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Publié par | Thesee |
Nombre de lectures | 26 |
Langue | English |
Poids de l'ouvrage | 11 Mo |
Extrait
ECOLENORMALESUPERIEUREDECACHAN
DOCTORALSCHOOL OFPRACTICALSCIENCES
PHD THESIS
toobtainthetitleof
DOCTOROFPHILOSOPHY
Specialty:MATHEMATICS
Defendedby
AdinaCIOMAGA
AnalyticalPropertiesofViscositySolutions
forIntegro-DifferentialEquations.
ImageVisualizationandRestoration
byCurvatureMotions
Supervisors: GuyBARLESandJean-MichelMOREL
Jury:
Reviewers: VicentCASELLES - UniversitatPompeuFabra,Barcelona
HitoshiISHII - WasedaUniversity,Tokyo
TakisSOUGANIDIS - UniversityofChicago
Supervisors: GuyBARLES - LMPT,UniversitédeTours
Jean-MichelMOREL - CMLA,ENSCachan
Examinators: AntoninCHAMBOLLE - CMAP,EcolePolytechnique
BenoîtPERTHAME - UniversitéPierreetMarieCurie.
April29,2011
tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011ECOLENORMALESUPERIEUREDECACHAN
ECOLEDOCTORALESCIENCESPRATIQUES
THESE DE DOCTORAT
pourobtenirlegradede
DOCTEURDEL’ECOLENORMALESUPERIEUREDECACHAN
Specialité:MATHEMATIQUES
Présentéepar
AdinaCIOMAGA
PropriétésAnalytiquesdesSolutionsde
ViscositédesEquationsIntegro-Différentielles.
VisualisationetRestaurationd’Images
parMouvementsdeCourbure
Directeursdethèse: GuyBARLESandJean-MichelMOREL
Jury:
Reviewers: VicentCASELLES - UniversitatPompeuFabra,Barcelona
HitoshiISHII - WasedaUniversity,Tokyo
TakisSOUGANIDIS - UniversityofChicago
Supervisors: GuyBARLES - LMPT,UniversitédeTours
Jean-MichelMOREL - CMLA,ENSCachan
Examinators: AntoninCHAMBOLLE - CMAP,EcolePolytechnique
BenoîtPERTHAME - UniversitéPierreetMarieCurie.
29Avril,2011
tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011Abstract
Thepresentdissertationhastwoindependentparts.
ViscositysolutionstheoryfornonlinearIntegro-DifferentialEquations
We consider nonlinear elliptic and parabolic Partial Integro-Differential Equations (PIDES),
wherethenonlocaltermsareassociatedtojumpLévyprocesses. Thepresentworkismotivated
by the study of the Long Time Behavior of Viscosity Solutions for Nonlocal PDEs, in the periodic
setting. Thetypicalresultstatesthatthesolutionu(·,t)oftheinitialvalueproblemforparabolic
PIDEs behaves like ‚t+v(x)+o(1) as t →∞, where v is a solution of the stationary ergodic
problem corresponding to the unique ergodic constant‚. In general, the study of the asymp-
totic behavior relies on two main ingredients: regularity of solutions and the strong maximum
principle.
We first establish Strong Maximum Principle results for semi-continuous viscosity solutions of
fully nonlinear PIDEs. This will be used to derive Strong Comparison results of viscosity sub
and super-solutions, which ensure the up to constants uniqueness of solutions of the ergodic
problem,andsubsequently,theconvergenceresult. Moreover,forsuper-quadraticequationsthe
strongmaximumprincipleandaccordinglythelargetimebehaviorrequireLipschitzregularity.
WethengiveLipschitzestimatesofviscositysolutionsforalargeclassofnonlocalequations,by
theclassicalIshii-Lions’smethod. Regularityresultshelpinadditionsolvingtheergodicproblem
andareusedtoprovideexistenceofperiodicsolutionsofPIDEs.
In both cases, we deal with a new class of nonlocal equations that we term mixed integro-
differentialequations. These equations are particularly interesting, as they are degenerate both
inthelocalandnonlocalterm,buttheiroverallbehaviorisdrivenbythelocal-nonlocalinterac-
tion, e.g. thefractionaldiffusionmaygivetheellipticityinonedirectionandtheclassicaldiffu-
sioninthecomplementaryone.
ImageVisualizationandRestorationbyCurvatureMotions
The role of curvatures in visual perception goes back to 1954 and is due to Attneave. It can be
arguedonneurologicalgroundsthatthehumanbraincouldnotpossibleusealltheinformation
providedbystatesofsimulation. Butactuallyhumanbrainregistersregionswherecolorchanges
abruptly(contours),andfurthermoreanglesandpeaksofcurvature. Yet,adirectcomputationof
curvatures on a raw image is impossible. We show how curvatures can beaccuratelyestimated,
atsubpixelresolution,byadirectcomputationonlevellinesaftertheirindependentsmoothing.
Toperformthisprogramme,webuildanimageprocessingalgorithm,termedLevelLines(Affine)
Shortening,simulatingasub-pixel evolutionofanimagebymeancurvaturemotionorbyaffine
curvature motion. Both in the analytical and numerical framework, LL(A)S first extracts all the
level lines of an image, then independently and simultaneously smooths all of its level lines by
curve shortening (CS) (respectively affine shortening (AS)) and eventually reconstructs, at each
time,anewimagefromtheevolvedlevellines.
We justify that the Level Lines Shortening computes explicitly a viscosity solution for the Mean
CurvatureMotionandhenceisequivalentwiththeclasical,geometricCurveShortening.
Basedonsimultaneouslevellinesshortening,weprovideanaccuratevisualizationtoolofimage
curvatures,thatwecallanImageCurvatureMicroscope. Asanapplicationwegivesomeillustra-
tive examples of image visualization and restoration: noise, JPEG artifacts, and aliasing will be
showntobenicelysmoothedoutbythesubpixelcurvaturemotion.
tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011tel-00624378, version 1 - 16 Sep 2011Résumé
Lemanuscritestconstituédedeuxpartiesindépendantes.
PropriétésdesSolutionsdeViscositédesEquationsIntegro-Différentielles.
Nous considérons des équations intégro-différentielles elliptiques et paraboliques non-linéaires (EID), où
lestermesnon-locauxsontassociésàdesprocessusdeLévy. Cetravailestmotivéparl’étudeduComporte-
mententempslongdessolutionsdeviscositédesEID,danslecaspériodique. Lerésultatclassiquenousdit
quelasolutionu(·,t)duproblèmedeDirichletpourEIDsecomportecomme‚t+v(x)+o(1)quandt→∞,
oùv estlasolutionduprergodiquestationairequicorrespondàuneuniqueconstanteergodique‚.
Engénéral,l’étudeducomportementasymptotiqueestbasésurdeuxarguments: larégularitédesolutions
etleprincipedemaximumfort.
Dansunpremiertemps,nousétudionslePrincipedeMaximumFortpourlessolutionsdeviscositésemi-
continuesdeséquationsintégro-différentiellesnon-linéaires. Nousl’utilisonsensuitepourdéduireunré-
sultat de comparaison fort entre sous et sur-solutions des équations intégro-différentielles, qui va assurer
l’unicitédessolutionsduproblèmeergodique àuneconstanteadditiveprès. Deplus, pour des équations
super-quadratiquesleprincipedemaximumfortetenconséquencelecomportemententempsgrandex-
igelarégularitéLipschitzienne.
Dansunedeuxiemepartie,nousétablissonsdenouvellesestimationsHölderiennesetLipschitziennespour
lessolutionsdeviscositéd’unelargeclassed’équationsintégro-différentiellesnon-linéaires,parlaméthode
classiquedeIshii-Lions. Lesrésultatsderégularitéaidentdeplusàlarésolutionduproblèmeergodiqueet
sontutiliséspourfournirexistencedessolutionspériodiquesdesEID.
Nos résultats s’appliquent à une nouvelle classe d’équations non-locales que nous appelons équations
intégro-différentiellesmixtes. Ceséquationssontparticulièrementintéressantes,carellessontdégénéréesà
lafoisdansletermelocaletnon-local,maisleurcomportementglobalestconduitparl’interactionlocale-
non-locale,parexampleladiffusionfractionnairepeutdonnerl’ellipticitédansunedirectionetladiffusion
classiquedansladirectionorthogonale.
VisualisationetRestaurationd’ImagesparMouvementsdeCourbure
Lerôledelacourburedanslaperceptionvisuelleremonteà1954,etonledoitàAttneave. Desarguments
neurologiquesexpliquentquelecerveauhumainnepourraitpaspossiblementutilisertouteslesinforma-
tions fournies par des états de simulation. Mais en réalité on enregistre des régions où la couleur change
brusquement (des contours) et en outre les angles et les extremas de courbure. Pourtant, un calcul direct de
courburessuruneimageestimpossible. Nousmontronscommentlescourburespeuventêtreprécisément
évaluées,àrésolutionsous-pixeliqueparuncalculsurleslignesdeniveauaprèsleurlissageindépendant.
Pour cela, nous construisons un algorithme que nous appelons Level Lines (Affine) Shortening, simulant
uneévolutionsous-pixeliqued’uneimageparmouvementdecourburemoyenneouaffine. Aussibiendans
le cadre analytique que numérique, LLS (respectivement LLAS) extrait toutes les lignes de niveau d’une
image,lisseindépendammentetsimultanémenttoutesceslignesdeniveauparCurveShortening(CS)(re-
spectivementAffineShortening (AS))etreconstruitunenouvelleimage. NousmontronsqueLL(A)Scalcule
explicitementunesolutiondeviscositépourleleMouvementdeCourbureMoyenne(respectivementMou-
vementparCourbureAffine),cequidonneuneéquivalenceaveclemouvementgéométrique.
Basésurleraccourcissementdelignesdeniveausimultané,nousfournissonsunoutildevisualisationpré-
cisdescourburesd’uneimage,quenousappellonsunMicroscopedeCourbured’Image. Entantqueappli-
cation,nousdonnonsquelquesexemplesexplicatifsdevisualisationetrestaurationd’image: dubruit,des
artefactsJPEG,del’aliasingserontatténuésparunmouvementdecourburesous-p