Competition between charge-density-wave and antiferromagnetic order in one-dimension [Elektronische Ressource] : phase diagram and dynamics / vorgelegt von Cornelius Mund

Cornelius Mund

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• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Deutsch
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Extrait

Competition between Charge-Density-Wave
and Antiferromagnetic Order
in One-Dimension:
Phase Diagram and Dynamics
Dissertation
zur Erlangung
des Doktorgrades der Naturwissenschaften
(Dr. rer. nat.)
dem Fachbereich Physik
der Philipps-Universit¨at Marburg
vorgelegt von
Cornelius Mund
aus Marburg an der Lahn
Marburg an der Lahn, 20092
Vom Fachbereich der Physik der Philipps-Universit¨at
als Dissertation angenommen am 2.11.2009
Erstgutachter: Prof. Dr. Reinhard Noack
Zweitgutachter: Prof. Dr. Peter Lenz
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 14.12.2009Zusammenfassung
In unserer normalen Umgebung finden wir typischerweise ausschließlich K¨or-
per,dieeinedreidimensionaleStrukturaufweisen. DieErkla¨rungvonelektro-
nischen Ph¨anomenen in solchen dreidimensionalen Strukturen war daher fu¨r
einelangeZeitderHauptfokusderFestk¨orperphysik. EingroßerDurchbruch
wurde auf diesem Gebiet im Jahre 1956 durch den russischen Physiker Lev
Davidovich Landau erzielt. Er formulierte die Theorie der Fermi-Flu¨ssigkeit.
Diese besagt, dass bei niedrigen Temperaturen und fu¨r ausreichend kleine
Anregungsenergien in einem Festk¨orper Quasiteilchen entstehen die eine di-
rekteKorrespondenzzudenElektronenineinemfreienElektronengashaben.
Sie besitzen die selbe Ladung und den selben Spin wie die freien Elektronen,
haben jedoch eine renormierte Masse und eine endliche Lebensdauer.
DiezunehmendeMiniaturisierungindermodernenIndustriehatjedochdazu
gefu¨hrt, dass man in vielen Anwendungen mit immer mehr Materialien in
Kontakt kommt, die effektiv weniger als drei Dimensionen besitzen. So
stellte man sehr bald fest, dass bei effektiv eindimensionalen Materialien
die Fermiflu¨ssigkeitstheorie g¨anzlich versagt. Dies ist in erster Linie darauf
zuru¨ckzu fu¨hren, dass dieBewegungsm¨oglichkeiten von Teilchen in einer Di-
mension massiv eingeschr¨ankt sind und daher eine Anregung eines Teilchens
zwangsl¨aufig auch eine Anregung der umgebenen Teilchen erzwingt. Dieses
sehr spezielle Verhalten wurde im Jahre 1963 von Joaquin Mazdak Lut-
tinger vorhergesagt. Er formulierte die Theorie der nach ihm benannten
Luttinger-Flu¨ssigkeit. Diese besagt, dass in einem eindimensionalen Mater-
ialeineAufspaltungderFreiheitsgradeineinladungstragendesundspinloses
Quasiteilchen, das Holon, und in ein ladungsfreies, aber Spin tragendes Qu-
asiteilchen, das Spinon, stattfindet.
Diese Aufspaltung in Spin- und Ladungsfreiheitsgrade wird deutlich bei der
Betrachtung von winkelaufgel¨osten Spektralfunktionen. Die Eigenschaften
dieser Spektralfunktion bestimmen zum Beispiel das Verhalten eines Mate-
rials unter Streuexperimenten wie der Photonen-, der Elektronen- oder der
Neutronenstreuung. Auch optische und Leitungseigenschaften eines Materi-
als sind durch seine Spektralfunktion bestimmt.
iii
DieseArbeitbesch¨aftigtsichdahermitderVorhersagevonwinkelaufgel¨osten
Spektralfunktionen in verschiedenen Phasen von eindimensionalen Modell-
systemen. Um eine solche Vorhersage zu erm¨oglichen, ben¨otigen wir eine
MethodeumModellsysteme,diedieselbenphyskalischenEigenschaftenzeigen
23wie die tats¨achlichen 10 -Teilchen-großen Festk¨orper, effizient zu berech-
nen. Zu diesem Zweck entwickelte Steven White zu Beginn der 90er Jahre
die Dichte-Matrix-Renomierungs-Gruppe. Dies ist eine numerische Meth-
ode zur Berechnung von Zust¨anden in eindimensionalen Modellsystemen.
Im Rahmen dieser Arbeit wurden neue Methoden der Quanteninformations-
theorie, n¨amlich die Quantenentropie, verwendet, um zuerst ein Phasendia-
gramm fu¨r ein bekanntes und grundlegendes quantenmechanisches Modell,
das erweiterte Hubbard-Modell, zu etablieren. Im weiteren wurde die bereits
erw¨ahnte Dichte-Matrix-Renomierungs-Gruppe um die Funktionalit¨at, die
Zeitentwicklung von quantenmechanischen Zust¨anden zu berechnen, erweit-
ert. Dies wurde dann genutzt, um winkelaufgel¨oste Spektralfunktionen in
den verschiedenen im Modell vorkommenden Phasen zu berechnen. Die so
erzeugten Daten k¨onnen in Zukunft mit Ergebnissen aus Streuexperimenten
verglichen werden und dienen so unter anderem zur Klassifizierung von Ma-
terialien in verschiedenen Modellklassen sowie zur Vorhersage von Eigen-
schaften der in die entsprechende Modellklasse geh¨orenden Materialien.Contents
1 Introduction 1
1.1 Structure of the Thesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Publications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I Theory 5
2 Models 7
2.1 Tight Binding Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Hubbard Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Common Extensions to the Hubbard Model . . . . . . . . . . 11
2.3.1 Extended Hubbard Model . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3.2 Ionic Hubbard Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.3 Peierls Hubbard Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
′2.3.4 The t-t Hubbard model . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Phenomena 15
3.1 1D Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Measured Quantities 21
4.1 Quantum Entropy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 One-site entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 Two-site entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.3 Block entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 Spectral Function & Density of States. . . . . . . . . . . . . . 25
4.2.1 Finite Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II Methods and Implementation 29
5 Evolution of the DMRG 33
iiiiv CONTENTS
5.1 Exact Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.1 Lanczos Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1.2 Davidson Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 The Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 The Numerical Renormalization Group . . . . . . . . . . . . . 38
6 DMRG 43
6.1 Truncation Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 Quantum Numbers and Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.3 DMRG Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.3.1 The Infinite System Algorithm. . . . . . . . . . . . . . 46
6.3.2 The Finite System Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 51
6.4 The Wave Function Transformation . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.5 Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7 DMRG using Tensor Networks 57
7.1 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Matrix Product States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Matrix Product Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.4 Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.5 The DMRG Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.6 Periodic Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.7 Two-Dimensional Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.7.1 Projected Entangled Pair States . . . . . . . . . . . . . 66
8 Time Evolution 69
8.1 Time Evolution Using Exact Diagonalization . . . . . . . . . . 69
8.2 Time Evolution Using Trotter Decomposition . . . . . . . . . 70
8.3 Basis Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9 Dynamics 73
9.1 Continued Fraction Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.2 Dynamical DMRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3 Time Evolution and Fourier Transformation . . . . . . . . . . 76
9.3.1 Extrapolation in Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3.2 Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.4 Implementation Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
III Results 85
10 Tests 89CONTENTS v
11 Phases in the Extended Hubbard Model 93
11.1 Computational Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
11.2 Entropy Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.3 The CDW-BOW Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
11.4 The BOW-SDW Transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
11.5 Bond-Order-Parameter Results . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
11.6 Phase Diagram and Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
12 Spectral Functions and Density of States 105
12.1 Computational Details . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
12.2 The Spin-Density-Wave Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
12.3 The Charge-Density-Wave Phase . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.4 The Transition Region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
13 Conclusion 137
13.1 Achievements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.2 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Appendices 141
A Solution of the Tight Binding Model 143
B Fourier Transformation of the Green’s Function 149
C Spectral Representation of the Green’s Function 151
D Continued Fraction Method 153
Danksagung 163
Lebenslauf 165vi CONTENTSList of Figures
′2.1 Depictionofthet-t Hubbardmodelasasystemoftwocoupled
chains. . . . . . . .