Conserving time integrators for nonlinear elastodynamics [Elektronische Ressource] / von Michael Groß

Sujets

• Mathematics
• Physik

Informations

• Publié par: technische_universitat_kaiserslautern
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

Conserving Time Integrators
for Nonlinear Elastodynamics
vom Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik
der Technischen Universit at Kaiserslautern
zur Verleihung des akademischen Grades
Doktor-Ingenieur (Dr.-Ing.)
genehmigte Dissertation
von Dipl.-Ing. Michael Gro
Hauptreferent: Prof. Dr.-Ing. Paul Steinmann
Korreferenten: Prof. Dr.-Ing. Peter Betsch
Prof. Dr.-Ing. Karl Schweizerhof
Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. Bernd Sauer
Dekan: Prof. Dr.-Ing. Paul Steinmann
Tag der Einreichung: 21. Oktober 2003
Tag der mundl. Prufung: 10. M arz 2004
Kaiserslautern, M arz 2004
D 386iiVorwort
...Der Wert davon, dass man zeitweilig eine strenge
Wissenschaft streng betrieben hat, beruht nicht ger-
ade in deren Ergebnissen: denn diese werden, im
Verh altnis zum Meere des Wissenswerten, ein ver-
schwindend kleiner Tropfen sein. Aber es ergibt einen
Zuwachs an Energie, an Schlu v erm ogen, an Z ahigkeit
der Ausdauer; man hat gelernt, einen Zweck zweckm a ig
zu erreichen. Insofern ist es sehr sch atzbar, in Hin-
sicht auf Alles, was man sp ater treibt, einmal ein wis-
senschaftlicher Mensch gewesen zu sein...
Friedrich Nietzsche.
Die vorliegende Arbeit entstand w ahrend meiner T atigkeit als wissenschaftlicher Mitar-
beiter am Lehrstuhl fur Technische Mechanik (LTM) an der Technischen Universit at
Kaiserslautern w ahrend der Bearbeitung des von der Deutschen Forschungsgemeinschaft
(DFG) nanzierten Forschungsprojektes STE 544/13-1 mit dem Titel ‘Galerkin basierte
Zeitintegratoren fur die nichtlineare Elastodynamik’. Die nanzielle Unterstutzung seit-
ens der DFG erm oglichte erst diese Arbeit.
Vor allem m ochte ich meinen akademischen Lehrern Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann und
Prof. Dr.-Ing. P. Betsch fur die Anregung zu dieser Arbeit, ihre intensive und konsequente
wissenschaftliche F orderung sowie die Ubernahme des Hauptreferates beziehungsweise
eines Korreferates danken. Herrn Prof. Dr.-Ing. P. Steinmann verdanke ich meine Aus-
bildung auf den Feldern der Kontinuumsmechanik, und Prof. Dr.-Ing. P. Betsch bildete
mich im Bereich numerische Mechanik aus. Herrn Prof. Dr.-Ing. K. Schweizerhof danke
ich fur die Ubernahme eines weiteren Korreferats und fur sein sehr gro es Interesse an
dieser Arbeit.
iiiiv Vorwort
Allen Mitarbeitern des LTM danke ich fur die angenehme und freundliche Arbeit-
satmosph are und fur die freundliche Zusammenarbeit. Besonders m ochte ich Frau C.E.
Jeblick und Herrn Dr.-Ing. F.J. Barth fur ihre Unterstutzung bei allen Problemen des
universit aren Lebens danken. Nicht vergessen m ochte ich Dipl.-Ing. R. Denzer, Dipl.-Ing.
J. Glaser und Dipl.-Math. techn. S. Leyendecker fur zahlreiche Anmerkungen zu dieser
Arbeit.
Meinen Eltern und Schwiegereltern, insbesondere meiner Frau Marion danke ich fur
ihren starken Ruc khalt und ihre gro artige Unterstutzung.
Kaiserslautern, M arz 2004 Michael Gro Zusammenfassung
...Waren die numerischen Verfahren schon immer von
Nutzen, so liegt es auf der Hand, dass nunmehr ihre
Rolle in der wissenschaftlichen Forschung eine funda-
mentale Bedeutung erlangt hat. Kein Mathematiker,
der sich der modernen angewandten be-
dient, kein Physiker und kein Ingenieur kann heute
entsprechend ausgebildet werden, ohne dass ihm ein
gewisses Verst andniss fur numerische Verfahren vermit-
telt wird...
[83], Vorwort.
Diese Arbeit beinhaltet einen Beitrag zur rechnergestutzten numerischen nichtlinearen
Elastodynamik. Es wird eine einheitliche Umgebung zur Entwicklung numerischer Meth-
oden fur die Zeitintegration beschrieben. Die betrachteten Methoden vererben Erhaltung-
seigenschaften des zugrundeliegenden mechanischen Systems an das resultierende Zeit-
schrittverfahren. Diese Zeitschrittverfahren werden als mechanische Integratoren bezeich-
net. Im Rahmen der nichtlinearen Elastodynamik werden ausschlie lic h die Gesamten-
ergieerhaltung sowie die Erhaltung von Impulsabbildungen betrachtet. Als konkrete Prob-
lemstellungen werden Massenpunktsysteme und die semi-diskrete nichtlineare Elastody-
namik behandelt.
Mechanische Integratoren zeichnen sich in der Praxis durch exzellente numerische Sta-
bilit at auch bei Langzeitberechnungen von steifen Systemen aus. Ihre dabei erreichte
Genauigkeit entspricht der eines Standard-Integrators. Aus diesem Grund sind mechanis-
che Integratoren fur eine Zeitintegration sehr attraktiv. Jedoch sind die meisten energie-
und drehimpulserhaltenden Integratoren zumeist nur von zweiter Ordnung genau. Ist
man an einem kleinen N aherungsfehler interessiert, so muss eine kleine Zeitschrittweite
vvi Zusammenfassung
verwendet werden. Dies ist besonders bei Langzeitberechnungen nicht vorteilhaft. Im
Gegensatz dazu k onnen die Zeitschrittweiten bei der Verwendung von Integratoren h oherer
Genauigkeitsordnung erh oht werden. Als einheitliche Umgebung zur Entwicklung von In-
tegratoren h oherer Genauigkeitsordnung hat sich die kontinuierliche Galerkin-Methode
erwiesen. Insbesondere ist diese Methode gut geeignet um mechanische Integratoren zu
entwickeln. Der Grund ist, dass Erhaltungseigenschaften des zugrundeliegenden Systems
an die resultierenden Zeitschrittverfahren vererbt werden.
Das Ziel dieser Arbeit ist eine einheitliche Entwicklungsumgebung fur energie- und
drehimpulserhaltende Integratoren h oherer Genauigkeitsordnung fur die nichtlineare Elas-
todynamik. Dies fuhrt zu dem Problem wie man die vererbten Erhaltungseigenschaften
beh alt, wenn Zeitintegrale im Zeitschrittverfahren durch eine Quadraturregel approx-
imiert werden. Die Erhaltungseigenschaften der entwickelten mechanischen Integratoren
werden in einem verallgemeinerten Problem bewiesen. Die Resultate k onnen dann direkt
auf Massenpunktsysteme und auf die semi-diskrete nichtlineare Elastodynamik angewand
werden, da beide Problemklassen dem de nierten verallgemeinerten Problem unterge-
ordnet sind. Der Unterschied zwischen Massenpunktsystemen und der semi-diskreten
nichtlinearen Elastodynamik liegt in der unterschiedlichen Art der inneren Kr afte. Die
inneren Kr afte der Massenpunktsysteme h angen von einem skalarwertigen Vektorfeld ab,
den Massenpunktabst anden, w ahrend in der semi-diskreten nichtlinearen Elastodynamik
die inneren Kr afte aus einem tensoriellen Spannungsfeld resultieren.
Die dargestellte Entwicklungsumgebung basiert auf der kontinuierlichen Galerkin-
Methode in der Zeit. Diese Methode erzeugt eine Familie von k-stu gen Einschrittver-
fahren. In den Gleichungen dieser Verfahren be nden sich Zeitintegrale. Werden die
Zeitintegrale durch eine Quadraturregel angen ahert, so zeigt sich dass die Vererbung der
Erhaltungseigenschaften auf einer Kollokation ink Quadraturpunkten basiert. Da die be-
trachteten Impulsabbildungen maximal quadratische Invarianten sind, muss die k-Punkt
Gau regel mit der Genauigkeitsordnung 2k verwendet werden. Wir nennen diese Fami-
lie von Zeitschrittverfahren verbunden mit einer k-Punkt Gau regel die cG(k)-Methode.
Es werden konservative Systeme mit einer im allgemeinen nichtlinearen potentiellen En-
ergie betrachtet. Im Falle einer approximierten Integration wird deshalb Energieerhal-Zusammenfassung vii
tung ub er eine neue Projektionsmethode erreicht. Diese Projektionsmethode muss die
unterschiedliche Art der inneren Kr afte bei den Massenpunktsystemen und bei der semi-
diskreten Elastodynamik beruc ksichtigen. Der Unterschied wird verursacht durch die
unterschiedlichen Verzerrungsma e. Aus diesem Grund ist die Projektionsmethode un-
abh angig von der Form des verwendeten Verzerrungsma es gehalten. Die erw ahnten Mod-
i k ationen der cG(k)-Methode fuhren letztendlich auf eine erweiterte cG(k)-Methode.viii ZusammenfassungAbstract
...The book is motivated by the rapidly increasing de-
pendence on numerical methods in mathematical mod-
elling driven by the development of powerful computers
accessible to everyone...
[44], Preface.
In computational dynamics, energy and momentum conserving time integrators are well
established for also integrating sti mechanical problems for long time periods. However,
previously developed energy and momentum conserving integrators are mostly second
order accurate. So the error can be only bounded by a very small time step size, which is
not worthwhile in respect of long run-times. Higher order integrators however allow for
larger time steps, which leads to shorter runs.
The present work is therefore concerned with a uni ed development of higher order
energy and momentum conserving time integrators for nonlinear elastodynamics. The
work in particular considers many-particle dynamics and semi-discrete elastodynamics.
The developed uni ed framework is based on the continuous Galerkin (cG) method in
time. In the last years, the cG method turned out to be especially well suited for design-
ing energy and momentum conserving time integrators due to its inherent conservation
properties.
This work shows that energy conservation can be achieved for all accuracy orders by
applying a new projection technique. Total linear and angular momentum is obtained by
collocation at Gaussian quadrature points. Numerical examples for the speci c problems
are presented for illustrating the well performance of the designed higher order conserving
time integrators. They exhibit excellent numerical stability in the presence of sti ness
without a compromise in accuracy relative to