . . . . . . . . . . 11.1.3 Exact Integral Theories with Local Dynamics . . . . . . . 11.2 Projection Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Diagnosis of Pressure Force Constituents . . . . . . . . . . . 11.3 Vorticity Moments and Classic Aerodynamics . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Force, Moment, and Vortex Loop Evolution . . . . . . . . . 11.3.3 Force and Moment on Unsteady Lifting Surface . . . . . 11.4 Boundary Vorticity-Flux Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1 General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2 Airfoil Flow Diagnosis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.3 Wing-Body Combination Flow Diagnosis . . . . . . . . . . . 11.5 A DMT-Based Arbitrary-Domain Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1 General Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2 Multiple Mechanisms Behind Aerodynamic Forces . . . 11.5.3 Vortex Force and Wake Integrals in Steady Flow . . . . 11.5.4 Further Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Contents
Vorticity and Vortices in Geophysical Flows. . . . . . . . . . . . . . . 641 12.1 Governing Equations and Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 12.1.1 Effects of Frame Rotation and Density Stratification . . . 642 12.1.2 Boussinesq Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646 12.1.3 The Taylor–Proudman Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648 12.1.4 Shallow-Water Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
10.5 Two Basic Processes in Turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 10.5.1 Coherence Production – the First Process . . . . . . . . . . . . 562 10.5.2 Cascading – the Second Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 10.5.3 Flow Chart of Coherent Energy and General Strategy of Turbulence Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 10.6 Vortical Structures in Other Shear Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 10.6.1 Vortical Structures in Plane Complex Turbulent Shear Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 10.6.2 Vortical Structures in Nonplanar Shear Flows . . . . . . . . . 577 10.6.3 Vortical Flow Shed from Bluff Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . 580 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
587 587 588 590 593 594 595 597 599 600 603 606 608 608 611 615 617 617 621 627 633 639
XIII
12
XIV
A
Contents
12.2 Potential Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652 12.2.1 Barotropic (Rossby) Potential Vorticity . . . . . . . . . . . . . . 653 12.2.2 Geostrophic and Quasigeostrophic Flows . . . . . . . . . . . . . 654 12.2.3 Rossby Wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 12.2.4 Baroclinic (Ertel) Potential Vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 12.3 Quasigeostrophic Evolution of Vorticity and Vortices . . . . . . . . . 664 12.3.1 The Evolution of Two-Dimensional Vorticity Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665 12.3.2 The Structure and Evolution of Barotropic Vortices . . . . 670 12.3.3 The Structure of Baroclinic Vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 12.3.4 The Propagation of Tropical Cyclones . . . . . . . . . . . . . . . . 680 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
Vectors, Tensors, and Their Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3 A.1 Vectors and Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3 A.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 A.1.2 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 A.1.3 Unit Tensor and Permutation Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . 696 A.2 Integral Theorems and Derivative Moment Transformation . . . 698 A.2.1 Generalized Gauss Theorem and Stokes Theorem . . . . . . 698 A.2.2 Derivative Moment Transformation on Volume . . . . . . . . 700 A.2.3 Derivative Moment Transformation on Surface . . . . . . . . 701 A.2.4 Special Issues in Two Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 A.3 Curvilinear Frames on Lines and Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 A.3.1 Intrinsic Line Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 A.3.2 Intrinsic operation with surface frame . . . . . . . . . . . . . . . . 707 A.4 Applications in Lagrangian Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 A.4.1 Deformation Gradient Tensor and its Inverse . . . . . . . . . . 716 A.4.2 Images of Physical Vectors in Reference Space . . . . . . . . 717
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
http://www.springer.com/978-3-540-29027-8