Computational modeling of biomechanical phenomena [Elektronische Ressource] : remodeling, growth and reorientation / von Grieta Himpel

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• Publié par: technische_universitat_kaiserslautern
• Publié le: 01 janvier 2008
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• Langue: Deutsch
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Extrait

Computational Modeling of
Biomechanical Phenomena
- Remodeling, Growth and Reorientation -
vom Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik
der Technischen Universitat¤ Kaiserslautern
zur Verleihung des akademischen Grades
Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)
genehmigte Dissertation
von
Dipl. Ing. Grieta Himpel
aus Aachen
Hauptreferent: Prof. Dr. Ing. P. Steinmann
Korreferenten: Prof. Dr. Ing. E. Kuhl
Prof. Dr. Ing. J. Schroder¤
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. M. Maier
Dekan: Prof. Dr.-Ing. J. C. Aurich
Tag der Einreichung: 19.September 2007
Tag der mundl.¤ Prufung:¤ 12.Dezember 2007
Kaiserslautern, Januar 2008
D 386Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand wahr¤ end meiner Tatigkeit¤ als wissenschaftliche Mit-
arbeiterin am Lehrstuhl fur¤ Technische Mechanik (LTM) der Technischen Universitat¤
Kaiserslautern.
Ich bedanke mich ganz herzlich bei Herrn Professor Paul Steinmann dafur¤ , da er mir
die Realisierung dieser Arbeit ermoglicht¤ hat. Seine konsequente wissenschaftliche
For¤ derung und Motivation sowie die eingeraumten¤ Freiraume¤ fuhrten¤ zu einer kon-
struktiven und angenehmen Arbeitsatmosphar¤ e.
Besonders bedanken mochte¤ ich mich auch bei Frau Professor Ellen Kuhl und Herrn
Professor Andreas Menzel fur¤ die intensive wissenschaftliche Betreuung, die wesentlich
zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen hat, und ihr gro es Interesse auch uber¤ ihre
Zeit am LTM hinaus. Ich bedanke mich bei Herrn Professor Paul Steinmann fur¤ die
¤Ubernahme des Hauptreferats und bei Frau Professor Ellen Kuhl und Herrn Professor
¤Jor¤ g Schroder¤ fur¤ die Ubernahme des Korreferats und fur¤ die zugige¤ Begutachtung der
Arbeit.
Meine Grundlagenausbildung auf den Gebieten der Mechanik und numerischen Me-
thoden verdanke ich Herrn Professor Miehe, der damit mein Interesse an diesen The-
mengebieten geweckt hat. Mein besonderer Dank gilt auch Nikolas Apel, der mich fur¤
die Kontinuumsmechanik begeistert und mir den Ansto fur¤ diese Promotion gegeben
hat.
Ich bedanke mich bei allen Kollegen am LTM fur¤ das angenehme und freundliche Ar-
beitsklima und die Hilfsbereitschaft. Ganz besonders bedanke ich mich bei Frau Je-
blick, Herrn Barth und Natalia Kontratieva fur¤ ihre Unterstutzung¤ bei allen Aufgaben
des universitar¤ en Lebens. Ein besonderer Dank fur¤ anregende Diskussionen geht an
Julia Mergheim, Gunnar Possart und Ralf Denzer. Fur¤ ihre Hilfe bei rechnertech-
nischen Fragestellungen bedanke ich mich bei Ralf Denzer, Gunnar Possart und Patrick
Schmitt.
Au erdem bedanke ich mich bei Mark Harris fur¤ das Korrekturlesen der Arbeit.
Vor allem jedoch danke ich meinen Eltern, die mir durch meine gute Ausbildung diese
Promotion ermoglicht¤ haben, und Ingo fur¤ seine Unterstutzung¤ und Geduld sowie den
starken Ruckhalt¤ den er mir wahr¤ end meiner Arbeit am Lehrstuhl gegeben hat.
Kaiserslautern, Januar 2008 Grieta Himpel
iZusammenfassung
Ziel der vorliegenden Arbeit ist die numerische Implementierung biologisch relevan-
ter Phanomene.¤ Wie anhand zahlreicher Beispiele gezeigt werden kann, pa t sich
(lebendes) biologisches Gewebe in der Regel seiner Belastung an. Eine Art der An-
passung ist beispielsweise die Optimierung der Masse. Die Masse eines Korpers¤ wird
sowohl durch die Dichte als auch durch das Volumen des betreffenden Materials be-
stimmt. Deshalb wird in dieser Arbeit unterschieden zwischen Umbau (remodeling)
im Sinne reiner Dichteander¤ ung bei konstantem Volumen und Wachstum (growth) im
Sinne reiner Volumenander¤ ung bei konstanter Dichte.
Wie bereits im 19. Jahrhundert von VON MEYER [139], CULMANN [25], ROUX [117]
und WOLFF [142] untersucht wurde, hangt¤ beispielsweise die Knochendichte von der
mechanischen Belastung ab. Dabei fuhr¤ en gro er¤ e Spannungen zu einer Erhohung¤
der Dichte, wahr¤ end Unterbelastung, zum Beispiel infolge langer Bettlagerigkeit¤ oder
Schwerelosigkeit im Weltall, zu einer Abnahme der Knochendichte fuhr¤ en kann. Wah-¤
rend Umbauvorgange¤ im gesunden Korper¤ zu einer Optimierung der Masse fuhr¤ en,
sind sie bei Implantateinsatzen¤ hau g¤ von Nachteil. Da das Implantat in der Regel eine
hoher¤ e Stei gkeit als der zu ersetzende Knochen besitzt, ubernimmt¤ es einen gro er¤ en
Anteil an der Lastabtragung, als der im naturlichen¤ Zustand. Infolgedessen
bildet sich der Knochen, der das Implantat umgibt, zuruck,¤ was zu einer Lockerung
der Prothese fuhrt.¤ Derartige Umbauvorgange¤ werden in der Mechanik ublicherweise¤
auf konstitutiver Ebene formuliert, beispielsweise durch Wichtung der freien Energie-
funktion mit der Dichte, wie von HARRIGAN & HAMILTON [46] vorgeschlagen und
von CARTER & HAYES [16] experimentell unterlegt wurde. Mogliche¤ anisotrope Ma-
terialeigenschaften werden analog zu reiner Elastizitat¤ uber¤ die freie Energie realisiert.
Wenngleich dieser Ansatz auch fur¤ gro e Verzerrungen geeignet ist, wird er aufgrund
biologischer Motive meist eher fur¤ harte Gewebe wie beispielsweise Knochen verwen-
det, welche kleinen Verzerrungen ausgesetzt sind.
In weichen Geweben, wie Muskeln, Sehnen, Bandern¤ oder Knorpelgeweben fuhrt¤
eine steigende mechanische Belastung in der Regel zu einer Volumenzunahme, also
Wachstum. Ein offensichtliches Beispiel hierfur¤ sind Muskeln, welche infolge starker¤ er
Belastung wachsen, sich bei geringerem Training jedoch zuruckbilden.¤ Wahr¤ end dies
beim sportlichen Muskelaufbau gewunscht¤ ist, kann Wachstum jedoch auch zu einer
krankhaften Hypertrophie des Herzens oder zu Verdickungen der Arterienwande¤
nach einer Stent-Implantation fuhr¤ en. Kontinuumsmechanisch la t¤ sich ein derar-
tiges Wachstum auf kinematischer Ebene einfuhr¤ en. Basierend auf den Ideen von
iiiSKALAK U.A. [124] und RODRIGUEZ, HOGER & MCCULLOCH [116] wird die totale
Deformation hierfur¤ multiplikativ in zwei Anteile zerlegt: einen reinen Wachstums-
anteil und einen rein elastischen Anteil. Eine analoge Zerlegung wurde erstmals von
LEE [90] eingefuhrt,¤ um nite Deformationen im Rahmen der Elastoplastizitat¤ zu be-
schreiben. Die Beschreibung des Wachstums erfolgt damit uber¤ einen zweistu gen
Wachstums-Deformationstensor. Um anisotropes Wachstum zu implementieren, mu
dieser entsprechend de niert werden. Anisotropie wird in biologischen Geweben
hau g¤ durch Faserverstarkung¤ hervorgerufen, charakterisiert durch eine oder meh-
rere Faserrichtungen. Im Rahmen dieser Arbeit beschranken¤ wir uns auf Materialien
mit einer ausgezeichneten Faserrichtung, also transversal isotrope Materialien. Der
transversal isotrope Wachstums-Deformationstensor wird im wesentlichen durch zwei
Kennzahlen beschrieben. Diese werden als Verzerrungsgrade parallel und orthogonal
zur Faserrichtung bezeichnet.
Eine weitere Art der Anpassung anisotroper Gewebe an au er¤ e Belastungen kann
durch Umorientierung (reorientation) der inneren Ausrichtung erfolgen. Dies kann
beispielsweise im menschlichen Femurkopf beobachtet werden, in dem die Knochen-
balkchen¤ derart orientiert sind, da sie der taglich¤ auftretenden Belastung mit einem
Optimum an Masse standhalten. Auch in weichem Gewebe wie der Arterienwand
oder Muskelgewebe richten sich die Kollagen- oder Muskelfasern entlang der Belas-
¤tungsrichtungen aus. Andert sich die Belastung, zum Beispiel infolge einer Stent-
Implantation, so pa t sich das Material durch Umorientierung der Fasern den gean-¤
derten Randbedingungen an. Fur¤ transversal isotrope Materialien kann dieser Prozess
durch eine Rotation der ausgezeichneten Richtung beschrieben werden. Wie von
MENZEL [99] vorgeschlagen, schlie en wir dabei Verdrillung aus. Wodurch die Umori-
entierung gesteuert wird, ist bis heute nicht eindeutig erforscht. Aus mathemati-
scher Sicht la t¤ sich eine Umorientierung entlang Hauptverzerrungen motivieren. Wie
VIANELLO [136] gezeigt hat, erreicht die freie Energie einen stationar¤ en Zustand, wenn
die Spannungen und Verzerrungen koaxial sind. Fur¤ transversale Isotropie ist dies
der Fall, wenn die Faserrichtung parallel zu einer der Hauptverzerrungsrichtungen
zeigt. Aus biologischer Sicht jedoch la t¤ sich, abhanging¤ vom Material, sowohl eine
verzerrungs- als auch eine spannungsgetriebene Umorientierung motivieren, weshalb
in der vorliegenden Arbeit diese beiden Falle¤ betrachtet werden.
Die drei Aspekte Umbau, Wachstum und Umorientierung werden zunachst¤ in einer
umfassenden kontinuumsmechanischen Materialformulierung zusammengefa t. Dies
umschlie t die Beschreibung der Kinematik, der Bilanzgleichungen und des Material-
gesetzes. Wie bereits erwahnt,¤ erfolgt dabei die Modellierung von Wachstum auf kine-
matischer Ebene durch eine Zerlegung der totalen Deformation in einen wachstums-
beschreibenden und einen elastischen Anteil. Dies beinhaltet die Einfuhr¤ ung einer
im allgemeinen inkompatiblen Zwischenkon guration. Die materielle Kon guration
wird durch den Wachstums-Deformationstensor auf die Zwischenkon guration abge-
bildet. Die Abbildung der Zwische