DNS and Lie group analysis of zero pressure gradient turbulent boundary layer flow [Elektronische Ressource] / vorgelegt von George Khujadze

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DNS and Lie Group Analysis of ZeroPressure Gradient TurbulentBoundary Layer FlowFu¨r den Fachbereich Maschinenbauan der Technischen Universit¨at DarmstadtzurErlangung des Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)genehmigteD i s s e r t a t i o nvorgelegt vonMSc. George Khujadzeaus Tbilisi, GeorgienBerichterstatter: Prof. Dr.-Ing. M. OberlackMitberichterstatter: Prof. Dr.-Ing. R. FriedrichTag der Einreichung: 06.12.2005Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 24.01.2006D17Darmstadt, 2005To my daughter, MariamKurzzusammenfassungDie Methode der Lie-Symmetrie-Gruppen und ihre Anwendung auf Turbulenz en-twickelt von Oberlack (siehe z.B. Oberlack (2001) und die dort referenziertenQuellen),wird verwendet um neue Skalengesetze fu¨r eine Vielzahl von Parame-tern einer turbulenten Grenzschichtstr¨omung ohne Druckgradienten herzuleiten.Die verwendete Methode baut auf den Vorarbeiten von Oberlack fu¨r die mit-tlere Geschwindigkeit einer station¨aren parallelen turbulenten Scherstr¨omung aufunderweitert sie maßgeblich. DieSymmetrien derZwei-Punkt-Korrelations(ZPK)Gleichungen erm¨oglichen die Herleitung einer Vielzahl von invarianten L¨osun-gen (Skalengesetze) fu¨r turbulente Str¨omungen. Eine davon ist das exponentielleGeschwindigkeitsprofil, welches im Außnbereich (wake region) der Grenzschichtgefunden wurde. Im weiteren konnte eine dritte Symmetriegruppe mithilfe derZPK-Gleichungen fu¨r eine turbulente Grenzschicht berechnet werden.

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Publié le 01 janvier 2006
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DNS and Lie Group Analysis of Zero
Pressure Gradient Turbulent
Boundary Layer Flow
Fu¨r den Fachbereich Maschinenbau
an der Technischen Universit¨at Darmstadt
zur
Erlangung des Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)
genehmigte
D i s s e r t a t i o n
vorgelegt von
MSc. George Khujadze
aus Tbilisi, Georgien
Berichterstatter: Prof. Dr.-Ing. M. Oberlack
Mitberichterstatter: Prof. Dr.-Ing. R. Friedrich
Tag der Einreichung: 06.12.2005
Tag der mu¨ndlichen Pru¨fung: 24.01.2006
D17
Darmstadt, 2005To my daughter, MariamKurzzusammenfassung
Die Methode der Lie-Symmetrie-Gruppen und ihre Anwendung auf Turbulenz en-
twickelt von Oberlack (siehe z.B. Oberlack (2001) und die dort referenzierten
Quellen),wird verwendet um neue Skalengesetze fu¨r eine Vielzahl von Parame-
tern einer turbulenten Grenzschichtstr¨omung ohne Druckgradienten herzuleiten.
Die verwendete Methode baut auf den Vorarbeiten von Oberlack fu¨r die mit-
tlere Geschwindigkeit einer station¨aren parallelen turbulenten Scherstr¨omung auf
underweitert sie maßgeblich. DieSymmetrien derZwei-Punkt-Korrelations(ZPK)
Gleichungen erm¨oglichen die Herleitung einer Vielzahl von invarianten L¨osun-
gen (Skalengesetze) fu¨r turbulente Str¨omungen. Eine davon ist das exponentielle
Geschwindigkeitsprofil, welches im Außnbereich (wake region) der Grenzschicht
gefunden wurde. Im weiteren konnte eine dritte Symmetriegruppe mithilfe der
ZPK-Gleichungen fu¨r eine turbulente Grenzschicht berechnet werden. Diese steht
im Gegensatz zu den Navier-Stokes- und Eulergleichungen, die nur ein bzw. zwei
Skalengruppen besitzen. Direkte Numerische Simulationen (DNS) einer ebenen
turbulenten Grenzschicht ohne Druckgradienten wurden fu¨r drei Reynoldszahlen
Re = 750,2240,2500 durchgefu¨hrt. Dazu wurden die Navier-Stokes-Gleichungenθ
numerisch mittels einer Spektralmethode fu¨r 32, 140, bzw. 270 Millionen Gitter-
punktegel¨ost. DasHauptzielderSimulationwardieValidierungdervorgenannten
exponentiellen Gesetze, der Reynoldsspannungen und der ZPK-Funktionen. Die
¨numerische Simulation weist eine gute Ubereinstimmung mit den theoretischen
Ergebnissen auf. In der vorliegenden Arbeit werden die Ergebnisse aller Simula-
tionen pr¨asentiert. Alle klassischen statistischen Parameter wurden w¨ahrend der
Simulation aufgenommen. Der Zeitraum der Statistik war in allen F¨allen hinre-
ichend, umeineguteStatistikzuerhalten. EswurdenaußerdemGeschwindigkeits-
und Wirbelfelder zu einem festen Zeitpunkt untersucht. Eindimensionale turbu-
lente Signale der Geschwindigkeitsfluktuationen in Hauptstr¨omungsrichtung wur-
den an verschiedenen Positionen (viscous sublayer, buffer layer, log-region und
exponentieller Bereich)mittelsWaveletsuntersucht. Eswurdensowohlkontinuier-
liche als auch diskrete Wavelettransformationen angesetzt. Fu¨rdie kontinuierliche
TransformationwurdenCoifletsWaveletsundfu¨rdiediskreteDaubechiesWavelets
verwendet.Abstract
The Lie group orsymmetry approach applied toturbulence asdeveloped by Ober-
lack (see e.g. Oberlack (2001) and references therein) is used to derive new scaling
laws for various quantities of a zero pressure gradient turbulent boundary layer
flow. The approach unifies and extends the work done by Oberlack for the mean
velocity of stationary parallel turbulent shear flows. From the two-point corre-
lation (TPC) equations the knowledge of the symmetries allows us to derive a
variety of invariant solutions (scaling laws) for turbulent flows, one of which is
the new exponential mean velocity profile that is found in the mid-wake region of
flat-plate boundary layers. Further, a third scaling group was found in the TPC
equations for the one-dimensional turbulent boundary layer. This is in contrast
to the Navier-Stokes and Euler equations which has one and two scaling groups
respectively.
A direct numerical simulation (DNS) of a flat plate turbulent boundary layer with
zero pressure gradient (ZPG) was performed at three different Reynolds numbers
Re = 750,2240,2500 at different resolutions. The Navier-Stokes equations wereθ
numerically solved using a spectral method with 32,140,270 million grid points.
Themainaimofthesimulationsweretovalidatethenewexponentiallawsformean
velocity profile, Reynolds stresses and TPC functions. The numerical simulations
showgoodagreementwiththetheoreticalresults. DNSresultsforeachsimulations
are presented. All classical statistical quantities were accumulated during the
simulations. Statistics accumulation time in all cases was large enough to get
smooth statistics. Instantaneous velocity and vorticity fields were analysed.
Wavelet analysis was done for one-dimensional turbulent signals of the stream-
wise velocity fluctuation in streamwise direction for different (viscous sublayer,
buffer layer, log-region and exponential region) positions in wall-normal direc-
tions. Both, the continuous and the discrete wavelet transformations were done
using Daubechies (for discrete) and Coiflets wavelets (for continuous).vii
Acknowledgements
First of all I would like to thank my supervisor Prof. Dr.-Ing. M. Oberlack for
accepting me as his PhD student and for his valuable and interesting discussions
during my work in his group. It is his great merit to bring the symmetry methods
into my work. His scientific support and everyday encouragement helped me to
finish this work.
I am thankful to Prof. Johansson and Prof. Henningson from the department of
Mechanics (KTH) for their hospitality during my visit at KTH. I would like to
thank Martin Skote, Mathias Shevalier and Luca Brandt from the Department of
Mechanics (KTH) for their help in the beginning of my work on the code.
Andreas Sch¨onfeld and Norbert Conrad from HHLR, TU Darmstadt helped me to
run the code on the IBM supercomputer. I express my gratitude to both for their
continuing help during my work on the project.
I would like to express my gratitude to Dr. Mathias Brehm and Dr. Richard
Patra from the Leibniz-Rechenzentrum of the Bavarian Academy of Sciences and
Humanities for their help.
Finally, I would like to address my sincere gratitude to my family, to my wife
Tamara and daughter Mariam, for their patience and love.
Darmstadt, Germany George Khujadze
06.12.2005ix
Contents
Nomenclature xiii
1 Introduction 1
1.0.1 Turbulence time- and length scales . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Basic equations 9
2.1 Turbulence and the Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Statistical description of turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 One-point statistics: Reynolds equations . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Reynolds stress budget and turbulent kinetic energy . . . . . 13
2.2.3 Higher order statistics: two-point correlations . . . . . . . . 14
3 ZPG turbulent boundary layer flow 17
3.1 Classical theory of turbulent boundary layer flows . . . . . . . . . 17
3.1.1 The inner part of boundary layer flow . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.2 The outer part of boundary layer flow. . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Experiments and Numerics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I Lie Groups 27
4 Lie groups and turbulence 29
4.1 History of Lie group analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Lie group analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Lie group analysis of TPC equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II DNS 39
5 Numerical method and basic parameters of the flow 41
5.1 Spectral code . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Performed Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 Low Reynolds number case 49x Contents
6.1 Small box simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.1.1 Mean velocity profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.2 Instantaneous velocity and vorticity fields . . . . . . . . . . 56
6.2 Large box simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.2.1 Mean velocity profiles and flow structure . . . . . . . . . . . 62
7 High Reynolds number case 67
7.1 Simulations at Re =2240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67θ
7.1.1 Mean velocity profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.1.2 Flow structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Simulations at Re =2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74θ
7.2.1 Mean velocity profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.2.2 Flow structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III Statistics 83
8 Low Reynolds number case 85
8.1 Small box simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.1 One-point statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.1.2 Two-point statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.1.3 Budgets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
8.2 Large box simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.1 One-point statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9 High Reynolds number case 111
9.1 Simulations at Re =2240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111θ
9.1.1 One-point statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.1.2 Two-point statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2 Simulations at Re =2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120θ
9.2.1 One-point statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10 Turbulent scaling laws 125
10.1 Scaling law validation: Exponential law . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.2 Log-law in the overlap region . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
IV Coherent Structures and Wavelets 137
11 Coherent structures 139
12 Wavelet analysis 149