La lecture à portée de main
Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDécouvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement
Je m'inscrisDescription
Informations
Publié par | ruprecht-karls-universitat_heidelberg |
Publié le | 01 janvier 2007 |
Nombre de lectures | 13 |
Langue | English |
Poids de l'ouvrage | 5 Mo |
Extrait
Inaugural-Dissertation
zur Erlangung der Doktorwürde
der
Naturwissenschaftlich-Mathematischen Gesamtfakultät
der
Ruprecht-Karls-Universität
Heidelberg
vorgelegt von
Diplom-Mathematiker Thomas Dunne
aus Heidelberg
Tag der mündlichen Prüfung:Adaptive Finite Element Approximation of
Fluid-Structure Interaction Based on Eulerian
and Arbitrary Lagrangian-Eulerian Variational
Formulations
20. Juni 2007
1. Gutachter: Prof. Dr. Rolf Rannacher
2. Gutachter:Abstract
Aim of this work is the examination of numerical methods for fluid-structure interaction
(FSI) problems. We use two approaches for the modelling of FSI problems. The well-known
‘arbitraryLagrangian-Eulerian’(ALE)approachaswellasanunusual(totheauthorsknowl-
edge novel) fully Eulerian approach. For both frameworks we derive a general variational
framework for the adaptive finite element approximation of FSI problems.
The focal points of this thesis are the comparison of the ALE and the novel Eulerian ap-
proaches and the application of the ‘dual weighted residual’ (DWR) method to FSI prob-
lems. The DWR method is the basis of two techniques, a posteriori error estimation and
goal-oriented mesh adaptivity.
Based on the developed models of FSI we apply the DWR method for a posteriori error
estimation and goal-oriented mesh adaptation to FSI problems. Necessary aspects of DWR
method and implementation for the ALE and Eulerian approach are discussed.
Several stationary as well as nonstationary examples are presented using both the ALE as
well as the Eulerian framework. Results from both frameworks are in good agreement with
each other. Also for both frameworks the DWR method is successfully applied.
Finally using benchmark results from the DFG joint research group FOR 493 (of which the
author is a participating member) the discussed methods are verified for both frameworks.
Zusammenfassung
Ziel dieser Arbeit ist die Untersuchung von numerischen Verfahren für Probleme der Fluid-
Strukur Wechselwirkung (FSW). Wir benutzen zwei Verfahren zur Modellierung solcher
Probleme. Den bekannten ‘arbitrary Lagrange-Eulerschen’ (ALE) Ansatz als auch den
ungewöhnlichen (und soweit dem Author bekannt, den neuen) ganz Eulerschen Ansatz. Für
beide Ansätze leiten wir die allgemeine variationelle Formulierung her, welches wir für die
adaptive finite-element Approximation von FSW-Probleme benutzen.
Die Schwerpunkte dieser Arbeit sind der Vergleich des ALE Ansatzes mit dem neuen Eu-
lerschen Ansatz und die Anwendung der ‘dual gewichteten residuen’ (DWR) Methode für
FSW-Probleme. Die DWR Methode dient als Grundlage zweier Verfahren, die der a poste-
riori Fehlerschätzung und ergebnisorientierte Gitteradaption.
Basierend auf den entwickelten FSW Modellen wenden wir die DWR Methode bei FSW
Problemen an um einerseits eine a posteriori Fehlerschätzung zu erhalten als auch um einen
ergebnisorientierte Gitteradaption zu betreiben. Notwendige Aspekte der DWR Methode
und der Implementation für sowohl den ALE als auch den Eulerschen Ansatz werden be-
sprochen.
Viele stationäre als auch instationäre Beispiele werden gezeigt für welches sowohl der ALE
Ansatz als auch der Eulersche Ansatz benutzt werden. Ergebnisse von beiden Ansätzen
istimmen gut miteinander ein. Die DWR Methode wird auch bei beiden Ansätzen erfol-
greich eingesetzt. Schließlich werden die vorgetragenen Methoden anhand von Benchmark-
Ergebnisse der DFG Forschungsgruppe 493 (von der der Author ein teilnehmender Mitglied
ist) für beide Ansätze bestätigt.
iiContents
1 Introduction 1
2 Mathematical notations and descriptions 7
2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Eulerian, Lagrangian and arbitrary Lagrangian-Eulerian reference frames 11
3.1 Lagrangian framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 Eulerian framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3 Arbitrary Lagrangian-Eulerian reference frame . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Spacial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2 Temporal derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.3 Spacial integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Equations 17
4.1 Cauchy stress tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Reynold’s transport theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.3 Conservation of momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4 Fluid flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4.2 Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Fluid flows in an ALE framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5.2 Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.6 Material deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.6.1 Compressible St. Venant-Kirchhoff material . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6.2 Incompressible neo-Hookean material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.6.3 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.6.4 Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Material deformations in an Eulerian framework . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.7.1 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.7.2 Variational formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Fluid-Structure interaction formulation 33
5.1 ALE variational form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Eulerian variational form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2.1 Initial position set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
iiiContents
5.2.2 Formulation of the ‘stationary’ FSI problem . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2.3 Theoretical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Discretization 41
6.1 Finite element triangulation and mesh notation . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Finite element spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Complete variational formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3.1 ALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.3.2 Eulerian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4 Spacial discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.5 Time discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.6 Solution of the algebraic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.7 Directional derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.7.1 Automatic differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.7.2 ALE framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.7.3 Eulerian framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.7.4 Similarities and differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7 Adaptivity and error estimation 61
7.1 Dual weighted residual method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 Mesh adaptation algorithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 Numerical quadrature along the interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 Numerical test: elastic materials 71
8.1 Convergence results for a known solution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 Convergence results for solid-solid interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2.1 Horizontal interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.2.2 Diagonal interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.3 Influence of the boundary integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3.1 Horizontal interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.3.2 Diagonal interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9 Numerical test: elastic flow cavity 95
9.1 Computations on globally refined meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.2 Computations on locally adapted meshes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
10 Numerical test: FSI benchmark FLUSTRUK-A 105
10.1 CFD test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.2 CSM test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
10.3 FSI tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
10.4 FSI test with large deformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11 Summary and future development 119