cours-agreg-reduit

Description

espace probabilis´e : (Ω,F,P) I. Probabilit´es conditionnellesΩ : ensembleP : mesure de probabilit´e (c’est-`a-dire P(Ω) = 1), 1. D´efinitionla tribu des ensembles mesurables ´etant F.D´efinition.Soit A et B deux ´ev´enements, avec P(B) > 0. LaOn se place toujours dans (Ω,F,P), mˆeme si ceprobabilit´e conditionnelle de A sachant B estn’est pas pr´ecis´e.P(A∩B)defP(A|B) = .´ev´enement = ensemble mesurable. P(B)variable al´eatoire (v.a.) : fonction mesurableX:Ω → E (souvent E = R avec tribu bor´elienne :on parle de v.a. r´eelle)Exemple. Bill arrive en retarden cours la moiti´e dutemps,etnevientpasunefoissur4enmoyenne.Lecours commence sans lui. Quelle est la probabilit´equ’il vienne aujourd’hui?A : Bill vient en coursB : Bill n’est pas l`a au d´ebut du cours.P(A∩B) 1/2P(A|B)= = =2/3.P(B) 1/2+1/41Si X est une variable al´eatoire, on peut consid´erer 2. Formule des probabilit´es totalesdes ´ev´enements de la forme {X ∈A}.Soit (B ) une famille finie ou d´enombrablei i∈IExemple : on lance un d´e. X est le r´esultat ob- d’´ev´enements formant une partition de Ω, avectenu. Y vaut “pair” ou “impair” selon la parit´e du P(B )>0 pour tout i. Alorsi Xr´esultat.P(A)= P(A|B )P(B ).i ii∈IP(X =6,Y =pair) 1P(X =6|Y =pair)= =P(Y =pair) 3 Formule surtout utilis´ee quand Ω est fini ou d´enombrable.Exemple. L’examenestunQCM.LecandidatalechoixentreP(X =6|Y =impair)=0 n r´eponses. On suppose que s’il ne connaˆıt pas la r´eponse, ilr´epond au hasard.´ev´enement A : ...

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• Publié par: Orkoi
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• Langue: Français

Extrait

espaceprobabilis´e:(ΩF P) Ω: ensemble P-dirt-`ae:muresepedaborilib(e´tse’cP(Ω) = 1), latribudesensemblesmesurables´etantF. On se place toujours dans(ΩF P)sice,mˆeme n’estpaspre´cis´e.

e´ve´nement=ensemblemesurable.

variableal´eatoire(v.a.):fonctionmesurable X: Ω→E(souventE=R ´liavec tribu b : ne ore en onparledev.a.r´eelle)

SiXrevanetuese´taioerirbaellaonsid´er,onpeutc dese´v´mentsdelaforme{X∈A}. ene

Exemple:onlanceunde´.Xseuse´reltob-ltat tenu.Yrio”“tapapri“umivauuel”slaonripaedt´ resultat. ´ P(X= 6|Y= pair) = P(X= 6 Yp=ia)r 3 1 = P(Y= pair)

P(X= 6|Y= impair) = 0

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I.Probabilite´sconditionnelles

1.De´finition

De´finition. ´ ´ SoitAetBdeux evenements, avecP(B)>0. La probabilite´conditionnelledeAsachantBest P(A|B) d = ef P(A P(B ∩ ) B) 

Exemple.tareenveriarllBi´eduioitlsmaocrudrne temps, et ne vient pas une fois sur 4 en moyenne. Le courscommencesanslui.Quelleestlaprobabilit´e qu’il vienne aujourd’hui ?

A: Bill vient en cours B:lliBse’nsaptcuuoubdtdue´`laars. 12 P(A|B) = P(A P(B ∩ ) B) 12 + 1 4 23 = =

2.Formuledesprobabilite´stotales

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Soit (B i ) i∈I ueblno´erambinfieduoeafenllim d’e´ve´nementsformantunepartitiondeΩ,avec P(B i )>0 pour touti. Alors P(A) = X P(A|B i )P(B i ) i∈I

Formulesurtoututilis´eequandΩeste.arlbonbmdue´nfioi

Exemple.est un QCM. Le candidat a le choix entreL’examen ni,lnoesr´eponses.Onsoppuuqesi’secenlnaontpˆılaasepr´ re´pondauhasard. ´ ´ ntAl:´rtadidnusdjonep.te eveneme e ca evenementBaltıpe´roctaˆanncaleidnd:onse. ´ ´ On aB⊂A. Calculonslaprobabilite´P(A)rocelrape´vresbostiequce(- recteur) en fonction deP(B). P(A) = | P( { A z |B) } P(B) + | P(A { | z B c ) } P(B c ) =1 =1 n =P(B (1 ) + 1 −B(B)) n =P(B)(1−1n) + 1n

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3. Formule de Bayes

Formule de Bayes “de base” : P(A|B) = P(B P |A ( ) B P ) (A)  Ilsuffitd’´ecrireP(A|B)P(B) =P(A∩B) =P(B|A)P(A). P(Arto´ebaab)i:lpirideprioA. P(A|Bedpoeat´liriioerst)abibp:orAsachantB.

FormuledeBayes“am´elior´ee”: Soit (A j ) j∈I une partition de Ω, etBnu´ve´menene.t On supposeP(B)>0 etP(A j )>0 pour toutj∈I. Alors = P(A i |B) P j∈ P I (B P( |A B i | ) A P j ) (A P i ( ) A j )  Formule pr´ec´edente avecP(B) = P j∈I P(B|A j )P(A j ).

II.Ind´ependance

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1.D´efinitionsdel’ind´ependance Intuitivement,AetBepenind´ssildantaostn connaissance deBne donne pas d’information sur A,esc’ea`-trid-P(A|B) =P(Aui´equiv).Cequa`ta P(A∩B) =P(A)P(B).

Ex:sionlanceunde´etunepie`ce,les´ev´enements “obtenir6”et“obtenirface”sontinde´pendants.

De´finition.Soit (ΩF P) un espace probabilise. ´ – Deux evenementsA Bsont ditsdne´inastepdnsi ´ ´ P(A∩B) =P(A)P(B). On noteA⊥B.

– SiA i ∈ Fs(ntmene´eevde´’imllalaf,A i ) i∈I est diteepe´dnindantesi pour tout sous-ensemble fini {i 1      i n }deI, P   k \ n =1 A i k   = k Y n P(A i k ) =1

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Exemple:“fauxpositifs”enme´decine. On a un test pour savoir si quelqu’un a une maladie donne´e. – S’il est malade : test positif dans 99,9% des cas. –S’ilestsain:test´egatifdans99,5%d n es cas.

On suppose que la maladie touche une personne sur 10 000. On teste quelqu’un, le test est positif. Quelleestlaprobabilit´equ’ilsoitmalade? A : la personne est malade. B : le test est positif. P(A|B) = P( P B|A ( ) B P ) (A) ≃002 | {z } 0999×00001 0999×00001+0005×09999

Contre-exemple. SoitΩ ={1    8}etPt´libibarmfonieu.eorpal

24 S O o n it a A P = (A { ) 1 = 2 P  ( 3 B  ) 4}, = B P = (C {4 ) 5 =  1 2 6 . 7},C={68}. P(A∩B∩C) =P({4}) = 1 8 =P(A)P(B)P(C). MaisP(A∩B) = 1 8 6=P(A)P(B) = 41 . Donc(A B C)tponinasesn.stnpe´dadne

Contre-exemple. SoitΩ ={1    4}etPilibaborofinue´tel.rpma SoitA={12},B={13},C={14}. On aP(A) =P(B) =P(C) = 12.

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P(A∩B) =P({1}) = 14 =P(A)P(B)doncA⊥B. De mˆeme, A⊥CetB⊥C, autrement ditA B Costn`2a2ind´ependants.

P(A∩B∩C) =P({1}) = 146=P(A)P(B)P(C) doncA B C.ostnennd´epasiantspend

De´finition. Soit (ΩF Pnesp)utilibee´specaaborX i des v.a. d´efiniessurΩa`valeursdansE i (E i ´etadnetnmiu la tribuG i ). La famille de v.a. (X i ) i∈I esteadtnepenind´si pour tousA i ∈ G i ,i∈I’del´ve´menestneaf,lilam ` (X i ∈A i ) i∈I e´epdnnaetc,e’ts--aideropreustind tout sous-ensemble fini{i 1      i n }deI n P  X i k ∈A i k 1≤k≤n  = Y P(X i k ∈A i k ) k=1 ˆ Remarque.LesX i eemrlsumerteˆtnevsinfie´dedoi espace Ω sinon l’expression de gauche n’a pas de sens.

P ( X i k ∈A i k 1≤k≤n) =P ( {ω∈Ω;X i k (ω)∈A i k 1≤k≤n} )

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Pourmontrerl’ind´ependanced’unefamilleinfinie (X k ) k≥1 suffit de tester que pour tout, il n≥1 : n P ( X k ∈A k 1≤k≤n) = Y P(X k ∈A k ) k=1 pour tousA k ∈ G k 1≤k≤n. Preuve . Supposonsqu’onal’e´galit´eci-dessusetmontrons l’inde´pendancedes(X k ) k≥1 . SiJest un sous-ensemble fini de N∗ , il existentel queJ⊂ {1     n}. On poseA i =E i si i∈ {1     n} \J ¸ f. On montre ens e , uitedaconsimilaire`ala preuvepre´ce´dente,que P(X i ∈A i  i∈J) =P(X i ∈A i 1≤i≤n) = Y P(X i ∈A i )ypot(h)ese`h 1≤i≤n = Y P(X i ∈A i ) i∈J cequimontrel’ind´ependance.✷

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Pourmontrerl’ind´ependanced’unefamillefiniede v.a.X 1      X n , il est inutile de prendre un sous- ensemble d’indices, il suffit de tester que : n P ( X k ∈A k 1≤k≤n) = Y P(X k ∈A k ) k=1 pour tousA k ∈ G k 1≤k≤n. Remarque.enementurdes´evsprteriopetCsuafopes´te´tsee ´ (voirle1ercontre-exempledonne´pre´ce´demment). Preuve . Supposonsqu’onal’e´galite´ci-dessusetmontrons l’ind´ependancedesX i . SoitJun sous-ensemble fini de {1     n}. On poseA i =E i sii6∈J. P(X i ∈A i  i∈J) =P(X i ∈A i 1≤i≤n) = Y P(X i ∈A i )th`ehypo(es) 1≤i≤n Or Y P(X i ∈A i ) = Y P(X i ∈A i )×1 1≤i≤n i ∈J DoncP(X i ∈A i  i∈J}= Y P(X i ∈A i ).✷ i∈J

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SiX i tnocetneedrr`sce,etpeonseutseuten.v.aid regarderles´ev´enementsdelaforme{X i =a i }, car tout´eve´nement{X i ∈A i }est une union disjointe detels´eve´nements.

Exemple .Olnna.e´equilibrceund´e´X= 0luse´relisstteta pair,X= 1sion.nY= 0e´uslirespledultiestmltate3, Y= 1sinon. Pour montrer queX⊥Ysuffitdeconsid´ererli, P(X= 0 Y= 0),P(X= 0 Y= 1),P(X= 1 Y= 0)et P(X= 1 Y= 1).

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