Applications of least-squares regressions to pricing and hedging of financial derivatives [Elektronische Ressource] / Andreas J. Grau

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• Publié par: technische_universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2008
• Nombre de lectures: 29
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

¨ ¨Technische Universitat Munchen
Zentrum Mathematik
Applications of Least Squares Regressions to Pricing
and Hedging of Financial Derivatives
Andreas J. Grau
Vollstandiger¨ Abdruck der von der Fakultat¨ fur¨ Mathematik der Technischen Universitat¨ Munchen¨
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ. Prof. Dr. Bernd Simeon
Prufer¨ der Dissertation: 1. Univ. Prof. Dr. Rudi Zagst
2. Prof. Phelim P. Boyle, Ph.D. (em.),
Wilfrid Laurier University, Waterloo, Kanada,
(nur schriftliche Beurteilung)
3. Univ. Prof. Dr. Hans Joachim Bungartz
Die Dissertation wurde am 12.12.2007 bei der Technischen Universitat¨ eingereicht und durch die
Fakultat¨ fur¨ Mathematik am 05.02.2008 angenommen.2Acknowledgements i
Acknowledgements
This thesis would not have been possible without the support of numerous people. First,
I would like to thank my supervisor Prof. Dr. Rudi Zagst for assigning challenging tasks to me,
discussing my ideas patiently and providing assistance in order to making this thesis readable. He
even left me enough room for my unconventional ideas. I thank Prof. Dr. Peter Forsyth, Prof. Dr.
Ken Vetzal and Prof. Dr. Jan Kallsen for discussions with valuable input and thought provoking
impulses. This is especially true for my co supervisor Prof. Dr. Phelim Boyle and the third referee
of this thesis Prof. Dr. Hans Bungartz.
As well, I would like to thank my collegues Dr. Stefan Dirnstorfer, Christina Niethammer and
Christoph Hanle¨ for making the time working on my dissertation enjoyable.
Last, but not least, a special thanks goes to my parents and my brother for their constant full
support from back home.ii AcknowledgementsContents
Introduction 1
1 Mathematical Foundations 5
1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Regression Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Approximation Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 Pricing and Hedging in Complete Markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 General Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Exercisable Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Numerical Methods for Option Valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Monte Carlo Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.3 Direct PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 The Challenge of Path Dependency 33
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Pricing Using Feature Extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 A Discretely Sampled Asian Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.3 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.4 Summary of the Feature Extraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4 Pricing Delayed Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.1 Numerical Example: A Parisian Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Moving Window Asian Options 51
3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Moving Window Asian Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 Continuous Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Related Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1 Asian American Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.2 Exponential Weight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.3 Moving Window Asian Option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii3.5 Numerical Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2 Choice of Basis Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.5.3 Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6.2 Heuristic Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Callable Convertible Bonds 73
4.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Models for Convertible Bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1 No Default Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2 Credit Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.3 Cash Flows, Call and Put Provisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.4 Numerical Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.1 PDE Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.2 Monte Carlo Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.5.1 Convergence Analysis - PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5.2gence - Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5.3 Properties of Different Call Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5.4 Moving Window and Call Notice Protection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Simulation Based Hedging and Incomplete Markets 105
5.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1 Basic Requirements for a Pricing Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.2 Hedging and Pricing of a Liquidly Traded Security . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.3 Setting for an Illiquid Market . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.3.4 Transaction Costs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.5 American Put Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Monte Carlo Implementations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.1 Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4.2 Simulation Based Hedging in a Black Scholes Market (European Options) . 126
5.4.3 Hedged Monte Carlo (Potters et. al. [96]) in a Black Scholes Market (Euro
pean Options) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.4.4 Hedging in a Black Scholes Market (American Put Option) 128
5.4.5 Remarks on the Computational Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4.6 Numerical Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6 Conclusions 143
iv7 Appendix 145
7.1 Important Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.2 Notes for the Proof of Theorem 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.3 Proof of Equation (1.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.4 Proof of Equation Set (4.4) (4.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5 Feature Extraction in Octave/MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.6 Simulation Based Hedging in Octave/MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Bibliogr