Difference equations with semisimple Galois groups in positive characteristic [Elektronische Ressource] / Annette Maier

Sujets

• Mathematics

Informations

• Publié par: rheinisch-westfalischen_technischen_hochschule_-rwth-_aachen
• Publié le: 01 janvier 2012
• Nombre de lectures: 25
• Langue: Deutsch

Extrait

Difference Equations with
Semisimple Galois Groups in
Positive Characteristic
Von der Fakult¨at fu¨r Mathematik, Informatik und
Naturwissenschaften der RWTH Aachen University zur
Erlangung des akademischen Grades einer Doktorin der
Naturwissenschaften genehmigte Dissertation
vorgelegt von
Diplom-Mathematikerin Annette Maier
aus Freiburg im Breisgau.
Berichter:
Universit¨atsprofessorin Dr.rer.nat. Julia Hartmann
Universit¨atsprofessor em. Dr.rer.nat. B. Heinrich Matzat
Tag der mundlic¨ hen Prufung:¨ 16. Dezember 2011
Diese Dissertation ist auf den Internetseiten der
Hochschulbibliothek online verfugbar.¨Zusammenfassung
Sei F ein K¨orper und σ ein Automorphismus auf F. Eine (lineare) Dif-
ferenzengleichung ub¨ er F ist eine Gleichung der Form σ(y) = Ay, wobei A
einElementinGL (F)undy einenVektormitnUnbestimmtenbezeichnet.n
Man kann dann L¨osungen in Erweiterungsk¨orpern von F betrachten und so
genanntePicard-VessiotRingedefinieren,welcheeinmaximalunabh¨angiges
SystemvonL¨osungenenthaltenundgleichzeitigaufeinegewisseWeisemin-
imal mit dieser Eigenschaft sind. Falls ein solcher Picard-Vessiot Ring zu
der gegebenen Differenzengleichung existiert, kann man ihm eine lineare al-
gebraische Gruppe, die Differenzen-Galoisgruppe, zuordnen.
SeinunF =F (s,t)undσ derAutomorphismusaufF,derF (t)punktweiseq q
qfixiert und s auf s abbildet. Das Hauptresultat der vorliegenden Disserta-
tion besagt, dass folgende Gruppen als Differenzen-Galoisgruppen ub¨ er F
vorkommen: diespeziellenlinearenGruppenSL ,diesymplektischenGrup-n
pen Sp , die speziellen orthogonalen Gruppen SO (wobei hier q ungeraden2d
vorausgesetzt wird) und die Dicksone G . Fur¨ all diese Gruppen2
werden explizite Differenzengleichungen angegeben. Weiterhin wird gezeigt,
dass jede halbeinfache, einfach zusammenh¨angende Gruppe G, die ub¨ er Fq
definiert ist, fur¨ ein geeignetes i ∈ N als σ -Differenzen-Galoisgruppe ub¨ eri
iqF =Fi(s,t) vorkommt, wobei σ (s) = s . Da alle betrachteten Gruppeni iq
zusammenh¨angend sind, k¨onnen diese Ergebnisse von F (s,t) bzwFi(s)(t)q q
nach F (s)(t) geliftet werden. Dies fuhrt¨ zu so genannten rigid analytischq
trivialen Pr¨a-t-Motiven mit denselben Galoisgruppen. Die Kategorie der
rigid analytisch trivialen Pr¨a-t-Motive enth¨alt die Kategorie der t-Motive,
welche in der Arithmetik von Funktionenk¨orpern von Interesse ist.
UmdiebesagtenGruppenrealisierenzuk¨onnen,werdenverschiedeneKrite-
rienentwickelt,dieSchrankenanDifferenzen-Galoisgruppengeben. Zun¨achst
wird gezeigt, dass ein Picard-Vessiot Ring zu σ(y) = Ay existiert, falls A
gewisse Konvergenzbedingungen erfullt.¨ Sei nun σ(y) = Ay eine solche
Differenzengleichung mit Differenzen-GaloisgruppeH und seiG≤GL einen
gegebenelinearealgebraischeGruppe. WennAinG(F)enthaltenist,sogilt
H ≤ G, d.h. H kann nach oben beschr¨ankt werden. Um H = G zeigen zu
k¨onnen, wird folgendes Kriterium bewiesen: Sei α∈F derart, dass das Er-q
setzenvonsdurchαdieMatrixA∈GL (F (s,t))aufeinwohldefiniertesEl-n q
ementA ∈GL (F (t))abbildet. Dannenth¨altHeingewissesKonjugiertesα n q
von A . Mithilfe dieser Kriterien kann nun wie folgt vorgegangen werden,α
um die GruppeG zu realisieren. Man konstruiere die Matrix A derart, dass
die Konvergenzbedingungen erfullt¨ sind und sodass beliebige Konjugierte
der Familie {A | α ∈ F } die Gruppe G erzeugen. Um dies entscheidenα q
zu k¨onnen, befasst sich die vorliegende Arbeit auch mit der Erzeugung von
linearen algebraischen Gruppen. Zum einen werden explizite Erzeuger der
klassischen Gruppen konstruiert, die auch nach gewisser Konjugation noch
die Gruppe erzeugen. Zum anderen wird ein etwas allgemeineres Resultat
fur¨ reduktive Gruppen, welche ub¨ erF zerfallen, bewiesen.qAbstract
Let F be a field with an automorphism σ on F. A (linear) difference
equationoverF isanequationoftheformσ(y)=Ay withA∈GL (F)andn
y a vector consisting of n indeterminates. There is the notion of a Picard-
Vessiot ring which is in some sense a “ smallest” difference ring extension
R of F such that there exists a full set of solutions with entries in R to
the given difference equation. If there exists a Picard-Vessiot ring, one can
assign a Galois group to the Picard-Vessiot ring, which turns out
to be a linear algebraic group (in the scheme theoretic sense).
Let F = F (s,t) with σ defined to be the automorphism that fixes F (t)q q
qpointwise and maps s to s . The main result of this thesis is that the fol-
lowing groups occur as difference Galois groups over F: the special linear
groups SL , the symplectic groups Sp , the special orthogonal groups SOn n2d
(here we have to assume q odd), and the Dickson group G (in both cases q2
odd and even). We give explicit difference equations for all of these groups.
As another result, we show that every semisimple and simply-connected
group G that is defined over F occurs as a σ -difference Galois group overq i
iqF =F (s,t) for some i∈N, where σ (s)=s .ii iq
We also lift our difference equations from F (s,t) toF (s)(t) using the factq q
that all of our constructed Galois groups are connected. As a result we
obtain rigid analytically trivial pre-t-motives with the same Galois groups.
Thecategoryofrigidanalyticallytrivialpre-t-motivescontainsthecategory
of t-motives, which occurs in the arithmetic of function fields.
Foranoutlineoftheapproach,supposewearegivenalinearalgebraicgroup
G ≤ GL . Assume that we have fixed a difference equation σ(y) =Ay overn
F for which we would like to show that there exists a Picard-Vessiot ring
withdifferenceGaloisgroupequaltoG. FortheexistenceofaPicard-Vessiot
ring, we use a Henselian type of argument to show that under certain as-
sumptions, there exist enough solutions inside a suitable extension L of F.
If moreover A is contained in G(F), we deduce that the difference Galois
group H is contained in G. In order to be able to show that H≥G holds,
we develop a lower bound criterion as follows. Let α ∈ F be an elementq
such that the matrix A obtained from A ∈ GL (F (s,t)) by substitutingα n q
s by α is a well-defined element of GL (F (t)). Then H contains a certainn q
conjugate of A .α
With these criteria at hand, we construct a matrix A that meets the as-
sumptions on our criterion for the existence of a Picard-Vessiot ring, and
suchthatanyconjugatesoftheelementsA (α∈F )generateG. Thelatterα q
condition leads us to questions on generating linear algebraic groups. We
construct explicit generators of the classical groups that generate the group
even up to a certain conjugacy. We also present a more general result for
arbitrary reductive groups that split overF .qContents
Introduction 1
1 Basics of Difference Galois Theory 5
1.1 Difference Rings and Difference Equations . . . . . . . . . . . 5
1.2 Picard-Vessiot Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Base Change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Notation and Conventions 23
2.1 Difference Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Algebraic Groups and Matrix Conventions . . . . . . . . . . . 25
3 Bounds on Difference Galois Groups 27
3.1 Existence of Picard-Vessiot Extensions . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Upper Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.1 An Upper Bound Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2.2 An Upper for Linear and Symplectic Groups . 35
3.3 Lower Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1 Setup for Specialization . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.2 Specializing Fundamental Matrices . . . . . . . . . . . 39
3.3.3 A Lower Bound Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Generating Reductive Groups 49
4.1 Finite Groups of Lie Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Generating Classical Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3 Split Reductive Groups . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.4 Conjugacy over Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Applications 63
5.1 Our Fields of Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Auxiliary Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3 The Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 How to Choose the Representing Matrix . . . . . . . . 65
5.3.2 An Outline of the Procedure . . . . . . . . . . . . . . 675.4 Special Linear Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.4.1 Dense Elements in T and T . . . . . . . . . . . . . . 701 2
5.4.2 A Difference Module for SL . . . . . . . . . . . . . . 71n
5.5 Symplectic Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.5.1 Specializations of D . . . . . . . . . . . . . . . 76(f ,...,f )1 d
5.5.2 Dense Elements in T and T . . . . . . . . . . . . . . 781 2
5.5.3 A Difference Module for Sp . . . . . . . . . . . . . . 802d
5.6 Special Orthogonal Groups in Odd Dimension . . . . . . . . . 83
5.6.1 Specializations of D . . . . . . . . . . . . . . . 83(f ,...,f )1 d
5.6.2 A Difference Module for SO . . . . . . . . . . . . 872d+1
5.7 Special Orthogonal Groups in Even Dimension . . . . . . . . 90
5.7.1 Specializations of D . . . . . . . . . . . . . . . 90(f ,.