Effective Schrödinger equations on submanifolds [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Jakob Wachsmuth

Jakob Wachsmuth

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• Mathematics

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• Publié par: eberhard_karls_universitat_tubingen
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 4
• Langue: English

Extrait

E ective Schr odinger Equations
on Submanifolds
Dissertation
Zur Erlangung des Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften der
Fakult at fur Mathematik und Physik der
Eberhard-Karls-Universit at Tubingen
vorgelegt von
Jakob Wachsmuth
aus Hannover
im Februar 2010Tag der mundlic hen Quali kation: 11.02.2010
Dekan: Wolfgang Knapp
1. Berichterstatter: Stefan Teufel
2. Berichr: Frank LooseContents
Overview (in german) 3
Acknowledgements (in german) 10
1 Introduction 11
1.1 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Comparison with existing results . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Main results 27
2.1 E ective dynamics on the constraint manifold . . . . . . . . . 27
2.2 The e ective Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Approximation of eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Application to quantum wave guides . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Proof of the main results 39
3.1 Proof of adiabatic decoupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Pullback of the results to the ambient space . . . . . . . . . . 43
3.3 Derivation of the e ective Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Proof of the approximation of eigenvalues . . . . . . . . . . . . 63
4 The whole story 64
4.1 Elliptic estimates for the Sasaki metric . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Expansion of the Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.3 Construction of the superadiabatic subspace . . . . . . . . . . 80
Appendix 102
Manifolds of bounded geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
The geometry of submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
References 105Zusammenfassung in deutscher Sprache
Die lineare Schr odingergleichung auf einem Kon gurationsraum A ist von
der Form
2i@ = + V =:H ; j 2L (A;d ); (1)t t=0
wobei der Laplace-Operator aufA und V :A!R das so genannte Po-
tential ist. Obwohl ihre mathematische Struktur nicht besonders komplex
ist, macht die hohe Dimension vonA in vielen F allen selbst eine numerische
L osung unm oglich. Daher ist es von gro er Wichtigkeit, Situationen zu iden-
ti zieren, in denen die Dimension durch Approximation der L osungen der
ursprunglic hen Gleichung (1) auf dem hochdimensionalenA durch L osungen
einer e ektiven Gleichung
2i@ = H ; j 2L (C;d )t e t=0
auf einem niederdimensionalen Kon gurationsraum C reduziert werden kann.
Ein sehr bedeutendes Beispiel dafur ist die zeitabh angige Born-Oppenheimer-
Approximation: Die Schr odingergleichung fur die Elektronen und Kerne eines
Atoms,
1 1 2 d+ki@ = + V ; j 2L (R ;dxdy); (2)t x y ia t=0m mnu el
kann wegen der im Verh altnis zur Kernmasse m sehr kleinen Elektron-nu
massem durch eine Gleichung approximiert werden, die nur noch die Kerneel
beschreibt,
1 2 di@ = + E ; j 2L (R ;dx);t x el t=0mnu
wobei die Wechselwirkungen aller TeilchenV (x;y) durch die elektronischenia
Energie achen E (x) ersetzt werden. Denn die leichten und daher schnellenel
Elektronen passen sich der Bewegung der schwereren und langsameren Kerne
unmittelbar an in dem Sinne, dass der Zustand der Elektronen auf Grund
der Skalenseparation bei den Massen stets bis auf kleine Fehler im von der
Position der Kerne abh angigen Eigenzustand zur Energie E verbleibt undel
somit die Dynamik der Elektronen fast von der Dynamik der Kerne entkop-
pelt. Dies ist ein Spezialfall der so genannten adiabatischen Entkopplung, die
typischerweise das Herleiten einer e ektiven Dynamik erlaubt.
Eine andere physikalische Situation, in der eine solche Reduktion m oglich
scheint, sind mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen. In diesen Sys-
temen zwingen starke Kr afte die Zust ande, e ektiv in der N ahe einer Un-
termannigfaltigkeitC des Kon gurationsraums A zu verbleiben. Hier stellt
3sich die naheliegende Frage, ob das System durch die Einschr ankung von (1)
aufC,
2i@ = + Vj ; j 2L (C;d );t C C t=0
ersetzt werden kann, wobei der Laplace-Beltrami-Operator aufC ist. DiesC
wollen wir in der vorliegenden Arbeit m oglichst genau und allgemein zugleich
untersuchen. Es wird sich herausstellen, dass dies im Allgemeinen nicht der
Fall ist, sondern sich eine e ektive Gleichung ganz ahnlich zu der in der
zeitabh angigen Born-Oppenheimer-Approximation ergibt.
An dieser Stelle fuhren wir das Modell, das wir betrachten, nur skizzenhaft ein
und erl autern in erster Linie dessen Skalierung. Sei ( A;G) eine Riemannsche
Mannigfaltigkeit der Dimension d +k undCA eine glatte Untermannig-
faltigkeit der Dimension d ohne Rand und ausgestattet mit der induzierten
Metrik g = Gj . Wir betrachten die Schr odingergleichung auf A mit einemC
"PotentialV :A!R, das fur kleine" eine gewisse Klasse von Zust anden in
der N ahe von C lokalisiert.
Wir wollen also fest vorgegebene MannigfaltigkeitenA undC betrachten
und annehmen, dass das Potential in den zuC normalen Richtungen schnell
gro wird, w ahrend die Variation entlang C im Vergleich dazu klein ist.
Wir pr azisieren diese Annahmen zun achst von einem mikroskopischen Stand-
punkt aus, d.h. die kleinste Ortsskala sei fur den Moment von der Ordnung 1.
Dann wollen wir annehmen, dass
normale Ableitungen des Potentials von der OrdnungO(1) sind,
tangentiale Ableitungen des Potentials von der OrdnungO(") sind,
alle Ableitungen der Metrik G von der OrdnungO(") sind,
und die L osungen Oszillationen der OrdnungO(1) haben.
Oszillationen der Ordnung O(1) in normaler Richtung sind wichtig, um
ub erhaupt Zust ande zu nden, die in Richtung lokalisiert sind.
Dann erzeugt die Dynamik jedoch typischerweise auch Oszillationen der Ord-
nungO(1) in tangentialer Richtung.
Fuhren wir in der Umgebung eines Punktsq2C lokale Koordinateny aufC
undn fur die normalen Richtungen ein, so entsprechen obige Annahmen der
Schr odingergleichung
"i@ = + V ("y;n) ;t G
"wobeiG die langsam variierende Metrik ist, die man durch Aufblasen vonG
"erh alt, und der zugeh orige Laplace-Beltrami-Operator auf A. WechselnG
4wir nun durch Reskalieren der Koordinaten zu (x ="y;N ="n) zuruc k zum
makroskopischen Standpunkt, auf dem die Mannigfaltigkeiten nicht von "
abh angen, dann ergibt sich
" 2 " "i@ = " + V (x;N=") ; (3)t G
weil der Laplace-Operator ein Di erentialoperator zweiter Ordnung ist. Hier
soll der obere Index" an andeuten, dass wir an L osungen interessiert sind,
1die Oszillationen der OrdnungO(" ) haben.
Fur " 1 konzerntrieren sich die L osungen dieser Gleichung bei der Unter-
mannigfaltigkeitC. Daher ist zu vermuten, dass eine e ektive Schr odinger-
gleichung aufC hergeleitet werden kann, so dass L osungen (t) der e ek-"
"tiven Gleichung die L osungen (t) der vollen Gleichung in geeigneter Weise
approximieren.
Die oben beschriebene Skalierung des Potentials war von der Wahl der Ko-
ordinaten abh angig und ist so nicht global durchfuhrbar. Sie diente lediglich
der Motivation. Um einen entsprechenden Skalierungslimes global implemen-
tieren zu k onnen, nehmen wir an, dass die Untermannigfaltigkeit C eine o ene
Tubenumgebung B ohne Selbstdurchdringungen von festem Durchmesser
" > 0 besitzt. Hierasstl sich sinnvoll postulieren, dass V schnell bezuglic h
des Abstands zuC variiert. Da sichB isometrisch auf die -UmgebungB
des Nullschnitts im Normalenbundel von NC abbildenasst,l kann diese An-
nahme auf Grund der dortigen linearen Struktur durch eine Skalierung des
Potentials wie in (3) implementiert werden. Um sp ater nur auf dem Nor-
malenbundel arbeiten zu mussen, konstruieren wir einen Di eomorphismus
: NC !B und w ahlen eine Metrik g auf NC, so dass aufB eine=2
Isometrie ist und fur " die L osungen unter einer beliebigen endlichen
Energie bis auf Fehler kleiner als jede Potenz von " inB liegen.=2
Um m oglichst wenig Regularit atsprobleme zu haben, machen wir die folgen-
den technischen Annahmen.
Annahme 1: Die Injektivit atsradien von A undC seien strikt positiv und
alle Krummungen sowie Ableitungen beliebiger Ordnung von diesen seien
global beschr ankt. Weiterhin sei V : NC!R glatt und besch ankt und be-
liebige Ableitungen von V seien ebenfalls beschr ankt.
Unser Ziel ist es nun, approximative L osungen der Schr odingergleichung
" 2 " " " "i@ = " +V (q;N=") =:H t g
2aufH =L (NC;d) zu nden, wobei g aufB der Ruc kzug von G mittels=2
des Di eomorphismus und au erhalb von B geeignet fortgesetzt ist,=2
sowie d das zu g assozierte Ma bezeichnet.
5Die grundlegende Idee dazu ist die folgende: Auf der UntermannigfaltigkeitC
asstl sich der Laplace-Beltrami-Operator von ( NC;g) wie folgt aufspalten:
= + ;g g N
wobei der Laplace-Beltrami-Operator aufC und der Laplace-Operatorg N
in der Faser des Normalenbun dels ist. Es zeigt sich, dass sich , zumindestg
bis auf Fehler der Ordnung ", global in und einen geeigneten horizon-N
talen Laplace-Operator aufspaltenasst.l Dann liefert das Reskalieren derh
normalen Koordinaten zu n =N=", dass
2H = " + V (q;n) +O("): (4)" h n
Die Form dieses Operators ist dieselbe wie die des Hamilton-Operators (2),
der der Ausgangspunkt fur die Born-Oppenheimer-Approximation ist, wo "
der inversen Kernmasse entspricht. Dies legt nahe, dass auch