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Définition et synonyme de : FORMALISME

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Article publié par Encyclopaedia Universalis FORMALISME En un premier sens, le formalisme en mathématiques est la doctrine selon laquelle ces dernières se réduisent à un jeu de symboles dénués de sens, dont les règles sont arbitrairement fixées comme celles du jeu d'échecs. En un second sens, le seul qui sera retenu ici, il s'agit de toute doctrine selon laquelle les mathématiques consistent, au moins en grande partie, en un jeu de symboles dénués de sens, mais que ses règles permettent de mettre au service d'une connaissance authentique. En particulier, et de façon éminente, le formalisme est la doctrine défendue par David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920 et qui constituait la philosophie du fameux « programme de Hilbert ». LLee pprrooggrraammmmee ddee HHiillbbeerrtt eett ssoonn éécchheecc On présente ordinairement le programme de Hilbert comme relatif au problème de la cohérence des mathématiques. Celle-ci s'était trouvée menacée par certains paradoxes, dont le plus simple et le plus troublant était le paradoxe découvert par Bertrand Russell (1872-1970) en 1901, relatif aux classes (ou ensembles). En 1908, Ernst Zermelo (1871-1953) avait axiomatisé la notion d'ensemble de façon suffisamment prudente pour que les arguments conduisant à ces paradoxes ne pussent y être reproduits, mais suffisamment risquée pour que la possibilité de reconstruire les mathématiques classiques dans le cadre de la nouvelle théorie des ensembles ne fût pas compromise.
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FORMALISME

En un premier sens, le formalisme en mathématiques est la doctrine selon laquelle ces dernières se réduisent à un jeu de symboles dénués de sens, dont les règles sont arbitrairement fixées comme celles du jeu d'échecs. En un second sens, le seul qui sera retenu ici, il s'agit de toute doctrine selon laquelle les mathématiques consistent, au moins en grande partie, en un jeu de symboles dénués de sens, mais que ses règles permettent de mettre au service d'une connaissance authentique. En particulier, et de façon éminente, le formalisme est la doctrine défendue par David Hilbert (1862-1943) dans les années 1920 et qui constituait la philosophie du fameux « programme de Hilbert ».

Le programme de Hilbert et son échec

On présente ordinairement le programme de Hilbert comme relatif au problème de la cohérence des mathématiques. Celle-ci s'était trouvée menacée par certains paradoxes, dont le plus simple et le plus troublant était le paradoxe découvert par Bertrand Russell (1872-1970) en 1901, relatif aux classes (ou ensembles). En 1908, Ernst Zermelo (1871-1953) avait axiomatisé la notion d'ensemble de façon suffisamment prudente pour que les arguments conduisant à ces paradoxes ne pussent y être reproduits, mais suffisamment risquée pour que la possibilité de reconstruire les mathématiques classiques dans le cadre de la nouvelle théorie des ensembles ne fût pas compromise. Pour autant, la nouvelle théorie pouvait recéler quelque autre paradoxe passé inaperçu. Hilbert imagina de mettre les mathématiques définitivement à l'abri de la contradiction en deux temps : premièrement, en les représentant sous la forme d'un système formel, dont l'usage des signes fût gouverné par des règles telles que le caractère bien formé d'une expression ou d'une démonstration fût vérifiable de façon purement mécanique ; deuxièmement, en démontrant la cohérence de ce système formel par les moyens d'une discipline « métamathématique » dont la validité fût indubitable, la métamathématique « finitaire ». Hilbert ne dit jamais précisément ce qu'il fallait entendre par là, mais on admet généralement qu'il s'agissait d'une certaine partie de l'arithmétique élémentaire appelée « arithmétique récursive primitive » (ARP).

Hilbert ne parvint pas à ses fins, et ne pouvait y parvenir. En 1931, en effet, Kurt Gödel (1906-1978) démontra deux grands théorèmes, dont le second était qu'aucun système formel contenant l'ARP ne peut démontrer sa propre cohérence (exprimée de façon arithmétiquement codée), à moins que ce système ne soit incohérent. Il résultait de ce théorème que le programme de Hilbert était irréalisable.

L'échec de Hilbert est assez clair ; ce qui ne l'est pas, à ce point de l'exposé, c'est le prix qu'il avait pu attacher à son éventuelle réussite. Car la science en général ne cherche pas seulement la cohérence, elle cherche la vérité. Qu'en était-il, pour Hilbert, de la vérité des mathématiques ? Hilbert s'en expliqua clairement dans son article « Sur l'infini » (1926). Il pensait que seuls les énoncés finitaires étaient « réels », doués de contenu et ainsi susceptibles d'être vrais, tandis que les énoncés infinitaires n'étaient que des énoncés « idéaux », de faux énoncés, qui, à proprement parler, ne voulaient rien dire. Il pensait que les mathématiques infinitaires n'étaient qu'un instrument permettant d'obtenir des résultats finitaires qu'on aurait pu aussi bien, quoique plus difficilement, obtenir sans elles. Ou, pour le dire dans le vocabulaire d'aujourd'hui, il pensait que la totalité des mathématiques, finitaires ou infinitaires, était une « extension conservative » des mathématiques finitaires. Et il espérait pouvoir en fournir la preuve – une preuve réelle, finitaire, évidemment. Tel était donc aussi le programme de Hilbert, dans sa version apparemment la plus ambitieuse, touchant non plus à la cohérence des mathématiques, mais à leur conservativité par rapport à leur base finitaire.

Là encore, Hilbert devait échouer. Il voulait prouver que la démonstration mathématique d'un énoncé finitaire pouvait toujours être purifiée de ses éléments infinitaires. Mais le premier théorème de Gödel de 1931 (ou, plus exactement la version améliorée qu'en donna J. Barkley Rosser en 1936) allait montrer que tout système formel contenant l'ARP contient un énoncé finitaire mathématiquement démontrable, mais indémontrable dans ce système (a fortiori indémontrable dans l'ARP, c'est-à-dire de façon finitaire), à moins que le système en question ne soit incohérent.

Il reste à dire quel est le rapport précis entre les deux programmes présentés ci-dessus, le premier en termes de cohérence, le second en termes de conservativité : ils sont équivalents. Il est en effet possible de montrer qu'à toute démonstration finitaire de cohérence des mathématiques correspond une démonstration finitaire de leur conservativité par rapport à leur base finitaire, et réciproquement. Une preuve finitaire de cohérence des mathématiques apparaît enfin pour ce qu'elle aurait été, si elle avait été possible, à savoir non seulement une façon de mettre définitivement les mathématiques à l'abri de la contradiction, mais encore une façon radicale de résoudre – ou mieux, pour parler comme Hilbert, de « dissoudre » – le problème philosophique du fondement.

Le programme de Hilbert relativisé

Pouvait-on sauver le programme de Hilbert en jouant sur la relative indétermination où son inventeur avait laissé les limites de la pensée finitaire ? La seule leçon que Hilbert tira de la découverte de Gödel fut que le programme était plus difficile à réaliser qu'il ne l'avait d'abord cru. Gödel lui-même en 1931 fit preuve de la plus grande prudence, allant jusqu'à dénier expressément que sa découverte fût en contradiction avec « le point de vue formaliste de Hilbert », mais plus tard il changea d'avis et tira enfin la conclusion qui s'imposait : sous sa forme originelle, le programme de Hilbert avait vécu.

Cela n'excluait pas que le programme fût repris sous une forme « modifiée », « relativisée », ne prenant en compte qu'une partie des mathématiques, au lieu de leur totalité, et/ou s'autorisant d'une métamathématique certes limitée, correspondant à des contraintes plus ou moins fortes de « constructivité », mais non forcément finitaire (au sens ordinairement reçu de cette dernière expression). D'un côté, à partir des années 1930, dans le sillage de Gerhard Gentzen (1909-1945), on mit l'accent sur les preuves de cohérence et une certaine manière, dite « ordinale », d'analyser les théories mathématiques ; de l'autre, de façon plus intéressante, à partir de la fin des années 1950, à la suite de Georg Kreisel (né en 1923), on s'intéressa aux preuves de conservativité. De remarquables résultats furent obtenus de part et d'autre, mais on restait loin, évidemment, très loin de ceux dont Hilbert avait rêvé et nul ne songerait plus à parler de « formalisme » pour un tel programme de recherche.

Auteur: PHILIPPE DE ROUILHAN