Detecting quantum entanglement [Elektronische Ressource] : entanglement witnesses and uncertainty relations / von Otfried Gühne

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: gottfried_wilhelm_leibniz_universitat_hannover
• Publié le: 01 janvier 2004
• Nombre de lectures: 10
• Langue: English

Extrait

Detecting Quantum Entanglement:
Entanglement Witnesses
and
Uncertainty Relations
Vom Fachbereich Physik der Universit at Hannover
zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
Dr. rer. nat.
genehmigte Dissertation
von
Dipl.-Phys. Otfried Guhne?
geboren am 15. Mai 1975 in Munster? in Westfalen
2004Referent: Prof. Dr. M. Lewenstein
Korreferentin: Priv.-Doz. Dr. D. Bruß
Tag der Promotion: 1. Juli 2004Abstract
This thesis deals with methods of the detection of entanglement. After recalling
some facts and definitions concerning entanglement and separability, we investigate
two methods of the detection of entanglement.
In the first part of this thesis we consider so-called entanglement witnesses,
mainly in view of the detection of multipartite entanglement. Entanglement wit-
nessesareobservablesforwhichanegativeexpectationvalueindicatesent.
We first present a simple method to construct these witnesses. Since witnesses are
nonlocal observables, they are not easy to measure in a real experiment. However,
as we will show, one can circumvent this problem by decomposing the witness into
several local observables which can be measured separately. We calculate the local
decompositionsforseveralinterestingwitnessesfortwo,threeandfourqubits. Local can be optimized in the number of measurement settings which are
needed for an experimental implementation. We present a method to prove that
a given local decomposition is optimal and discuss with this the optimality of our
decompositions. Then we present another method of designing witnesses which are
by construction measurable with local measurements. Finally, we shortly report on
experiments where some of the witnesses derived in this part have been used to
detect three- and four-partite entanglement of polarized photons.
The second part of this thesis deals with separability criteria which are written
intermsofuncertaintyrelations. Therearetwodifferentformulationsofuncertainty
relations since one can measure the uncertainty of an observable by its variance as
well as by entropic quantities. We show that both formulations are useful tools for
the derivation of separability criteria for finite-dimensional systems and investigate
the resulting criteria. Our results in this part exhibit also some more fundamental
properties of entanglement: We show how known separability criteria for infinite-
dimensional systems can be translated to systems. Furthermore,
we prove that any entropic uncertainty relation on one part of the system gives rise
to a separability criterion on the composite system.
Keywords: Entanglement, Entanglement witnesses, Uncertainty relationsZusammenfassung
Diese Arbeit behandelt Methoden zum Nachweis von Verschr ankung. Nach
einer kurzen Einfuhrung? der wichtigsten Definitionen und Resultate des Separa-
bilit atsproblems werden zwei M oglichkeiten zum Nachweis von Verschr ankung un-
tersucht.
Im ersten Teil der Arbeit behandeln wir sogenannte Verschr ankungszeugen,
haupts achlich im Hinblick auf den Nachweis von Mehrparteienverschr ankung. Ver-
schr ankungszeugen sind Observable, bei denen ein negativer Erwartungswert ein
Anzeichen fur? Verschr ankung ist. Wir stellen zuerst eine einfache Methode zur
Konstruktion solcher Verschr ankungszeugen vor. Da die so konstruierten Obser-
vablen nichtlokal sind, sind sie experimentell nicht leicht zug angig. Wie wir dann
zeigen,aßtl sich diese Problem jedoch durch eine Zerlegung des Zeugen in mehrere
lokale Observableosen,l diese lokalen Observablen k onnen dann einzeln gemessen
werden. Wir berechnen die lokalen Zerlegungen verschiedener Verschr ankungszeu-
gen fur? interessante Zust ande von zwei, drei und vier Qubits. Diese Zerlegungen
k onnen in dem Sinne, daß sie m oglichst wenige lokale Messungen erfordern, opti-
miert werden. Wir geben ein Verfahren an, mit dem man fur? eine gegebene Zer-
legung untersuchen kann, ob sie optimal ist und untersuchen die vorher berechneten
Zerlegungen damit. Dann wird noch ein anderes Verfahren zur Konstruktion von
Zeugenoperatoren eingefuhrt,? bei dem die Zeugen automatisch lokal meßbar sind.
Schließlich wird noch von Experimenten berichtet, in denen einige der in dieser Ar-
beitberechnetenZeugenzumNachweisvonPolarisationsverschr ankunginSystemen
von drei und vier Photonen benutzt wurden.
DerzweiteTeildieserArbeitbehandeltdenNachweisvonVerschr ankungmithilfe
von Kriterien, die auf Unsch arferelationen basieren. Es gibt zwei verschiedene For-
mulierungen von Unsch arferelationen, entweder wird die Varianz oder eine Entropie
als Maß fur? die Unsch arfe einer Observable genommen. Wir zeigen, daß beide For-
mulierungen zur Herleitung vonSeparabilit atskriterienfur? endlichdimensionaleSys-
teme geeignet sind und untersuchen die sich ergebenden Kriterien. Ferner zeigen
die Resultate dieses Teils der Arbeit einige grundlegende Zusammenh ange auf. So
zeigen wir, wie einige bekannte Separabilit atskriterien fur? unendlichdimensionale
Systeme auf endlichdimensionale Systeme ub? ertragen werden k onnen. Außerdem
zeigen wir, daß aus jeder entropischen Unsch arferelation fur? ein Teilsystem ein Se-
parabilit atskriterium fur? das Gesamtsystem folgt.
Schlagworte: Verschr ankung, Verschr ankungszeugen, Unsch arferelationen?Es gibt nicht Odes, nichts Unfruchtbares, nichts Totes in der Welt;
kein Chaos, keine Verwirrung, außer einer scheinbaren;
ungef ahr wie sie in einem Teiche zu herrschen schiene,
wenn man aus einiger Entfernung eine verworrene Bewegung
und sozusagen ein Gewimmel von Fischenahe,s
ohne die Fische selbst zu unterscheiden.
Gottfried Wilhelm LeibnizContents
Introduction 1
Chapter 1. Entanglement 3
1.1 Bipartite entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Pure states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Mixed states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Criteria for entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Entanglement witnesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.5 Bound entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Multipartite entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Three qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 General classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Witnesses for detection problems . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Bell inequalities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chapter 2. Witnessing multipartite entanglement 19
2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Constructing witnesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Decomposing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Examples of witnesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Two qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Three qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.3 Four qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Optimality proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Calculation of overlaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7 Stabilizer witnesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.8 Experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46viii Contents
Chapter 3. Uncertainty relations and entanglement 49
3.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 The uncertainty principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Variance based criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Local uncertainty relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Nonlocal uncertainty relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Comparison with witnesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 Connection with Gaussian states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Entropic uncertainty relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.9 Entropies and entanglement I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.10 Entropies and ent II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.11 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Bibliography 81
List of Publications 89
Acknowledgements 91Introduction
The study of the phenonemon of entanglement goes back to the thirties of the
last century. Albert Einstein, Boris Podolski and Nathan Rosen were the first
who studied the counterintuitive features of quantum mechanical correlations in
composite systems [1]. Inspired by this, Erwin Schr odinger coined the term Ver-
”
schr ankung“ (translatedas“entanglement”)todescribethesecorrelations[2]. How-
ever, all these authors wanted to express their disapproval with the consequences of
quantum theory. They viewed entanglement as a property of quantum theory con-
tradicting the intuition so much that they concluded that quantum theory cannot
be a fundamental and complete theory.
In the following years the physicists did not pay much attention to the study
of entanglement. It was known to be a bizarre phenomenon, but to the majority
of physicists it did