Approaches to quantum gravity [Elektronische Ressource] : Loop quantum gravity, spinfoams and Topos approach / Cecilia Flori. Gutachter: Christopher J. Isham ; Jan Plefka ; Thomas Thiemann
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Approaches To Quantum GravityLoop Quantum Gravity, Spinfoams and Topos ApproachDISSERTATIONzur Erlangung des akademischen GradesDr. Rer. Natim Fach Physikeingereicht an derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät IHumboldt-Universität zu BerlinvonMaster-Phys. Frau Cecilia Flori18.11.1980, RomaPräsident der Humboldt-Universität zu Berlin:Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph MarkschiesDekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I:Prof. Dr. Lutz-Helmut SchönGutachter:1. Prof. Dr. Christopher J. Isham2. Prof. Dr. Jan Plefka3. Prof. Dr. Thomas Thiemanneingereicht am: 07-09-2009Tag der mündlichen Prüfung: 23-07-2010AbstractOne of the main challenges in theoretical physics over the last five decades has been toreconcile quantum mechanics with general relativity into a theory of quantum gravity.However, such a theory has been proved to be hard to attain due to i) conceptual difficultiespresentinboththecomponenttheories(GeneralRelativity(GR)andQuantumTheory); ii)lack of experimental evidence, since the regimes at which quantum gravity is expected to beapplicable are far beyond the range of conceivable experiments. Despite these difficulties,various approaches for a theory of Quantum Gravity have been developed.In this thesis we focus on two such approaches: Loop Quantum Gravity and the Topostheoretic approach.

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Publié le 01 janvier 2011
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Approaches To Quantum Gravity
Loop Quantum Gravity, Spinfoams and Topos Approach
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
Dr. Rer. Nat
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Master-Phys. Frau Cecilia Flori
18.11.1980, Roma
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I:
Prof. Dr. Lutz-Helmut Schön
Gutachter:
1. Prof. Dr. Christopher J. Isham
2. Prof. Dr. Jan Plefka
3. Prof. Dr. Thomas Thiemann
eingereicht am: 07-09-2009
Tag der mündlichen Prüfung: 23-07-2010Abstract
One of the main challenges in theoretical physics over the last five decades has been to
reconcile quantum mechanics with general relativity into a theory of quantum gravity.
However, such a theory has been proved to be hard to attain due to i) conceptual difficulties
presentinboththecomponenttheories(GeneralRelativity(GR)andQuantumTheory); ii)
lack of experimental evidence, since the regimes at which quantum gravity is expected to be
applicable are far beyond the range of conceivable experiments. Despite these difficulties,
various approaches for a theory of Quantum Gravity have been developed.
In this thesis we focus on two such approaches: Loop Quantum Gravity and the Topos
theoretic approach. The choice fell on these approaches because, although they both re-
ject the Copenhagen interpretation of quantum theory, their underpinning philosophical
approach to formulating a quantum theory of gravity are radically different. In particular
LQG is a rather conservative scheme, inheriting all the formalism of both GR and Quantum
Theory, as it tries to bring to its logical extreme consequences the possibility of combining
the two. On the other hand, the Topos approach involves the idea that a radical change
of perspective is needed in order to solve the problem of quantum gravity, especially in
regard to the fundamental concepts of ‘space’ and ‘time’. Given the partial successes of
both approaches, the hope is that it might be possible to find a common ground in which
eachh can enrich the other.
This thesis is divided in two parts: in the first part we analyse LQG, paying particular
attention to the semiclassical properties of the volume operator. Such an operator plays a
pivotal role in defining the dynamics of the theory, thus testing its semiclassical limit is of
uttermost importance.
We then proceed to analyse spin foam models (SFM), which are an attempt at a covariant
or path integral formulation of canonical Loop Quantum Gravity (LQG). In particular, in
this thesis we propose a new SFM, whose path integral is defined in terms of the Holst
action rather than the Plebanski action (used in current SFM). This departure from current
SFM has enabled us to solve, explicitly, certain constraints which seem rather problematic
in the current SFM.
In the second part of this thesis we introduce Topos theory and how it has been utilised
to reformulate quantum theory in a way that a consistent quantum logic can be defined.
Moreover, we also define a Topos formulation of history quantum theory. The striking
difference of this approach and the current consistent-history approach is that, in the
former no fundamental role is played by the notion of a consistent sets (set of histories
which do not interfere with each other) while, in the latter, such notions are central. This
is an exciting departure since one of the main difficulty in the consistent-history approach is
how to choose the correct consistent set of history propositions, since there are many sets,
most of which incompatible. However, we have shown that in our Topos formulation of
history quantum theory truth values can be assigned to any history proposition, therefore
the notion of a consistent sets of propositions is unnecessary. This implies that at the level
of quantum gravity it could be possible to assign truth values to any proposition about
four-metrics (which can be considered as the GR analogue of a ‘history’).
iiZusammenfassung
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit zwei Anstzen zur Quantengravitation (QG), die
einander konträr gegenüberstehen:
- Erstens mit der Loop Quantum Gravity (LQG), einem eher konservativen Ansatz zur
QG, dessen Startpunkt eine Hamiltonsche Formulierung der klassischen Allgemeinen
Relativitätstheorie (ART) ist,
- zweitens mit der sogenannten Topos-Theorie, angewandt auf die Allgemeine Rel-
ativitätstheorie, die die mathematischen Konzepte der Quantentheorie (und mög-
licherweise auch der ART) radikal umformuliert, was eine immense Redefinition von
Konzepten wie Raum, Zeit und Raumzeit zur Folge hätte.
Der Grund fur die Wahl zweier so verschiedener Anstzen als Gegenstand dieser Arbeit liegt
inderHoffnung begründet, dass sichdiesebeidenAnsätzeaufeinengemeinsamenUrsprung
zurückführen lassen können und somit gegenseitig ergänzen können.
Im ersten Teil dieser Arbeit führen wir den allgemeinen Formalismus der LQG ein und
gehen dabei insbesondere auf den semiklassischen Sektor der Theorie ein; insbesondere
untersuchen wir die semiklassischen Eigenschaften des Volumenoperators. Dieser Operator
spieltinderQuantendynamikderLQGeinetragendeRolle, daallebekanntendynamischen
Operatoren auf den Volumenoperator zurückgeführt werden können. Aus diesem Grund ist
es auerordentlich wichtig zu überprüfen, dass der klassische Limes des Volumenoperators
wirklich mit dem klassischen Volumen übereinstimmt.
AnschlieendbeschäftigenwirunsmitsogenanntenSpinFoamModellen(SFM),welcheals
ein kovarianter oder Pfadintegralzugang zur kanonischen LQG angesehen werden können.
Diese Spin Foam Modelle beruhen auf einer Langrange-Formulierung der LQG mittels einer
kovarianten sum-over-histories Beschreibung. Die Entwicklung eines Lagrange-Zuganges
zur LQG wurde motiviert durch die Tatsache, dass es in der kanonischen Formulierung
der LQG überaus schwierig ist, Übergangsamplituden auszurechnen. Allerdings weichen
die Spin Foam Modelle, die wir in dieser Arbeit behandeln in einem entscheidenden Punkt
von den bisher in der Literatur diskutierten ab, da wir die Holst-Wirkung Holst [1996] und
nicht die Palatini-Wirkung als Ausgangspunkt nehmen. Dies ermöglicht es uns, explizit
gewisse Zwangsbedingungen zu lösen, was in den gegenwärtig diskutierten SFM problema-
tisch scheint.
Im zweiten Teil dieser Arbeit führen wir in die Topos-Theorie ein und rekapitulieren, wie
diese Theorie benutzt werden kann, um die Quantentheorie derart umzuformulieren, dass
eine konsistente Quanten-Logik definiert werden kann. Darüber hinaus definieren wir auch
eineTopos-BeschreibungderQuantentheorieindersum-over-historiesFormulierung. Unser
Ansatz entscheidet sich vom gegenwärtigen consistent-histories Ansatz vor allem dadurch,
dass das Konzept der konsistenten Menge (eine Menge von Historien, die nicht mit sich
selbst interferieren) keine zentrale Rolle spielt, während es in letzterem grundlegend ist.
Diese Tatsache bietet einen interessanten Ausgangspunkt, da eine der Hauptschwierigkeiten
im consistent-histories Ansatz darin besteht, die richtige konsistente Menge der Propositio-
nen von Historien zu finden: Im allgemeinen gibt es viele solcher Mengen, und die meisten
davon sind nicht miteinander kompatibel. Wir zeigen, dass in unserer Topos-Beschreibung
iiider sum-over-histories Quantentheorie jeder Proposition von Historien Wahrheitswerte zu-
geteilt werden können; daher ist das Konzept einer konsistenten Menge von Propositionen
redundant. Dies bedeutet, dass es im Rahmen einer Quantengravitationstheorie möglich
sein könnte, jeder Proposition von vierdimensionalen Metriken (welche als allgemein rela-
tivistisches Analogon einer Historie angesehen werden können) einen Wahrheitswert zuzu-
weisen.
ivContents
1 Introduction 1
2 Hamiltonian Formalism of General Relativity 17
2.1 ADM Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 General Constraint Hamiltonian System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 New Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Quantisation Program for Systems with Constraints 29
3.1 Outline of quantisation strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Loop Quantum Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Configuration Space and the Classical AlgebraB . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Quantum AlgebraU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.3 Representation of the AlgebraU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.4 GNS Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2.5 Solving the Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Semiclassical Analysis 73
4.1 Review of Semiclassical Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Complexifier Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.1 General Complexifier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.2 Complexifiers for Background Independent Gauge Theories . . . . . 78
4.2.3 Coheren

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