Conductance of single electron devices from imaginary-time path integrals [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Christoph Theis

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• Physik

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• Publié par: albert-ludwigs-universitat_freiburg
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 8
• Langue: English
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

Conductance of Single Electron Devices
from Imaginary–Time Path Integrals
Dissertation
zur Erlangung des Doktorgrades der
Fakult¨at fu¨r Mathematik und Physik
der
Albert–Ludwigs–Universit¨at,
Freiburg im Breisgau
vorgelegt von
Christoph Theis
aus Bernkastel-Kues
Freiburg, April 2004Dekan : Prof. Dr. R. Schneider
Leiter der Arbeit : Prof. Dr. H. Grabert
Referent : Prof. Dr. H. Grabert
Koreferent :
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 26. Mai 2004Contents
1 Introduction and Overview 1
2 Concepts of Transport in Nanoscopic Structures 5
2.1 Resonant Tunneling through Discrete Levels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Coulomb Blockade of Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Kondo Effect in Quantum Dots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
I Transport Properties from Imaginary-Time Path Integrals 15
3 Path Integrals for Fermions 17
3.1 Introduction: The Feynman Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Second Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Grassmann Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 Motivation and Definition of the Grassmann Algebra . . . . . . . . . . . . 21
3.3.2 Calculus for Grassmann Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3.3 Important Integration Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Fermion Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.1 Definition of Fermion Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4.2 Properties of Fermion Coherent States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.5 Coherent State Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Example: Non–Interacting Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6.1 The Partition Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6.2 The Thermal Green’s Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Path Integral Monte Carlo 33
4.1 Basics of Monte Carlo Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 Importance Sampling and Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2.1 Reduction of Statistical Errors by Importance Sampling . . . . . . . . . . 34
4.2.2 Markov Processes and the Metropolis Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Statistical Analysis of Monte Carlo Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.1 Estimates for Uncorrelated Measurements . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3.2 Correlated Measurements and Autocorrelation Time . . . . . . . . . . . . 38
4.3.3 Binning Analysis of the Monte Carlo Error . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4 Systematic Errors and Trotter Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.4.1 Approximations for the Short–Time Propagator. . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.2 Trotter Error of Expectation Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.4.3 Trotter Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iii CONTENTS
4.5 Non-Positive Actions and the Sign Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Correlation Functions and Inverse Problems 45
5.1 Time Correlation Functions and Linear Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Real–Time Correlation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.2 Linear Response Theory and Fluctuation–Dissipation Theorem . . . . . . 46
5.1.3 The Kubo Formula for the Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1.4 Imaginary–Time Correlation Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Linear Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.1 Definition and Examples of Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.2 Ill–Posedness and Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 The Singular Value Decomposition (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.1 Formal Solution for Linear Inverse Problems . . . . . . . . . . . . . . . . 54
5.3.2 Regularization of the Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3.3 Additional Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.4 The Maximum Entropy Method (MEM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.1 Bayesian Inference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.4.2 The Maximum Entropy Functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4.3 Determination of the Regularization Parameters . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Test of the SVD Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.1 An Exactly Solvable Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.5.2 Application of the SVD Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.5.3 Comparison of SVD and MEM Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
II Applications 85
6 The Metallic Single Electron Transistor 87
6.1 Single Electron Tunneling through a Metallic Island . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.1 Experimental Realizations and Model Parameters . . . . . . . . . . . . . 87
6.1.2 Charging Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Path Integral Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.1 Path Integral Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.2.2 The Coulomb Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2.3 Coherent State Path Integral and Source Terms . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.3 Effective Action of the Single Electron Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.1 Exact Integration of Quasi-Particle Baths . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.3.2 The Tunnel Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.3.3 The Current Autocorrelation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4 Monte Carlo Calculation of the Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.1 Discretization of the Path Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.4.2 Details of the Monte Carlo Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.4.3 Results for the Cosine Correlation Function . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.5 Results for the Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.5.1 Inverse Problem for the Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.5.2 Coulomb Oscillations of the Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5.3 Temperature Dependence of the Conductance . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.5.4 Dependence on the Tunneling Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111CONTENTS iii
7 Semiconductor Quantum Dots 113
7.1 Band Diagram of Semiconductor Heterostructures . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.1 Band Structure of GaAs and AlGaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.2 Band Profile of a Heterostructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.2 Electrostatics of Gated Quantum Dots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.2.1 The Constant Interaction Model and its Limitations . . . . . . . . . . . . 119
7.2.2 Electrostatic Energy and Work of the Power Sources . . . . . . . . . . . . 120
7.2.3 Green’s Function for a Vertical Quantum Dot . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.3 Theoretical Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.1 Model Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.3.2 Action and Source Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.3.3 Decoupling of the Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.4 Effective Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4.1 Integration over the Lead Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.4.2 Integration over the Quantum Dot Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5 Discussion of the Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5.1 General Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.5.2 Outlook: Stationary Phase Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8 Summary and Conclusions 133
III Appendices 137
A Properties of Correlation Functions 139
B Linear System of de Villiers’ SVD Method 141
C The Damped Harmonic Oscillator 143
C.1 Influence Functional for a Linearly Coupled Harmonic Bath . . . . . . . . . . . . 143
C.2 Classical Dynamical Friction Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C.3 Correlation Function for the Tagged Oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
D Representation of Operators 147
D.1 The Charge Shift Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
D.2 The Current Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
E Electrostatics of Quantum Dots 151
E.1 Formal Solution of the Dirichlet Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
E.2 Green’s Function for a Cylindrical Dot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Bibliography 156