An a posteriori error analysis for distributed elliptic optimal control problems with pointwise state constraints [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Michael Kieweg

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• Publié par: universitat_augsburg
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 17
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

An a posteriori error analysis for
distributed elliptic optimal control
problems with pointwise state
constraints
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Titels eines
Doktors der Naturwissenschaften
der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakult at
der Universit at Augsburg
vorgelegt von Michael Kieweg
geboren am 27.01.1982 in Schwabmunc henBetreuer: Prof. Dr. Ronald H. W. Hoppe
1. Gutachter: Prof. Dr. Ronald H. W. Hoppe
2.hter: Prof. Dr. Kunibert G. Siebert
3. Gutachter: Prof. Dr. Martin Brokate
Mundlic he Prufung: 05. Dezember 2007D A N K S A G U N G E N
Diese Arbeit w are wohl nicht ohne eine breite Unterstutzung und Hilfe von zahlrei-
chen Personen zustande gekommen.
Als erstes gilt mein ganz besonderer Dank dem Betreuer dieser Dissertation Prof.
Dr. Ronald H. W. Hoppe von der Universit at Augsburg fur die intensive Betreuung
meines wissenschaftlichen Scha ens und fur die zahlreichen informativen und ergeb-
nisreichen Diskussionen ub er die Thematik dieser Doktorarbeit. Besonders sch atze
ich auch, dass Prof. Hoppe mir die M oglichkeit gab, Teile dieser Arbeit in Hous-
ton/USA zu erstellen.
Ferner danke ich Prof. Dr. Kunibert G. Siebert von der Universit at Augsburg und
Prof. Dr. Martin Brokate von der TU Munc hen dafur, sich als weitere Gutachter zur
Verfugung zu stellen.
Mein Dank geht auch an Dr. Yuri Iliash von der Universit at Augsburg fur die Er-
laubnis seine FEM-Bibliotheken zu verwenden.
Diese Dissertation entstand im Rahmen des Elitestudiengangs TopMath. Ich danke
allen Grundern und Organisatoren dieses Studiengangs, allen voran Dr. Ralf Franken
und Dr. Christian Kredler von der TU Munc hen, sowie Prof. Dr. Karl Heinz Borg-
wardt von der Universit at Augsburg, fur ihren Einsatz und ihre Hilfsbereitschaft.
Au erdem gilt mein Dank dem Elitenetzwerk Bayern fur die nanzielle Unterstutzung
in Form eines Promotionsstipendiums nach dem bayerischen Elitef orderungsgesetz.
Insbesondere danke ich meiner Familie fur ihre unermudlic he Unterstutzung in
jeglicher Hinsicht w ahrend meiner gesamten Ausbildungszeit. Besonderer Dank gilt
dabei meinem Vater Dr. Werner Kieweg fur seine tatkr aftige Mithilfe bei der Ver-
fassung dieser Arbeit in englischer Sprache.A B S T R A C T
This thesis is concerned with the development, analysis, and implementation of
an adaptive nite element method for distributed elliptic optimal control problems
with pointwise unilateral constraints on the state. In particular, two residual-type
a posteriori error estimators will be derived. The rst one takes advantage of the
modi ed adjoint state, which is de ned as some kind of regularization of the adjoint
state. Furthermore, this error estimator will, after minor modi cation, be trans-
fered to the Lavrentiev regularization of the pure state constrained case. Up to a
consistency error and data oscillation, reliability and e ciency results concerning
the approximation of the state, the control, and the modi ed adjoint state can be
provided for these error estimators. With two numerical examples, the performance
of the adaptive algorithm will be investigated. A bene t compared to an uniform
re nemen t strategy will be noticeable.
The second developed a posteriori error estimator results from a measure extension
of the discrete measure appearing in the right-hand side of the adjoint state equation
2to an element in L ( ). This error estimator provides, again up to a consistency
error and data oscillation, reliability and e ciency for the approximation error in
the control, in the state, and in a semi-continuous auxiliary adjoint state. Another
numerical example will show that this error estimator might be advantageous.2Contents
1 Introduction 11
2 The distributed optimal control problem 17
2.1 Model problem - existence and uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 An illustrative example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Optimality conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 Discretization and discrete optimality conditions . . . . . . . . . . . . 23
3 A posteriori error analysis 29
3.1 The residual-type a posteriori error estimator . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Reliability of the error estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 E ciency of the error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Lavrentiev Regularization 43
4.1 Mixed control-state constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Optimality conditions of the regularized problem . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Convergence to the unregularized problem . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Discretization and modi ed Lagrange multipliers . . . . . . . . . . . . 52
4.5 A posteriori error estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.6 Reliability of the error estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.7 E ciency of the error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5 Numerical results 63
5.1 The adaptive algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Implementation Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Example 1 - Smooth Lagrange Multiplier . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.4 2 - Nonsmooth Lagrange multiplier . . . . . . . . . . . . . . 80
6 The obstacle problem approach 91
6.1 Measure extension error estimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2 Reliability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 E ciency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4 Discussion of the consistency error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.5 Numerical experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
34 CONTENTS
7 Conclusion and Outlook 117