Derivation, analysis and numerics of reduced ODE models describing coarsening dynamics of liquid droplets [Elektronische Ressource] / von Georgy Kitavtsev

Georgy Kitavtsev

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• Mathematics
• Physik

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• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 29
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

Derivation, Analysis and Numerics of Reduced ODE
Models Describing Coarsening Dynamics of Liquid
Droplets
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
Dr. Rer. Nat.
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Wissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Georgy Kitavtsev
geboren am 14.12.1981 in Moskau
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Christoph Markschies
Dekan der Mathematisch-Wissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Wolfgang Coy
Gutachter:
1. Prof. Dr. Barbara Niethammer
2. Priv. Doz. Dr. Lutz Recke
3. Priv. Doz. Dr. Barbara Wagner
eingereicht am: 9. Juni 2009
Tag der mündlichen Prüfung: 10. November 2009Danksagung
Ich bedanke mich herzlich bei Lutz Recke und Barbara Wagner für das sehr interessante
Projektthema, die stetige Begleitung bei der Entwicklung meiner Dissertation und viele Gesprä-
che über mathematische Probleme, die mir begegnet waren.
Ich habe an meiner Dissertation drei Jahre innerhalb des Graduiertenkollegs 1128 „Analysis,
Numerics, and Optimization of Multiphase Problems“ der Deutschen Forschungsgemeinschaft
gearbeitet. Mein personlicher Dank geht an die Sprecher Andreas Griewank, Carsten Carstensen
undalleMitgliederdesGraduiertenkollegsfürdieMöglichkeitnachBerlinzukommenundfürdie
angenehmeArbeitsatmosphäre.InsbesonderemöchteichmichbeiAndreasMünchundAlexander
Mielke für viele wissenschafliche Diskussionen bedanken.
Mein Dank gilt auch allen Studenten des Graduiertenkollegs für die hilfreichen Bemerkungen
während der Vorbereitung dieses Textes. Insbesondere möchte ich mich bei Sebastian Heinz,
Kshitij Kulshreshtha und Dirk Peschka bedanken. Nicht zuletzt bin ich der Deutschen For-
schungsgemeinschaft für die finanzielle Unterstützung sehr dankbar.
Schließlich möchte ich bei meinen Eltern und Natascha bedanken, die mich ständig auf meinem
wissenschaflichen Weg unterstützt haben.Abstract
In this dissertation we consider the topic of derivation, analysis and numerics of reduced ODE
models corresponding to a family of one-dimensional lubrication equations derived in Münch
et al. [1]. This family describes the dewetting process of nanoscopic thin liquid films on
hydrophobized polymer substrates due to the presence of the long-range attractive van der
Waals and short-range Born repulsive intermolecular forces and takes account of all possible
ranges of slip-lengths at the polymer substrate interface. The final stages of the dewetting
process are characterized by a slow-time coarsening dynamics of the remaining droplets that
are separated and interact with each other through a nanoscopic ultra thin liquid layer of
thickness ε. Reduced ODE models derived from underlying lubrication equations allow for
an efficient analytical and numerical investigation of the coarsening process. One of our main
interests in this study is to investigate the influence of slip-length on the coarsening dynamics
using the derived reduced ODE models.
In the first part of this study using asymptotic methods we derive reduced ODE models for
lubrication equations that describe the evolution without slippage (no-slip equation) small
slip-lengths (weak-slip equation), intermediate slip-lengths (intermediate slip and
large slip-lengths (strong-slip equation). By that we generalize the results of Glasner and
Witelski [2], where a reduced ODE model for the no-slip lubrication equation was derived.
The resulting reduced ODE model describes the evolution in time for a set of pressures and
positions for an array of droplets. We find that the difference between the reduced models
for the no-, intermediate- and weak-slip equations, and the one for the strong-slip equation
lies in their dependence on the slip-length. In the strong-slip case we find a unique critical
slip-length, which decides the direction of migration of droplets. If the slip-length is smaller
than this critical value the droplet migrates opposite to the direction of the applied effective
flux. If the slip-length is bigger than the critical value the droplet migrates in the direction of
the flux. This result is new and establishes an interesting property especially in the light of a
recentworkofGlasneretal.[3], whereitwasestablishedthatmigrationofdropletsisopposite
to the applied effective flux in the no- and intermediate-slip cases. Next, we numerically solve
the system of reduced ODE models and find a good agreement of their results with those
given by numerical solutions of the corresponding lubrication equations.
The second part of this study is devoted to a new method for derivation and justifica-
tion of reduced ODE models based on a center-manifold reduction approach recently applied
by Mielke and Zelik [4] to a certain class of semilinear parabolic equations. We first give an
alternative derivation of the reduced ODE model for the no-slip case using a formal reduction
onto an ’approximate invariant’ manifold parameterized by a set of pressures and positions of
droplets in an array. Then we find a good agreement of the new reduced ODE model with the
previously asymptotically derived one. One of the main problems for the rigorous justification
of this formal approach is the description of the asymptotics for the spectrum of the no-slip
lubrication equation linearized at the stationary solution, which corresponds physically to
a single droplet, with respect to the small parameter ε tending to zero. We find that the
corresponding eigenvalue problem (EVP) turns out to be a singularly perturbed one. For its
spectrum we show rigorously the existence of anε-dependent spectral gap, which may happen
to be an important property for the rigorous justification of our formal reduction approach
in future. Besides, using a modified implicit function theorem first suggested by Recke and
Omel’chenko [5] we show the existence of eigenvalues with prescribed asymptotics, in partic-
ular of an exponentially small one, for the above linearized singularly perturbed EVP. Here
our results offer a new technique for solving of a certain type of singularly perturbed EVPs.
vZusammenfassung
DievorliegendeArbeitbeschäftigtsichmitderHerleitung,AnalyseundNumerikvonreduzier-
ten Systemen gewöhnlicher Differenzialgleichungen (bezeichnet als reduzierte Modelle), die
einer Familie von eindimensionalen Schmierfilmgleichungen (lubrication equations) entspre-
chen. Diese Familie wurde von Münch et al. [1] hergeleitet und beschreibt den Entnetzungs-
prozess von nanoskopischen dünnen Flüssigkeitsfilmen auf hydrophoben Polymersubstraten
als Folge von anziehenden van der Waals und abstoßenden Born Intermolekularkräften. Dabei
wurden verschiedene Regime von Schlupf-Längen (slip-length) auf der Grenzfläche zwischen
Flüssigkeit und Polymersubstrat betrachtet. Zur obengennanten Familie gehören Gleichun-
gen, die die Entwicklung ohne Schlupf, für kurze Schlupf-Längen, für intermediäre Schlupf-
Längen und für große Schlupf-Längen beschreiben. Die entsprechenden Gleichungen werden
als „no-slip“, „weak-slip“, „intermediate-slip“ und „strong-slip“ Gleichungen bezeichnet. Die
letzte Phase des Entnetzungsprozesses ist durch eine sehr langsame Vergröberungsdynamik
(coarsening dynamics) der verbleibenden Tropfen charakterisiert. Die verbleibenden Tropfen
sind isoliert und interagieren miteinander durch eine nanoskopisch dünne flüssige Schicht der
Dickeε. Reduzierte Modelle, hergeleitet aus den zugrunde liegenden Schmierfilmgleichungen,
ermöglichendieeffizienteanalytischeundnumerischeUntersuchungdesVergröberungsprozes-
ses. Ein der Hauptinteressen dieser Studie ist die Frage, wie unterschiedliche Schlupf-Längen
die Dynamik von Vergröberungsprozessen beeinflussen. Hier erforschen wir diese Frage an-
hand der hergeleiteten reduzierten Modelle.
Im ersten Teil dieser Studie leiten wir unter Verwendung von asymptotischen Methoden
reduzierte Modelle für „no-slip“, „weak-slip“, „intermediate-slip“ und „strong-slip“ Schmier-
filmgleichungen ab. So verallgemeinern wir die Ergebnisse von Glasner und Witelski [2], die
ein reduziertes Modell für die „no-slip“ Gleichung hergeleitet haben. Diese reduzierten Mo-
delle beschreiben die wesentliche Dynamik eines Arrays von Tropfen durch die Angabe von
Gleichungen, die die Entwicklung der Position und des Druckes jeweils in jedem Tropfen
beschreiben. Unsere Erkenntnis ist, dass der Unterschied zwischen den reduzierten Model-
len für „no-slip“, „intermediate-slip“ und „weak-slip“ Fälle und demjenigen für „strong-slip“
Schmierfilmgleichung in ihrer Abhängigkeit von der Schlupf-Länge liegt. Im Fall
stellen wir eine eindeutige kritische Schlupf-Länge fest, die die Richtung der Tropfenmigration
beeinflusst. Ist die Schlupf-Länge kleiner als dieser kritische Wert, so migriert der Tropfen
entgegengesetzt der Richtung des angewendeten effektiven Flusses. Wenn die Schlupf-Länge
größer als dieser kritische Wert ist, dann migriert der Tropfen in die Richtung des Flusses.
Dieses Ergebnis ist neu und begründet eine interessante Eigenschaft, besonders angesichts
der neuesten Forschung von Glasner et al. [3]. Dort wurde es ermittelt, dass die Tropfenmi-
gration entgegengeset