Aperçu sur les mathématiques babyloniennes - article ; n°4 ; vol.3, pg 301-314

E.M. Bruins

Description

Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1950 - Volume 3 - Numéro 4 - Pages 301-314
14 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES_ET_DE_LEURS_APPLICATIONS
• Publié le: 01 janvier 1950
• Nombre de lectures: 57
• Langue: Français

Extrait

E.M. Bruins
Aperçu sur les mathématiques babyloniennes
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1950, Tome 3 n°4. pp. 301-314.
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Bruins E.M. Aperçu sur les mathématiques babyloniennes. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1950,
Tome 3 n°4. pp. 301-314.
doi : 10.3406/rhs.1950.2857
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1950_num_3_4_2857Aperçu sur les mathématiques babyloniennes
Les études relatives aux textes mathématiques babyloniens,
amorcées par F. Thureau-Dangin, ont été résumées dans les ouvrages
suivants :
0. Neugebauer, Mathemalische Keilschrifttexte (M. K. T.),
I, II, III, Berlin, 1935-38 ;
F. Thureau-Dangin, Textes mathématiques babyloniens, Leiden,
1938;
О. Neugebauer et A. Sachs, Mathematical cuneiform texts,
New Haven, 1945.
L'édition de Thureau-Dangin, sauf une introduction générale,
ne donne que la transcription accadienne des textes et leurs tra
ductions sans commentaire détaillé. D'autre part les éditions
M. K. T. de Neugebauer ne séparent pas toujours très nettement
dans leurs conclusions les hypothèses du commentateur du contenu
authentique des textes. De plus, chacun des tomes II, III conte
nant des corrections relatives aux textes publiés dans le(s) tome(s)
précédent(s), l'ouvrage de Neugebauer exige un effort assez consi
dérable pour pénétrer le contenu des textes et leur interprétation.
Les textes mathématiques de la Mission de Suse (1) nous don
nant des informations supplémentaires importantes, il semble utile
de donner une esquisse générale des mathématiques babyloniennes
d'après l'ensemble des textes connus.
1. La notation des nombres
On désigne une unité par un clou généralement en position
verticale. Une dizaine s'écrit par un « chevron ». Le système de base
dix, qui semble être le plus fondamental et le plus primitif, a
(1) Les tablettes mathématiques de Suse (provenant des fouilles de la Mission archéo
logique française en Iran), encore inédites et dont nous assumons la publication en co
llaboration avec Mlle M. Rutten.
T. III. — 1950 19 302 revue d'histoire des sciences
donné lieu aux signes spéciaux mi et lemu pour cent et mille
(lemu s'écrit comme dix mi). On écrit donc :
Fig. I
Les textes mathématiques utilisent d'autre part le système de
position de base 60. Pour distinguer les différentes unités sexagé
simales, lorsque la séparation n'était pas rendue évidente par la posi
tion des dizaines après des unités, ou bien on écrivait les signes en
les séparant par un espace vide plus grand (Q), ou bien on utilisait
un signe spécial de séparation (M). Plus tard on rencontre aussi ce
signe de séparation pour désigner l'espace vide, comme nous écr
ivons le « zéro ».
1 7 <T1 /. /. л q
<Ш \\ ,.3o:ii.4».o M.
Tf < i <«ТП « l.c. о.ъъ.ю АО 4Щ.
M : signe de séparation Q : sans sans signe zéro de final, séparation АО 6484 : zéro médial
Fig. 2
Au temps des Séleucides on employait, semble-t-il, ce signe tout
comme le zéro médial, initial ou final est utilisé dans le système
décimal. Les problèmes A, В des textes de Suse montrent qu'à
l'époque des soukkals on n'avait pas encore le moyen d'exprimer
20 — 20 = « 0 », et que l'on ne possédait pas un nombre entier zéro.
Par deux fois on rencontre :
« 20 de 20 soustrais et de 2 soustrais 30, tu vois 1,30 »
c'est-à-dire que l'on n'exprime pas le 20 — 20 = « 0 » explicitement. APERÇU SUR LES MATHÉMATIQUES BABYLONIENNES 303
De même, dans les textes contenant des séries de problèmes
obtenus en faisant varier les données on ne rencontre ni zéro
ni nombres négatifs ; mais, en considérant la différence X — Y,
on dit que X excède Y par a, que X est égal à Y et que X est
inférieur à Y de b pour exprimer les équations :
X — Y=a, X — Y=0, X — Y= — b
Pour faciliter les calculs les Babyloniens avaient composé des
tables de réciproques, de carrés et de cubes, des tables de multi
plication, de sommes de et de cubes ainsi que des tables
formées par les constantes mathématiques qui apparaissent souvent
dans les calculs, etc.
2. Classification du matériel
Une difficulté devant laquelle on se trouve placé est que les
divers textes ne sont pas de même valeur scientifique. Nous en don
nerons quelques exemples.
I. — Considérons le texte BM 85194, qui contient un grand
nombre de problèmes relatifs aux travaux d'un architecte. On
trouve entre autres :
a) Le calcul du volume d'un tronc de cône dont on connaît la
hauteur h et le périmètre des sections supérieure b et inférieure a.
Le calcul se fait par la formule :
,r 1 , fb2 a2\ 1 1 V = - Л 1- = 7Г ~ 3 4*' -
2 \12 12j 12
c'est-à-dire en prenant la valeur moyenne des volumes de deux
cylindres ayant la même hauteur h et dont les bases sont respect
ivement les sections supérieure et inférieure ; ce n'est là, évidemment,
qu'une formule approximative qui ne donne jamais la réponse
exacte.
b) Le même texte contient le calcul du volume d'un tronc de
pyramide à base carrée. Des données il s'en suit que (fig. 3) a = 10,
b = 7 et on calcule le volume par la ц
formule :
]
n'a Il pas est les évident dimensions que correctes cette formule mais Fig. 7— з 304 revue d'histoire des sciences
il va de soi qu'il faut, à cause de a — b = 3, reconstruire la formule
générale comme étant :
v j 17° + b\ 1 (a—b
qui est une formule exacte.
Cette formule a été vraisemblablement obtenue par interpolation.
Si l'on corrige le volume d'un bloc ayant pour côté la longueur moyenne
— ~ — par une fraction d'un bloc dont le volume, disparaissant pour
h
a = 6, a pour côté — - — on obtient
le facteur X se détermine en posant b = 0 et supposant connue la formule
ô ha2 pour la pyramide,
= "4 + i X d0nC X = l I
Malheureusement jusqu'à présent on n'a trouvé sur aucune tablette
la formule к ha2.
Ces deux calculs a et b n'utilisent en principe qu'une interpola
tion assez grossière qui n'oblige pas à admettre une science mathé
matique bien développée. Notons encore que le texte contient la
solution correcte du problème suivant :
c) Calculer la longueur s d'une parallèle à la base d'un trapèze
(fig. 4). On détermine s par la
/i formule
s = a — {a — b) -
' ч qui est évidente si l'on tient compte
de la proportion
Fig. 4 {a — s) : (a — b) = h : H APERÇU SUR LES MATHÉMATIQUES BABYLONIENNES 305
d) Sauf une erreur de calcul évidente, on trouve le calcul
d'une corde s d'un cercle connaissant le périmètre du cercle с et
la flèche a relative à la corde par la
formule (fig. 5)
d= -c;{n~3) s = v/d2 — {d- 2a) Ó
et de même le problème inverse : recher
che de a, connaissant s, se trouve résolu
par la formule correcte
Fig. 5
e) Le calcul de l'aire d'un segment
de cercle de longueur d'arc b = 1 et de corde s = 50 se fait par la
formule
Cette dernière formule est évidemment une interpolation grossière,
mais qui donne des résultats corrects pour les
cas extrêmes. En effet on a
s< b< s + 2a s
Fig. 6 donc
b f^> s -j- a
En corrigeant l'aire du rectangle (fig. 6) sa par Xa2 on obtient
О = b{b — s) — \{b — s)2
et pour le demi-cercle on а с = 3, s = 2, О = 1 ~ donc X = ^
Dans les Meirica (I, 30), de Heroon, on voit que les « Anciens »
mesuraient les segments de cercle plus petits qu'un demi-cercle par la
formule très inexacte
2 I Is + a) ) a
en utilisant le théorème approché suivant lequel le périmètre est égal à
3 fois le diamètre. On ne peut presque pas douter de la méthode par laquelle
la formule babylonienne a été construite ; la formule donnée par e) est
d'ailleurs beaucoup plus exacte que la formule de Heroon, Metrica, I, 31. REVUE D'HISTOIRE DES SCIENCES 306
On voit donc, que dans les textes traitant de problèmes pra
tiques, on se contentait d'interpolations parfois très grossières dans
les cas qui auraient exigé l'usage de formules plus compliquées
pour être traités correctement.
II. — Dans les textes purement math