Adaptive wavelet and frame schemes for elliptic and parabolic equations [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Thorsten Raasch

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• Publié par: philipps-universitat_marburg
• Publié le: 01 janvier 2007
• Nombre de lectures: 13
• Langue: English
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Extrait

Dissertation
Adaptive Wavelet and Frame Schemes
for Elliptic and Parabolic Equations
Thorsten Raasch
2007iiAdaptive Wavelet and Frame Schemes
for Elliptic and Parabolic Equations
Dissertation
zur
Erlangung des Doktorgrades
der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
dem
Fachbereich Mathematik und Informatik
der Philipps–Universit¨at Marburg
vorgelegt von
Thorsten Raasch
aus Frankenberg/Eder
Marburg/Lahn Februar 2007Vom Fachbereich Mathematik und Informatik
der Philipps–Universit¨at Marburg als Dissertation
angenommen am: 8. Februar 2007
Erstgutachter: Prof. Dr. Stephan Dahlke, Philipps–Universita¨t Marburg
Zweitgutachter:Prof. Dr. Hans–Ju¨rgen Reinhardt, Universita¨t Siegen
Drittgutachter: Dr. Rob Stevenson, Utrecht University
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 14. M¨arz 2007v
Acknowledgements
Iwouldliketosincerelythankmyresearchadvisor,ProfessorStephanDahlke,whose
guidance, patienceandconstantwillingnessfordiscussionsaboutwaveletandframe
analysis substantially helped me to finish this thesis.
I am also indebted to Professor Hans–Ju¨rgen Reinhardt for being my second
refereeandinparticularforguidingmyfirstscientificstepsrelatedtotheinteresting
field of inverse problems when I belonged to his research group.
Atthesametime,IamalsodeeplygratefultoRobStevensonforhisreadinessto
write the third referee report and for inspiring discussions on the numerical analysis
of adaptive wavelet and frame methods.
Furthermore, I thank all the members of the AG Numerik/Wavelet–Analysis in
Marburg for creating such a friendly atmosphere to work in. Special thanks go to
Karsten Koch who has been much more than a colleague for me in the last years.
I would like to thank also Manuel Werner for many fruitful discussions and for his
assistance in some of the numerical experiments.
I also have to express my gratitude to the current and former members of Hans–
Ju¨rgen Reinhardt’s research group who made my stay in Siegen a valuable time to
remember.
Thanks also go to my former teacher, Heinrich Meier, for initially drawing my
attentiontothefascinatingworldofmathematicsbyhisencouragingwayofholding
classes.
Finally,Iwouldliketoexpressmysinceregratitudetomyparentswhosesupport
I could always rely on, regardless of the amount of time I spent at the computer
when visiting them.
I also feel grateful to the Deutsche Forschungsgemeinschaft which financially
supported the final phase of my stay in Marburg under Grant Da 360/7–1.viZusammenfassung
In jungster Zeit wurden sogenannte Waveletbasen erfolgreich in verschiedenen Ge-¨
bieten der angewandten Mathematik und ihrer Nachbardisziplinen eingesetzt, so
z.B.inderSignal–undBildverarbeitung,aberauchbeigewissen Problemstellungen
der Numerik wie etwa der Lo¨sung von Operatorgleichungen.
Die Grundidee bei Wavelets besteht darin, Funktionensysteme zu betrachten,
die sich im Wesentlichen durch Skalierung und Translation einer einzigen Funktion
ergeben. Als besondere Vorteile gegenuber anderen Funktionensystemen haben sich¨
die folgenden Schlu¨sseleigenschaften von Wavelets herausgestellt:
• Nach geeigneter Reskalierung bilden Wavelets eine Basis in verschiedenen
wohlbekannten Funktionenra¨umen;
• Wavelets sind im Ort lokalisiert, im Gegensatz z.B. zum Fouriersystem;
• WaveletsbesitzenverschwindendeMomente,sodassinnereProduktemitglat-
tenFunktionenverschwindenoderzumindestexponentiellmitwachsenderWa-
veletskala abfallen.
Wir sind in der vorliegenden Arbeit insbesondere an numerischen Anwendungen
interessiert. Hierin k¨onnen alle der oben genannten Grundeigenschaften von Wa-
velets vorteilhaft ausgenutzt werden. So erlauben Wavelets durch ihre Approxima-
tionseigenschaften und ihre Lokalisierung im Ort die numerische Behandlung von
elliptischen Randwertproblemen, wie z.B. der Poisson–Gleichung, im Rahmen eines
Galerkin–Verfahrens. Im Gegensatz zu anderen Funktionensystemen sind Wavelets
gleichfalls dazu geeignet, die Losung einer Integralgleichung effektiv zu approxi-¨
mieren, da aufgrund der verschwindenden Momente die entsprechenden Galerkin-
systeme gut durch dunn besetzte Matrizen angenahert werden konnen. Weiterhin¨ ¨ ¨
gestatten Wavelets den Einsatz einfacher diagonaler Vorkonditionierer.
Um die numerische Simulation realistischer Probleme aus der Praxis uberhaupt¨
rechenbar zu machen, sind adaptive Methoden von besonderem Interesse. Diese
passen die Diskretisierung mittels a posteriori Fehlerschatzern selbststeuernd an¨
die unbekannte Lo¨sung des Problems an. Seit 25 Jahren haben sich hierbei ad-
aptive Finite–Element–Verfahren in der Praxis bewahrt. Allerdings waren deren¨
theoretische Konvergenzeigenschaften lange Zeit unklar, insbesondere die Frage der
Optimalita¨t. Im Gegensatz dazu haben verschiedene seit den 1990er Jahren ent-
wickelteadaptiveWavelet–MethodenbeweisbaroptimaleKonvergenz–undKomple-
xit¨atseigenschaften. Insbesondere im Fall symmetrischer elliptischer Probleme und
deren Modifikationen ist der Einsatz von Wavelets mittlerweile gut verstanden.
viiviii
Der aktuelle Stand der Forschung im Bereich adaptiver Wavelet–Methoden be-
sitzt allerdings mehrere Schwachpunkte, von denen die folgenden beiden in der vor-
liegenden Arbeit behandelt werden sollen:
¨(P1) UblicherweiselebtderbetrachteteelliptischeOperatoraufeinembeschra¨nkten
Gebiet oder einer geschlossenen Mannigfaltigkeit, so dass fur die Umsetzung¨
numerischerWavelet–VerfahreneineentsprechendeWavelet–Konstruktionauf
dem betreffenden Gebiet vonnoten ist. Alle bekannten Ansatze in diesem Be-¨ ¨
reich sind allerdings relativ kompliziert und liefern Wavelet–Systeme von zu-
meistunzureichendernumerischerStabilita¨t.HierdurchwurdebislangdieVer-
wendung von Wavelet–Verfahren bei realistischen Problemen behindert.
(P2) Bislangistweitgehendunklar,inwiefernsichadaptiveWavelet–Methodenauch
zur numerischen Losung nichstationarer Probleme wie z.B. parabolischen An-¨ ¨
fangsrandwertproblemen eignen.
ZurBehebungdesProblems(P1)diskutierenwirindieserArbeitdenEinsatzso-
genannter Wavelet–Frames. Hierbei handelt es sich um eine naturliche Verallgemei-¨
nerungdesBegriffsderRieszbasis,welcheru¨blicherweiseeinerWaveletbasiszuGrun-
de liegt. Um die Charakterisierung von Funktionenraumen auch im Fall von Frames¨
sicherzustellen,fu¨hrenwirdieTeilklassederGelfand–Frames ein.Dieseerlaubenes,
inAnalogiezuWavelet–Rieszbasen,durcheinfacheReskalierungdesGesamtsystems
FramesinverschiedenenFunktionenra¨umenzubilden.Umnunaufdembetrachteten
beschranktenGebietgeeignete (Gelfand–)Frameszu konstruieren,betrachtenwirin¨
Teil I eine u¨berlappende Zerlegung des Gesamtgebiets in durch den Einheitswu¨rfel
parametrisierteTeilgebiete.DurchdieVereinigunggeeignetgelifteterReferenzbasen
auf dem Kubus erhalt man auf einfache Weise einen globalen Wavelet–Frame. Die¨
GrundeigenschaftenderRefererenz–WaveletbasiswieLokalita¨t,Regularita¨tundver-
schwindende Momente bleiben dabei erhalten. Allerdings ist der entstehende Frame
redundant, d.h. die Entwicklungskoeffizienten einer gegebenen Funktion bezu¨glich
desFramessindnichteindeutig.ZumNachweisderGelfand–Frame–Bedingunggrei-
fen wir auf die neuartige Theorie lokalisierter Frames zuru¨ck. In Teil II diskutieren
wir den Einsatz von Gelfand–Frames bei der Diskretisierung elliptischer Operator-
gleichungen. Analog zur Vorgehensweise bei Waveletbasen gestatten auch Frames
eine a¨quivalente Darstellung der urspru¨nglichen Operatorgleichung in Framekoordi-
naten. Durch die Redundanz des Frames besitzt die biinfinite Systemmatrix hierbei
einen nichttrivialen Kern, was den Einsatz von Galerkin–Methoden zuna¨chst ver-
hindert. Allerdings ist es stattdessen moglich, wohlbekannte lineare Iterationsver-¨
fahren auf den unendlich–dimensionalen Fall zu u¨bertragen. Um ein implementier-
bares Verfahren zu erhalten, mussen dabei alle unendlich–dimensionalen Vektoren¨
und Matrizen sowie deren Kombinationen durch hinreichend genaue endliche Ap-
proximationen ersetzt werden. Dieses ist in der Tat moglich unter Zuhilfenahme¨
der Kompressionseigenschaften der verwendeten Wavelets und Wavelet–Frames. So
kann zum Beispiel die adaptive Anwendung der biinfiniten Systemmatrix auf endli-
cheVektorenmitoptimalerKomplexitatdurchgefuhrtwerden.Fernerstehenfurdie¨ ¨ ¨
Koeffizientendarstellung einer Iterierten implementierbare Thresholding–Routinen
zur Verfugung. Durch die geeignete Kopplung dieser numerischen Grundbausteine¨ix
geben wir eine auf Frames basierte inexakte Richardson–Iteration an und analysie-
renderenKonvergenz–undKomplexit¨atseigenschaften.DietheoretischenErgebnis-
se werden durch ausgewahlte numerische Testrechnungen illustriert.¨
Fu¨rProblem(P2)gebenwirschließlichinTeilIIIeinegangbareStrategiean.Wir
befassen wir uns hier mit der Entwicklung adaptiver Wavelet–Methoden fur lineare¨
parabolischeGleichungen,wobeialsModellproblemdieWa¨rmeleitungsgleichungmit
einem Quellterm betrachtet wird. Inspiriert durch bereits etablierte Ansatze im Be-¨
reich Finiter Elemente geschieht die Diskretisierung des Gesamtproblems mit einem
zweischrittigen Schema, der horizontalen Linienmethode. Zunac