Efficient numerical solution of the variance-optimal hedging problem in geometric Lévy models [Elektronische Ressource] / Bernhard Antonin Johannes Vesenmayer

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• Publié par: technische_universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Deutsch
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Extrait

Technische Universit at Munc hen
Zentrum Mathematik
E cient Numerical Solution Of The
Variance-Optimal Hedging Problem In
Geometric Levy Models
Bernhard Antonin Johannes Vesenmayer
Vollst andiger Abdruck der von der Fakult at fur Mathematik der Technischen Univer-
sit at Munc hen zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Folkmar Bornemann
Prufer der Dissertation: 1. Dr. Jan Kallsen,
Christian-Albrechts-Universit at zu Kiel
2. Univ.-Prof. Dr. Christoph Schwab,
Eidgen ossische Technische Hochschule Zuric h/Schweiz,
(schriftliche Beurteilung)
3. Jun.-Prof. Dr. Brigitte Forster-Heinlein
Die Dissertation wurde am 5.11.2008 bei der Technischen Universit at eingereicht und
durch die Fakult at fur Mathematik am 18.5.2009 angenommen.Zusammenfassung
Das Ziel dieser Arbeit ist es, ein o enes e zientes numerisches Verfahren zur Berech-
nung des varianz-optimalen Hedgefehlers einer europ aischen Option fur exponentielle
Levy Prozesse im Martingalfall mit eingehender Fehleranalyse zu entwickeln. E zient
hei t hierbei, dass das Verh altnis Aufwand zu Konvergenzrate gering gehalten wird.
O en bedeutet, dass es die M oglichkeit einer ebenfalls e zienten Erweiterung fur bes-
timmte pfadabh angige Optionen gibt.
Dies geschieht auf Basis des Verfahrens von [MSW06]. In dieser Arbeit wird sich
dazu auf das Problem der Berechnung des Hedgefehlers einer europ aischen Option
beschr ankt. Falls die zugrundeliegende Aktie durch eine geometrische Brownsche Be-
wegung modelliert wird, fuhrt dies zu einem vollst andigen Markt, in welchem alle
solche Zufallsvariablen exakt dupliziert werden k onnen. Die Nachteile einer solchen
Modellierung in Bezug auf das Risiko bei gro en Marktbewegungen fuhrten zu Mod-
ellen, in welchen auch Sprunge erlaubt sind. Dadurch entstehen unvollst andige M arkte,
in welchen die europ aische Option im allgemeinen nicht dupliziert werden kann. In
diesem Fall wird klassischerweise versucht, den entstehenden folgenden varianz-op-
timalen Hedgefehler
2J :=E((H(S ) v +# S ) )0 T T
ub er allen zul assigen Hedgingstrategien # und allen m oglichen Anfangsinvestitionen v
zu minimieren. Hierbei seiH die Auszahlungsfunktion der Option, S der diskontierte
Aktienpreisprozess, der Malpunkt repr asentiere die stochastische Integration, und T
sei der Zeithorizont. In diesem Falle entspricht die Berechnung des Hedgefehlers einer
Projektion des Optionspreisprozesses V := E(H(S )jF ) auf einen Raum stochastis-t T t
cher Integrale.
Das Hedging Problem wurde schon eingehend untersucht. Einen Uberblick hierub er
liefern [Pha00] und [Sch01b]. Im weiteren Verlauf wurden fur verschiedene Prozess-
klassen mehrere mehr oder minder explizite Darstellungen der optimalen Hedgingstra-
tegie und des Hedgefehlers entwickelt. In [BL89] wird hierzu der carre-du-champ
Operator verwendet, der Malliavin Kalkul ist die Grundlage fur die Darstellung in
+[BNLk 03], [HPS01] verwendeten fur eine Klasse von stetigen Modellen einen par-
tiellen Di erentialgleichungsansatz, und in [HKK06] ist die Laplace Transformation
ma gebend. In [ CK07] wurden weitere Darstellungen auch fur den Nicht-Martingal
Fall entwickelt.
Explizit berechnet wurde der Hedgefehler als solcher z.B. in [CTV05], [HPS01] und in
[HKK06] mit einer Erweiterung fur stochastische Volatilit atsmodelle von [Pau07]. Er-
iiiii
stere verwenden dazu ein rechenintensives Monte-Carlo Verfahren. Im zweiten Ansatz,
der fur eine Klasse von stetigen Modellen gezeigt wurde, wird eine partielle Di eren-
tialgleichung mit einem Finite Di erenzen Verfahren gel ost. Letztere verwenden die
Integraltransformationsmethode, um einen Ausdruck fur J als komplexes Doppelin-0
tegral zu gewinnen. Ein explizites numerisches Verfahren mit Fehleranalyse wurde hi-
erzu jedoch noch nicht vorgestellt, und es besteht hier keine Erweiterungsm oglichkeit
zu pfadabh angigen Optionen.
In dieser Arbeit wird nun eine neue numerische Methode basierend auf der Darstellung
des Hedgefehlers mit Hilfe des carre-du-champs Operators nach [BL89] entwickelt und
mit Fehlerabsch atzungen versehen. Wir beschr anken uns in dieser Arbeit jedoch auf
den eindimensionalen exponentiellen Levy Prozess als Aktienkursmodell im Martin-
galfall.
Fur glatte Auszahlungsfunktionen H wird der entsprechende Hedgefehler J dazu
auf eine neue Weise repr asentiert, welche auf die Ergebnisse von [ CK07] zuruc kgreift
und eine Entsprechung von [HPS01] fur den Levy-Fall darstellt. Und zwar als L osung
einer parabolischen Integro-Di erentialgleichung, welche die Optionspreisfunktion als
Datum verwendet. Der Hedgefehler J ist n amlich gegeben durch J = J (T;S ),00 0
wobei J (t;x) die folgende Gleichungost:l
@
J (t;x) +AJ (t;x) = (V ;V )(t;x); 8(t;x);
@t
J (0;x) = 0; 8x:
Hierbei bezeichnet A den Generator von S und
V SV 2 S 1 (V ;V ) =c~ (c~ ) (c~ ) ;
wobei hier c~ als Funktion aus der modi zierten di erentiellen Semimartingalcharak-
teristik von (S;V ) gewonnen werden kann. Die L osung des usprunglic hen Hedging
Problems wird dann durch L osungen des Problems unter Verwendung der approxima-
tiven Auszahlungsfunktionen H approximiert.
Wegen der Ahnlichkeit zur bekannten Kolmogorowschen Ruc kw artsgleichung, welche
verwendet wird, um den OptionspreisprozessV zu bestimmen, kann nun die e ziente
numerische Behandlung dieser Art von Di erentialgleichungen aus [MSW06] angewen-
det werden. Dies wird so bewerkstelligt, dass die Implementierung lediglich als Zusatz
zu derjenigen des Optionspreises realisiert werden kann. Das hei t, es werden hierzu
nur Objekte verwendet, welche leicht aus den fur die Optionspreisberechnung vorher
assemblierten gewonnen werden k onnen.
Ebenso wie in der obigen Referenz wird die Gleichung nun zun achst im Ort lokalisiert
und dann in eine variationelle Form unter Verwendung desN-dimensionalen diskreten
Raumes X gebracht. Dieser besteht aus allen insgesamt stetigen Funktionen, welcheh
eingeschr ankt auf ein Teilintervall durch ein Polynom vom Grad p beschrieben wer-
den. Der ublic he Finite-Elemente Ansatz fuhrt aber in diesem Falle zu vollbesetzten
Matrizen. Daher wird eine Matrixkompressionsmethode eingesetzt, welche die Zahl
der nichttrivialen Eintr age auf O(N logN) reduziert. Die Assemblierung der rechteniv
Seite, d.h. die Berechnung von ( (V ;V );v);v 2 X , wird als m oglicher Zusatzh
zur Implementierung der Optionspreisberechnung realisiert. Insgesamt bel auft sich
der Rechenaufwand der Assemblierung der Gleichung und deren L osung mit Hilfe des
7GMRES Verfahrens aufO(N(logN) ) Rechenschritte pro Zeitpunkt. Fur die fehlende
Zeitdiskretisierung wird nun das unstetige Galerkin Schema unter Ausnutzung der
Analytizit at der L osung eingesetzt. Zusammen mit der glatten Ann aherung durch
8 (6+)%H bel auft sich damit Gesamtaufwand immer noch auf O(N(logN) ) Rechen-
schritte, w ahrend der Fehler als Potenz der Gitterweite abgesch atzt werden kann.
Hierbei bezeichnet 0<% 2 die Ordnung von A und den Parameter der Gl attung
von H zu H .
Letztlich werden dann noch Implementierungsdetails er ortert, w ahrend schlie lich nu-
merische Experimente vorgestellt werden. Dazu werden die Ergebnisse der Berech-
nung mit den entsprechenden Funktionen, welche mit Hilfe der Integraltransforma-
tionsmethode gewonnen wurden, verglichen. Damit k onnen die Konvergenz und deren
Geschwindigkeit, welche vorher theoretisch ermittelt wurden, anhand dieser Ergebnisse
nachgewiesen werden.Abstract
The aim of this thesis is to provide an open and e cient numerical method for the
computation of the variance-optimal hedging error of a European option for exponen-
tial Levy models in the martingale case using the method of [MSW06] together with a
thorough error analysis. E cient in this case means that the ratio between complexity
and order of convergence is kept small while open means that there is the possibility
of generalizing it to certain path-dependent options.
More speci cally, in this thesis the problem of computing the hedging error of a Eu-
ropean option is considered. If the underlying is modeled via a geometric Brownian
motion, this leads to a complete market, where every such claim can be replicated.
But the shortcomings of such models in representing the risk related to large market
movements have led to models of the underlying which allow for jumps. Those lead
to incomplete markets, where the replication of a European option claim is typically
impossible. In this setting the classical approach is to minimize the variance-optimal
hedging error
2J :=E((H(S ) v +# S ) )0 T T
over all reasonable hedging strategies # and possibly all endowments v. Here, H
represents the payo function, S the discounted price process of the underlying, the dot
refers to stochastic integration, andT is the time horizon. In this case the computation
of the hedging errorJ amounts to computing the projection of the option price process0
V :=E(H(S )jF ) onto a space of stochastic integrals.t T t
The hedging problem has already been extensively studied. An overview over the
literature is given in [Pha00] and [Sch01b]. In due course several more or less explicit
representations of the hedging strategy and the error have been developed. [BL89] have
provided an expression using the carre-du-champ operator, the