Efficient verification of quantum resources [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Harald Wunderlich

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• Publié par: universitat_ulm
• Publié le: 01 janvier 2011
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

UniversitätUlm|89069Ulm|Germany Fakultät für
Naturwissenschaften
Institut für Theoretische
Physik
Efficient Verification of
Quantum Resources
Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades Dr. rer. nat. der Fakultät für
Naturwissenschaften der Universität Ulm
vorgelegt von Harald Wunderlich aus Sapporo (Japan), 2011.iii
Amtierender Dekan: Prof. Dr. Axel Groß
Erstgutachter: Prof. Dr. Martin B. Plenio
Zweitgutachter: Prof. Dr. Tommaso Calarco
Tag der Promotion: 17.03.2011Zusammenfassung
Die Quantenmechanik ist eine Theorie mit vielen Eigenschaften, die sich
grundlegend von der klassischen Physik unterscheiden. Als prominente Bei-
spiele sind hier insbesondere Quantenkorrelationen und Nichtlokalität zu nen-
nen. In der Quanteninformationsverarbeitung versucht man solche Quanten-
Eigenschaften für neuartige Anwendungen in der Informationsverarbeitung
wie beispielsweise Quantencomputer oder sichere Kommunikation zu nutzen.
Das Kernstück vieler Anwendungen in der Quanteninformationsverarbeitung
bilden verschränkte Zustände. Daher ist die Detektion und Quantifizierung
vonVerschränkungzueinemwichtigenForschungsgebietgeworden. Einwesent-
liches Hindernis - sowohl aus experimenteller Sicht wie auch theoretisch -
bei der Detektion und Quantifizierung von Verschränkung ist die Größe des
Hilbertraums, die exponentiell mit der Anzahl der Teilsysteme wächst. Daher
sind hochentwickelte, effiziente Methoden erforderlich, um dieses Problem zu
lösen.
In dieser Dissertation werden Lösungen für unterschiedliche Fälle entwick-
elt. Der grundlegende Ansatz dieser Dissertation ist der folgende: um zu
vermeiden, dass die gesamte Dichte-Matrix eines experimentellen Zustandes
gemessen werden muss, mißt man nur bestimmte Observablen, um dann im
Anschluss mit den Meßwerten kompatible obere und/oder untere Grenzen an
die Größen bestimmt, an denen man interessiert ist wie z. B. Fidelity, Rein-
heit oder Verschränkungsmaße. In diesem Sinn ist der hier verfolgte Ansatz
ein worst-case Ansatz.
Im ersten Teil der Dissertation wird der Schwerpunkt auf die Verifizierung
von Experimenten mit Graphenzuständen gelegt. Graphenzustände bilden
eine Klasse von Stabilisatorzuständen, die Zustände sind, die eindeutig über
Eigenwertgleichungen durch eine Menge von Operatoren (sogenannte Stabil-
isatoren) definiert sind, die eine abelsche Gruppe generieren, die Stabilisator-
Gruppe. DieseZuständesindRessourcenfürmessungs-basiertesQuantencom-
puting, Fehlerkorrekturen und Nichtlokalitäts-Checks. Wir zeigen, dass allein
durch das Messen der Generatoren der Stabilisator-Gruppe optimale Grenzen
andieFidelitymitdemZielzustand, derReinheit, derEntropiesowiehochwer-
tige Grenzen an Verschränkungsmaße bestimmt werden können. Ferner zeigen
wir, wie man solche Methoden generalisieren kann.
In vielen Experimenten, z. B. mit Photonen oder gefangenen Ionen, kannii
man die Eigenschaften des Systems lokal messen. Dies ist allgemein jedoch
nicht der Fall in Festkörpersystemen oder kalten Quantengasen. Hier muss
der Experimentalist auf kollektive Messungen ausweichen, um Informationen
über das System zu erlangen. Prominente Beispiele sind Neutronen-Streuung
an Kristallen oder time-of-flight imaging von Bosonen in optischen Gittern.
Da solche Messungen nur sehr beschränkten Zugriff auf das System erlauben,
ist es naturgemäß schwierig, aus solchen Messungen Quantenkorrelationen
zu folgern. Trotzdem stellen wir Methoden vor, um mit solchen kollektiven
Messungen Verschränkung zu quantifizieren. Das erste Ergebnis in diesem
ZusammenhangisteinquantitativerVerschränkungszeuge(einMeß-Operator,
aus dem man die Existenz von Verschränkung folgern kann), der einzig auf
der Messung von statischen Spin-Strukturfaktoren beruht, die routinemäßig
in Neutronen-Streuexperimenten gemessen werden. Das zweite Ergebnis ist
ein quantitativer Verschränkungszeuge, der auf time-of-flight Messungen von
Bosonen in optischen Gittern basiert. Die entwickelten Methoden sind so
allgemein wie nur möglich gehalten und machen keine Annahmen über das
System, z. B. über den Hamiltonian. Ferner wird die Skalierung der entwick-
elten Methoden mit Hilfe von Quanten-Monte-Carlo-Methoden überprüft.
Die Quantentheorie beinhaltet viele interessante Eigenschaften wie Ver-
schänkungundNichtlokalität. JedochkannmansichKorrelationenvorstellen,
die allgemeiner als Quantenkorrelationen sind. Dies wirft die Frage auf, ob
Quantenkorrelationen die stärksten in der Natur möglichen Korrelationen
sind. Und wenn dies so ist, warum? Andererseits, wie könnte man die Quan-
tentheorie experimentell widerlegen, wenn sie nicht die allgemeinste Theorie
ist?
Im letzten Teil der Dissertation entwickeln wir ein neues Axiom, näm-
lich makroskopische Lokalität. Die Idee hinter diesem Axiom ist, dass jede
physikalischeTheorieklassischePhysikimKontinuumslimesreproduziert(z.B.
wenn eine große Zahl Teilchen involviert ist, die nicht einzeln mit Detektoren
aufgelöst werden können). Wir zeigen, dass dieses intuitive Axiom zusammen
mit dem Nonsignaling-Prinzip zu vielen wichtigen Ergebnissen der Quanten-
physik führt, wie z. B. die Universalität der Tsirelson-Grenze oder der Menge
der zugänglichen Zweipunktskorrelatoren. Zudem charakterisieren wir voll-
ständig die Korrelationen zwischen zwei räumlich getrennten physikalischen
Systemen, welche aus den beiden genannten Axiomen hervortreten können.
Die Menge der möglichen Korrelationen, die aus dem Nonsignaling-Prinzip
und makroskopischer Lokalität hervortreten können, ist der Menge der Quan-iii
tenkorrelationen zwar sehr ähnlich, aber nicht identisch. Wenn man makros-
kopische Lokalität als fundamentales Naturgesetz betrachtet, so würde im
Prinzip eine Abweichung von der Quantenphysik durch ein Bell-Experiment
detektierbar sein.Abstract
Quantum mechanics is a theory offering many interesting properties which
are distinctly different from classical physics, e.g., quantum correlations and
non-locality. Quantum information theory utilizes such quantum properties
to enable novel applications in information processing such as quantum com-
putingandsecurecommunication. Attheheartofmanyquantuminformation
processing applications lie entangled states. Hence, the detection and char-
acterization and quantification of entanglement has become an important re-
search area. A major obstacle in detecting and quantifying entanglement both
from a theoretical and experimental point of view is the size of the Hilbert
space which grows exponentially with the number of constituents involved.
Therefore, sophisticated methods are required to tackle this problem.
This thesis provides solutions to this problem for several different cases.
The approach taken in this thesis is the following: to avoid measuring the
full density matrix in an experiment, one measures certain observables, and
then determines lower and/or upper bounds on a quantity of interest such as
fidelity or entanglement consistent with the measurement data. In this sense
we follow a worst-case approach.
In the first part of this thesis the emphasis is put on the verification of
graph state experiments. Graph states are a class of stabilizer states which
are states uniquely described by a set of operators that generate an abelian
group called the stabilizer. They are resource states for measurement-based
quantum computation, error-correction codes and non-locality tests. We show
thatbymeasuringthegeneratorsofthestabilizeraloneonecanobtainoptimal
boundsonthefidelitywiththetargetstate, purityandentropyaswellashigh-
quality bounds on entanglement measures, thus providing an efficient way to
verifygraph stateexperiments. We alsogive anoutlook onhowthe techniques
can be generalized.
While in certain experimental settings, for instance those using photons
or trapped ions, it is possible to measure properties of the system locally on
all sites, this is not the case in condensed matter systems or cold quantum
gases. Here, the experimentalist has to resort to collective measurements to
gain access to information on the system. Typical examples are neutron-
scattering from crystals described by an antiferromagnet Heisenberg model,
or time-of-flight imaging measurements of bosons in optical lattices. As suchvi
measurements are coarse-grained it is naturally a challenge to use such mea-
surement data to detect and quantify quantum correlations. However, in
the next part we develop techniques that allow to quantitatively verify quan-
tum entanglement from such collective measurements. The first of the two
main results in this chapter is a quantitative entanglement witness that relies
merely on measurements of the structure factor, which is routinely measured
in neutron-scattering experiments. The second result is the development of
a quantitative entanglement witness based on time-of-flight distributions of
bosons in an optical lattice. The methods developed here are in their most
general form and make no assumption on the system, e.g. on the Hamiltonian.
Furthermore,