A hybrid mixed finite element scheme for the compressible Navier-Stokes equations and adjoint-based error control for target functionals [Elektronische Ressource] / Jochen Schütz

Jochen Schütz

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• Publié le: 01 janvier 2011
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Extrait

A Hybrid Mixed Finite Element Scheme for the
Compressible Navier-Stokes Equations and
Adjoint-Based Error Control for Target
Functionals
Von der Fakultät für Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften der RWTH Aachen University zur Erlangung
des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften
genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker
Jochen Gerhard Schütz
aus Geilenkirchen
Berichter: Universitätsprofessor Sebastian Noelle, Ph.D.
Juniorprofessor Georg May, Ph.D.
Tag der mündlichen Prüfung: 24.11.2011
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der Hochschulbibliothek online verfügbar.Abstract
Theimportanceofcomputer-basedmodelingintechnicalandindustrialuseisevident. Especially
the aerodynamic industry has a huge interest in reliable and robust methods for accurately com-
puting aerodynamic flows. These flows are in general described by partial differential equations
of mixed elliptic-hyperbolic type, and as it is usually not possible to solve these equations exactly,
one has to rely on numerical methods. Industrial state-of-the-art codes are usually based on low-
order approximations, meaning that the underlying algorithm has a low order of consistency with
the partial differential equation. This results in very robust methods that have become extremely
efficient and therefore extremely popular. However, it is assumed that methods having a higher
order of consistency can outperform the before-mentioned methods. We thus investigate in this
work (known) high-order discretization schemes such as Discontinuous Galerkin Finite Elements,
and we present a new discretization method for the Navier-Stokes equations in the framework
of Hybrid Mixed Methods. The newly developed method is a combination of well-established
methods for the diffusive (elliptic) and the convective (hyperbolic) part.
Another aspect of numerical computation is the following: The practitioner’s interest is often
not in the quality of a n solution per se, but in a few derived quantities J , the so-calledi
target functionals. The error in these quantities can be approximated by an adjoint procedure,
meaning that one solves an additional, linear equation to obtain a weight z that relates the
residual of the discrete equations to the error. The resulting expression can be used for grid
adaptation, meaning to optimize the given underlying grid with respect to the accuracy of the
target functional. A property of a discretization that is very important in this context, is adjoint
consistency. This property ensures that the discretization can also be used to compute an
approximation z to z. We therefore analyze existing Discontinuous Galerkin methods and theh
newly developed Hybrid Mixed method with respect to this property, and show that they are in
fact adjoint consistent.
The adjoint idea is in principle based on a first order Taylor expansion. It is evident that this
requires a high degree of smoothness, which is usually not available in solutions to aerodynamic
flows. To address that problem, we present a new mathematical framework for the investigation
of the adjoint methodology in the case where the flow is non-smooth, and we give numerical
evidence on how to actually compute the adjoint.Zusammenfassung
In Industrie und Technik besteht ein großer Bedarf an Computer basierter Modellierung. Vor
allem die aerodynamische Industrie hat ein großes Interesse an verlässlichen und robusten Metho-
den zur akkuraten Berechnung von aerodynamischen Strömungen. Die Natur dieser Strömungen
wird normalerweise durch partielle Differentialgleichungen von gemischt elliptischem/hyperbo-
lischemTypbeschrieben. InderRegelgibteskeineanalytischenLösungenzudiesenGleichungen,
weswegen man numerische Methoden benutzen muss. Die zur Zeit in der Industrie verwendeten
numerischen Codes sind gewöhnlicherweise von niedriger Ordnung, wobei sich Ordnung hier auf
die Konsistenzordnung zur exakten partiellen Differentialgleichung bezieht. Das Verwenden einer
niedrigen Ordnung liefert sehr robuste Methoden, die über die Jahre sehr effizient und deswe-
gen sehr populär geworden sind. Trotzdem wird angenommen, dass Methoden, die eine höhere
Konsistenzordnung haben, den zuletztgenannten Methoden überlegen sind. Dies ist der Grund
warum wir in dieser Arbeit (bekannte) Diskretisierungsschemata höherer Ordnung wie die Dis-
continuousGalerkinFiniteElementeMethodeuntersuchenundeinneuesDiskretisierungsschema
für die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen im Rahmen der bekannten Gemischt-Hybriden
Methoden entwickeln. Die neu entwickelte Methode ist eine Mischung aus etablierten Methoden
für den diffusiven (elliptischen) und den konvektiven (hyperbolischen) Teil.
Ein weiterer Aspekt der numerischen Berechnung ist, dass der Anwender oft nicht an der
Qualität der numerischen Lösung per se interessiert ist, sondern lediglich an einigen abgeleit-
eten Größen J , den sogenannten Zielfunktionalen. Dadurch, dass man diese Zielfunktionalei
nur mit der numerischen Lösung auswertet, entsteht ein Fehler. Dieser Fehler kann durch eine
adjungierte Methode approximiert werden, was bedeutet, dass man eine zusätzliche, lineare par-
tielle Diffentialgleichung löst und ein Gewicht z erhält, welches das diskrete Residuum und den
Fehler zueinander in Beziehung setzt. Die resultierende Größe kann zur Netzadaption verwen-
det werden, immer mit dem Hinblick auf eine möglichst genaue Darstellung des Zielfunktionals.
Eine wichtige Eigenschaft einer Diskretisierung ist in diesem Kontext die Adjungierte Konsis-
tenz. Diese Eigenschaft stellt sicher, dass die Diskretisierung auch genutzt werden kann, um eine
Approximationz anz zu berechnen. Aus diesem Grund analysieren wir sowohl die existierendeh
Discontinuous Galerkin Methode als auch die von uns entwickelte Gemischt-Hybride Methode
auf diese Eigenschaft hin und zeigen, dass sie tatsächlich adjungiert konsistent sind.
Die Idee, die hinter der adjungierten Methode steht, basiert im Wesentlichen auf der Taylor
Entwicklung. DiesesetzteinenhohenGradvonRegularitätandieLösungvoraus, welchenwirim
Allgemeinen in der Aerodynamik nicht erwarten dürfen. Für den Fall, dass eine Lösung unstetig
ist, stellen wir deswegen ein mathematisches Modell zur Analyse der adjungierten Methodik dar.
Zusätzlichuntersuchenwir, wiedieadjungierteLösungineinemsolchenFallnumerischberechnet
werden kann.Acknowledgements
It is a nice duty to thank all those people and institutions who have supported me throughout
my doctoral studies:
First and foremost, I would like to express my gratitude to my advisors Prof. Georg May,
Ph.D. and Prof. Sebastian Noelle, Ph.D., who have introduced me to the fascinating topic of
hyperbolic conservation laws and especially to computational fluid dynamic, and have shared
their knowledge with me in stimulating discussions.
Furthermore, I had the great opportunity to work at the newly-established graduate school
AICES at RWTH Aachen University and got a scholarship from Deutsche Forschungsgemein-
schaft (DFG) through grant GSC 111, which is gratefully acknowledged. In this context, a
special thanks goes to the AICES Service Team Annette de Haes, Nadine Bachem and Nicole
Faber, who did a great job in supporting all of us.
I very much acknowledge the friendship with my office mates Francesca Iacono, Aravind
Balan, Stefan Feuerriegel, Matthias Schlottbom and Christian Waluga. A special thanks goes to
Francesca and Christian for proofreading a first version of my thesis.
On a more personal note, I want to acknowledge my friends and my family, including my
parents Ellen and Gerd, my sister Isabel and my girlfriend Diana for always supporting me,
especially in the final phase of the doctoral studies.
This work would not have been possible without their help - thank you all.Contents
1 Introduction 1
2 Governing Equations and Preliminaries 5
1 Governing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Hyperbolic Conservation Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quasi One-Dimensional Nozzle Flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Two-Dimensional Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Tw Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Some Basics of Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Error and Adaptivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Review of Numerical Discretizations 21
1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Finite Volume Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Discontinuous Galerkin Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Convective Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Viscous Part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 DG Discretization of the Navier-Stokes Equations . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Further Important Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . .