Des quantités positives et negatives en géométrie

L. A. Comte De Pourtalès

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• Langue: Français
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Extrait

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OîDNIV.
TORONTO
UBRABYDES QUAi^TlTÉS
POSITIVES ET NÉGATIVES
EN GEOMETRIE.
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)IMPRrMERIE DE H. WOT.FRATH, A iNElCHATEL (SirsSEj.'n
DES QUANTITES
POSITIVES ET NEGATIVES
KN r.ÉOMÉTRIK
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LE C"^^ L.-A. DE POURTALES.
AEICHATEL îSusse! PAKIS
BACHELIER
, IMPRIMEIR-LIBRAIRE.J. GER-STER. LIBRAIRE.
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^n^,
^^^•p.hINTRODUCTION
l'application de l'al^jèbreLes formules que l'on rencontre dans la trigonométrie et dans
à la géométrie , ne s'appliquent seulement aux figures tl'après lesquelles elles ont étépas
figuresétablies, mais à toutes celles qui résultent des transformations que peuvent subir ces
loi générale, il faut,d'après la de continuité. Pour donner à ces formules cette signification
comme on sait . avoir égard aux changemens de signe de certaines quantités telles que les
aux règles desabscisses, les ordonnées, les sinus, cosinus etc. et opérer conformément
l'enseignement on se reposesignes. Mais il me semble que dans les ouvrages destinés à
d'évi-tro|) l'algèbre d'oii résulte un certain défautsur ce qu'on appelle la généralité de .
peut-êtredence qu'on ne rencontre la méthode purement géométrique et ijui apas dans
Francce de la méthoderetardé l'adoption géni'-rale pour l'enseignement, ailleurs qu'en ,
algébrique, méthode analytique.nommée ordinairement
susceptible, il faut mettrePour donner à cette dernière le degré d'évidence dont elle est
à formules fondamentales d'oùau jour le mécanisme de la règle des signes relativement ces
dans la trigo-les branches d'étude. Telles sontdécoulent toutes les autres dans dillèrentes
la somme algébrique de deuxnométrie recîiligne celles qui donnent le sinus et le cosinusde
d uuqui établit une relation entre le cosinusarcs, et dans la trigonométrie sphérique celle
angle trois d'un triangle.et les sinus et cosinus des côtés
la trigo-les plus impoilanies deC est ce que j'ai essayé de faire à l'égard des formules
dillérentiel et de la mé-géométrie, du calculnométrie, de l'aiiplication de l'algèbre à la
canique.
excellens traitésra|iport . lesLe but principal de cet ouvrage est de compléter , sous ce
que nous possédons sur l'application de l'algèbre à la géométrie.
les (juan-considérations générales sur.le crois utile de le faire précéder ici de cjuclques
tités positives règles signes.et négatives et sur les des
ab-grandeiii-En arithmétique le rapport de leuron ne considère les nombres que sous
distmguemécanique, onsolue. Dans l'algèbre et applications à la géométrie et a ladans ses
'prises, \insiles quantités positives négatives lequel elles sonten et d'après le sens dans—
II LNTRODCCTION.
jjar exemple , s'il s'agit d'un problème dans lequel doivent figurer les sommes dues à un
négociant et celles qu'il doit lui-même, on représentera les premières par des nombres po-
sitifs et les dernières par des nombres négatifs. Si un point parcoui't sur une droite diffé-
rentes distances, on regardera comme positives celles qui sont parcourues dans un sens
fi comme négatives celles qui sont parcourues dans le sens contraire.
S'il est question de forces parallèles, on regardera comme positives celles qui tirent
dans un sens et conmie négatives celles qui tirent dans le sens contraire.
Lorsqu'il s'agit nombresde représentés par des cliiilVes , on désigne les nombres posi-
—titifs par le signe (plus) et les nombres négatifs par le signe (moins) , ainsi -\- 5+
—est positif et o est négatif.
Mais lorsqu'il s'agit de quantités représentées par des lettres , le signe signifie que la-f-
—(juantité est prise dans son sens propre, et le signe signifie qu'elle est prise en sens con-
traire de son sens propre.
lorsque se a pour valeur -|- ^ signifie -\- 3 et — x signifie —Par exemple , 3 + 3
, ;
— — —mais lorsque x a pour valeur 3 ^ signifie , et .v signifie 3.
, 3 +-f-
algébrique joindreL'addition consiste à ensemble des quantités de même espèce, en
d'elles leur sens, positif ou négatif, .\insi pour indiquer que la quan-conservant à chacune
—— 5 —tité doit être ajoutée à on écrit -\-o. Pour indiquer que 7 doit être5,-f-3
-^- — — o-,ajoutée à -j-4, on écrit 'i 7. Si l'on a 2a6-|-6* à ajouter à on écrit
— -|- suite.a' 'lah h'\ et ainsi de
addition algébrique s'appelle somme algébrique. On peut le simplifierLe résultat d'une
1°de deux manières. En ajoutant, comme en arithmétique, les quantités de même espèce
— — — -|- oa'b -\- oa'h réduit à -|- Sa«i.et de même signe. Ainsi o 3 se réduit à 8; se
2" supprimant quantités de même espèce, égales et de signe contraire. ParEn deux
— — — —exemple 7 étant égal à o o , se réduit à 2 par la suppression des quan-,5 2
— — 9ic2=4ic-— 46c- 6bc^^— 5bc\tités -|-5 et 5 (|ui se détruisent. De même 46c*
La soustraction algébrique a pour but de trouver l'une des deux parties d'une somme
algébrique dont on connaît l'autre partie. D'après cela il est évident que la partie cherchée
joignant àse forme en changeant les signes de tous les termes de la partie connue et en la
la somme donnée.
— —Par exemple , si n- 2ab est la somme algébrique et c' -\- de' la partie donnée , on
— —trouve que la partie cherchée est a' lab -\- c- de'. En effet si on ajoute les deux
—parties en elfaçant o' 2ah pour leur somme
, les termes qui se détruisent , on retrouve
algébrique. Soit encore 12 la somme algébrique deux nombres dont l'un est 15, onde
— —trouvera 12 15 ou 3 pour l'autre nombre.
Le résultat d'une avec l'a-soustraction algébrique peut s'appeler différence par analogie
rithméti(|ue , mais il faut étendie l'acception mot. Ce résultat se simplifie, s'il ade ce y
lieu comme celui
, d'une addition.
Il est des cas où l'on pourrait de une soustraction.être tenté prendre une addition pour
Par OV'=x'exemple, soient P^ et P" deux points de l'axe des x, dont les abscisses sont