Diamagnétisme des gaz quantiques quasi-parfaits, Diamagnetism of quasi-perfect quantum gases

Baptiste Savoie

Description

Sous la direction de Philippe Briet
Thèse soutenue le 24 novembre 2010: Aix Marseille 2
La majeure partie de cette thèse concerne l’étude de la susceptibilité diamagnétique en champ magnétique nul d’un gaz d’électrons de Bloch à température et densité fixées dans la limite de sfaibles températures. Pour les électrons libres (i.e. en l’absence de potentiel périodique), la susceptibilité diamagnétique a été calculée par L. Landau en 1930 ; le résultat est connu sous le nom de formule de Landau. Quant au cas des électrons de Bloch, E.R. Peierls montra en 1933 que dans l’approximation des électrons fortement liés, la formule pour la susceptibilité diamagnétique reste la même en remplaçant la masse de l’électron par sa ”masse effective” ; ce résultat est connu sous le nom de formule de Landau-Peierls. Depuis, de nombreuses tentatives pour clarifier les hypothèses de validité de la formule de Landau-Peierls ont vu le jour. Le résultat principal de cette thèse établit rigoureusement qu’à température nulle, lorsque la densité d’électrons tend vers zéro, la contribution dominante à la susceptibilité diamagnétique est donné par la formule de Landau-Peierls avecla masse effective de la plus petite bande d’énergie de Bloch.
-Diamagnetisme
-Metals
The main part of this thesis deals with the zero-field diamagnetic susceptibility of a Blochelectrons gas at fixed temperature and fixed density in the limit of low temperatures. For a freeelectrons gas (that is when the periodic potential is zero), the steady diamagnetic susceptibilityhas been computed by L. Landau in 1930 ; the result is known as Landau formula. As for the Blochelectrons, E.R. Peierls in 1933 showed that under the tight-binding approximation, the formula forthe diamagnetic susceptibility remains the same but with the mass of the electron replaced by its”effective mass” ; this result is known as the Landau-Peierls formula. Since, there were very manyattempts in order to clarify the assumptions of validity of the Landau-Peierls formula. The mainresult of this thesis establishes rigorously that at zero temperature, as the density of electrons tendsto zero, the leading contribution of the diamagnetic susceptibility is given by the Landau-Peierlsformula with the effective mass of the lowest Bloch energy band.
-Diamagnetism
-Orbital magnetism
-Zero-field susceptibility
-Landau-Peierls susceptibility
-Bloch electrons
-Metals
Source: http://www.theses.fr/2010AIX22115/document

Sujets

• Diamagnétisme

Informations

• Publié par: Thesee
• Nombre de lectures: 82
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

UNIVERSITÉ AIX-MARSEILLE II
◦N attribué par la bibliothèque
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THÈSE
pour obtenir le grade de
Docteur de l’Université Aix-Marseille II
Spécialité : Physique Mathématique et Physique Théorique
préparée au laboratoire Centre de Physique Théorique (CPT)
dans le cadre de l’École Doctorale Physique et Science de la Matière (ED 352)
présentée et soutenue publiquement
par
Baptiste Savoie
le 24 Novembre 2010
Titre:
DIAMAGNETISME DES GAZ QUANTIQUES
QUASI-PARFAITS
Directeur de thèse: Philippe Briet
Jury
M. Didier Robert, Rapporteur
M. Gheorghe Nenciu, Rapporteur
M. Horia Cornean, Examinateur
M. Valentin Zagrebnov, Examinateur
M. Philippe Briet, Directeur de thèseiiRésumé
La majeure partie de cette thèse concerne l’étude de la susceptibilité diamagnétique en
champ magnétique nul d’un gaz d’électrons de Bloch à température et densité fixées dans
la limite des faibles températures. Pour les électrons libres (i.e. en l’absence de potentiel
périodique), la susceptibilité diamagnétique a été calculée par L. Landau en 1930; le résul-
tat est connu sous le nom de formule de Landau. Quant au cas des électrons de Bloch, E.R.
Peierls montra en 1933 que dans l’approximation des électrons fortement liés, la formule
pour la susceptibilité diamagnétique reste la même en remplaçant la masse de l’électron
par sa ”masse effective” ; ce résultat est connu sous le nom de formule de Landau-Peierls.
Depuis, de nombreuses tentatives pour clarifier les hypothèses de validité de la formule de
Landau-Peierls ont vu le jour. Le résultat principal de cette thèse établit rigoureusement
qu’à température nulle, lorsque la densité d’électrons tend vers zéro, la contribution domi-
nante à la susceptibilité diamagnétique est donné par la formule de Landau-Peierls avec la
masse effective de la plus petite bande d’énergie de Bloch.
iiiAbstract
The main part of this thesis deals with the zero-field diamagnetic susceptibility of a
Bloch electrons gas at fixed temperature and fixed density in the limit of low temperatures.
For a free electrons gas (that is when the periodic potential is zero), the steady diamagnetic
susceptibility has been computed by L. Landau in 1930; the result is known as Landau
formula. As for the Bloch electrons, E.R. Peierls in 1933 showed that under the tight-
binding approximation, the formula for the diamagnetic susceptibility remains the same
but with the mass of the electron replaced by its ”effective mass” ; this result is known
as the Landau-Peierls formula. Since, there were very many attempts in order to clarify
the assumptions of validity of the Landau-Peierls formula. The main result of this thesis
establishes rigorously that at zero temperature, as the density of electrons tends to zero,
the leading contribution of the diamagnetic susceptibility is given by the Landau-Peierls
formula with the effective mass of the lowest Bloch energy band.
ivTable des matières
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Introduction 1
1 Systèmes magnétiques 17
1 Elements de physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Notations et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Systèmes magnétiques et Hamiltoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Modèle & hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Hamiltonien à une particule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Hamiltonien du gaz à nombre fixe de particules . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Hamiltonien seconde quantifiée : nombre de particules indéterminé . 28
3.5 Lorsque ω devient un paramètre complexe . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Semi-groupe à un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1 Définition et propriétés du semi-groupe à un paramètre . . . . . . . 32
4.2 Estimations en normes de Hilbert-Schmidt et normes trace . . . . . . 33
5 Grandeurs caractéristiques du gaz quantique quasi-parfait . . . . . . . . . . 34
5.1 Grandeurs caractéristiques dans l’ensemble grand canonique . . . . . 35
5.2 Grandeurs caractéristiques dans l’ensemble canonique . . . . . . . . 38
6 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2 Réponse diamagnétique à volume fini 41
1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2 Propriétés de la pression grand canonique à volume fini . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Analycité par rapport à la variable z . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Analycité par rapport à la variable ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Analycité jointe par rapport aux variables ω et z . . . . . . . . . . . 49
2.4 Convexité par rapport à la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Transfert des propriétés d’analycité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Susceptibilités grand canonique à volume fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Appendice 1 : Energie libre et susceptibilités canonique . . . . . . . . . . . . 55
5 Appendice 2 : Grandeurs grand canonique à densité fixée . . . . . . . . . . . 58
6 Appendice 3 : Une autre preuve de la Proposition 2.10 . . . . . . . . . . . . 60
7 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
vTABLEDESMATIÈRES
3 Etude de quelques noyaux intégraux à volume fini et infini 69
1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2 Noyau de la résolvante à volume fini et infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1 Preuve de la Proposition 3.1 et du Corollaire 3.2 . . . . . . . . . . . 72
2.2 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3 Dérivées spatiales du noyau de la résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1 Preuve de la Proposition 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Différence des noyaux des résolvantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Théories des perturbations magnétiques à volume fini 97
1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2 Analycité du noyau de la résolvante à volume fini . . . . . . . . . . . . . . . 101
3 Développement régularisé à volume fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Preuve du Théorème 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Susceptibilités généralisées à volume fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5 Annexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5 Limites thermodynamiques 121
1 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2 Quelques mots sur la méthode utilisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.1 Sens pour la limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.2 Construction des candidats pour la limite thermodynamique . . . . . 125
3 Limite thermodynamique : pression grand canonique . . . . . . . . . . . . . 127
3.1 Preuve du Théorème 5.1 et du Corollaire 5.2 . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4 Limite thermodynamique : aimantation grand canonique . . . . . . . . . . . 131
5 Limite thermodynamique : susceptibilités grand canonique . . . . . . . . . . 136
5.1 Preuve du Théorème 5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Preuve des Corollaires 5.4 et 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.3 Preuve du Théorème 5.6 et de la Proposition 5.7 . . . . . . . . . . . 144
6 Appendice 1 : limites thermodynamiques à densité fixée . . . . . . . . . . . 145
6.1 Limites thermodynamiques des grandeurs à densité fixée . . . . . . . 145
6.2 Transformée de Legendre de la limite thermodynamique de la pres-
sion grand canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7 Appendice 2 : Limites thermodynamiques pour le modèle d’Anderson . . . . 150
7.1 Potentiel type Anderson et opérateurs de Schrödinger aléatoires . . . 150
7.2 Résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.3 Preuve du Théorème 5.49 .