Cours de Physique Statistique

Sujets

• Politique énergétique de l'Union européenne
• Probatius (évêque d?Uzès)
• Fonction digamma
• Valeur d'exposition
• Gaz parfait
• Particules indiscernables

Informations

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Extrait

Cours de Physique Statistique Éric Brunet, Claire Lhuillier et Redha Mazighi 10 décembre 2008Table des matières 1 Notions de combinatoire et de probabilités 7 1.1 La combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 La multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 La factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Les arrangements et les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Le raisonnement combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Probabilités discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Variables aléatoires et moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Variance et écart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Probabilités continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.5 La distribution gaussienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.6 Le théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3 Réponses aux questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Rappels de thermodynamique de Licence 19 2.1 Introduction : considérations expérimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 L’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 L’entropie et le deuxième principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Différentielles et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.5 Autres fonctions d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Exemple du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Introduction, rappels de théorie cinétique 25 3.1 Un verre d’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Mise en perspective historique du développement de la thermodynamique et de la physique statistique et de ses applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Du microscopique au macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.4 Définition élémentaire de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 La pression d’un fluide sur une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6 Une réflexion sur les ordres de grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6.1 L’exemple de l’atmosphère isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.6.2 Quelques recommandations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 24 Ensemble Microcanonique 33 4.1 Un exemple : une assemblée de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Les hypothèses microcanoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Retour à l’assemblée de spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Le gaz parfait monoatomique dans la description microcanonique . . . . . . . . . 42 4.4.1 Calcul classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4.2 quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.5 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5 Retour sur le deuxième principe de la thermodynamique 51 5.1 Premières considérations statistiques sur le deuxième principe de la thermodyna- mique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Loi de distribution d’une variable interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.1 Un premier exemple très simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.2 Théorie générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.2.3 Caractérisation thermodynamique de l’état le plus probable . . . . . . . . 57 5.2.4 Fluctuations autour de l’état le plus probable . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3 Évolution d’un système au voisinage de l’état d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . 59 5.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6 Équilibre de phases et transitions de phases; le potentiel chimique 61 6.1 Diagramme des phases d’un corps pur : observations . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.2 Discontinuitédespropriétésphysiquesàunetransitiondephasedupremierordre; chaleur latente de transition de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.3 Condition d’équilibre d’un corps pur sous différentes phases . . . . . . . . . . . . 67 6.3.1 Équation des courbes de coexistence du diagramme de phases et relation de Clapeyron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.3.2 Réflexion sur la variance d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.4 Analyse du diagramme des phases. Critères de la stabilité thermodynamique et inégalités entre les potentiels chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 6.5 Compréhension microscopique qualitative de la forme du diagramme des phases . 71 6.6 Mélanges d’espèces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 7 Ensemble canonique 73 7.1 Loi de probabilité dans l’ensemble canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.2 Propriétés thermodynamiques dans l’ensemble canonique. . . . . . . . . . . . . . 75 7.2.1 L’énergie interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 7.2.2 libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2.3 L’entropie, la pression, le potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.3 Factorisation de Z pour des particules sans interaction . . . . . . . . . . . . . . . 79 7.4 Premier exemple : l’assemblée de N spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.5 Deuxième exemple : les oscillateurs harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 7.6 Généralisation de la factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 37.7 Théorème d’équipartition de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 7.8 Système gelés (ou, à la Arrhénius, thermiquement activé) . . . . . . . . . . . . . 87 7.9 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 8 Thermodynamique des gaz atomiques et moléculaires 89 8.1 Calcul de la fonction de partition associée à la translation . . . . . . . . . . . . . 89 8.1.1 Introduction de la densité d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 8.1.2 Longueur d’onde thermique de de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 8.2 Propriétés thermodynamiques du gaz parfait monoatomique . . . . . . . . . . . . 93 8.3 Thermodynamique des gaz parfaits polyatomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 8.3.1 Contribution des termes de vibration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 8.3.2 Contribution des termes de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 8.3.3 Allure générale du résultat final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.4 Conclusion du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 9 Gaz de photons, rayonnement du corps noir 101 9.1 Énergie contenue dans un four . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 9.2 Le rayonnement du corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 9.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10 Vibrations du réseau cristallin des solides, phonons 109 10.1 Le modèle classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 10.2 Modèle d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 10.3 Modèle de Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.1 Décomposition en modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.3.2 Trois approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 10.3.3 Résultat final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 11 Ensemble grand-canonique, statistiques quantiques 121 11.1 Loi de probabilité grand-canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11.2 Factorisation de la grande fonction de partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11.3 Statistiques quantiques des gaz parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.4 Limite classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 11.5 Équation d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 12 Le gaz parfait de fermions 129 12.1 Le taux d’occupation d’un état quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 12.2 Le gaz parfait de fermions à température nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 12.3 Corrections à T non nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 413 Le gaz parfait de bosons massifs 135 13.1 Signe du potentiel chimique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.2 Physique du gaz de bosons en dessous de la transition de Bose-Einstein . . . . . 137 13.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5Ces notes de cours ont été rédigées au fil des années par Claire Lhuillier jusqu’en 2007, puis ont été reprises par Éric Brunet. Si vous souhaitez compléter vos connaissances, la bibliographie sur la ther