Electronique quantique

Sibille

Description

PA101
Electronique quantique
ème
9
Cours
"Du quantique au classique"
[e-mail]
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PA101
Qu’avons-nous déjà
appris ?
Les objets macroscopiques possèdent un grand nombre
de
particules
et
sont
de
grande taille. Cela rend illusoire la description exacte de l'état quantique de toutes
le
s
particules. L'objectif de la physique statistique est de calculer des moyennes.
La
théorie de l'information nous a permis
d'obtenir une définition microscopique d
e

l'entropie, mettant en jeu le
s probabilités des microétats.
Le principe fondamental de la
physique
st
atistique énonce qu'à l'équilibre

thermodynamique le jeu de probabilité
s maximise l'entropie statistique
Nous avons obtenu ce jeu de probabilités
pour
les
3 ensembles essentiels :
microcanonique, canoniq
ue et grand canonique.
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PA101
Progression
Les grands concepts
L'énoncé des principes de la théorie quantique
l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique
Les principes de la physique statistique
Illustrations quantique-statistique
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PA101
Plan de la séance
La thermodynamique retrouvée
Fluctuations et limite thermodynamique
Statistique quantique vs. statistique classique
Paradoxe de Gibbs et indiscernabilité
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PA101
La thermodynamique retrouvée
µétat
I+II
= µétat
I
⊗
µétat
II
Thermostat
Considérons deux sous-systèmes :
chaleur

β
chaleur
S'ils sont considérés indépendamment :
II
I
I

Z
=
exp
(
−
β
E
)
...

Sujets

• États du Venezuela
• Mécanique quantique
• Physique statistique
• Particules indiscernables
• École polytechnique de l'université de Nantes
• Paradoxe de Gibbs

Informations

• Publié par: Mothung
• Nombre de lectures: 106
• Langue: Français

Extrait

82/1 Electronique quantique 9èmeCours "Du quantique au classique" 101AP [e-mail]

Qu’avons-nous déjàappris ? PA10 ‰Les objets macroscopiques possèdent un grand nombre de particules et sont de grande taille. Cela rend illusoire la description exacte de l'état quantique de toutes les particules. L'objectif de la physique statistique est de calculer des moyennes. ‰La théorie de l'information nous a permis d'obtenir une définition microscopique de l'entropie, mettant en jeu les probabilités des microétats. ‰Le principe fondamental de la physique statistique énonce qu'à l'équilibre thermodynamique le jeu de probabilités maximise l'entropie statistique ‰Nous avons obtenu ce jeu de probabilités pour les 3 ensembles essentiels : microcanonique, canonique et grand canonique. 82/2 1

82/3 Progression ‰Les grands concepts ‰L'énoncé des principes de la théorie quantique AP101 ‰l'utilisation et les conséquences du formalisme de la théorie quantique ‰ Les principes de la physique statistique ‰Illustrations quantique-statistique

82/4 Plan de la séance ‰La thermodynamique retrouvée ‰Fluctuations et limite thermodynamique ‰Statistique quantique vs. statistique classique ‰ Paradoxe de Gibbs et indiscernabilité 01AP1

La thermodynamique retrouvée PA101 µétat I+II= µétatI ⊗ µétatII ‰Considérons deux sous-systèmes : Thermostat S'ils sont considérés indépendamment : chaleur   β chaleur III II  Z I = ∑ exp( −β I E i I ) Z II = ∑ exp( −β II E j ) i µétatI j µétatII   β I chaleur   β II S'ils sont considérés ensemble : ⎛⎞  Z I + II ( β ) = ∑ exp −β (E i I + E j II ) = ⎛ ⎜ ∑ exp( −β E i I ) ⎞ ⎟ ⎜ ∑ exp( −β E j II ) ⎟ = Z I ⋅ Z II ( β )   i,j ⎝ i ⎠ ⎝ j ⎠ Probabilité d'un µétat du ss-système I : p i I = exp( −β I E i I )/Z I ( β I ) (système I isolément) exp −β (E I + E II ) (système I faisant partie de I+II ) ∑ ijII p I = j µétatII = exp −β E i ⋅ exp −β E II = exp −β E i ∑ ij Z I + II ( β )Z I ( β ) ⋅ Z II ( β ) j Z I ( β ) Conclusion : nécessairement β I =β II =β . β apparaît comme une variable (intensive) caractéristique de l'échange de chaleur avec l'extérieur. Ceci permet d'identifier β    à (une fonction de) la température. 82/5

‰'Li La thermodynamique retrouvée tnrerptétaoi ntstasiituq eedl é'engrei( nietnr)ed  uystsmè e'scéirt U 1AP10 = ∑ p i E i . i En différentiant : dU = ∑ E i dp i + ∑ p i dE i =δ Q +δ W ii Ceci est l'expression microscopique du 1 er principe de la thermodynamique 82/6 E 3E δ 2E 1E Q = ∑ i E i pd i E'3p3 p2E'2 '1p1E chaleur 3p 2p 1p travai '3E E'2 '1E l δ W = 3p 2p 1p ∑ p i dE i i

La thermodynamique retrouvée 101AP ‰Maintenant que nous connaissons le jeu de probabilités des µétats, nous sommes armés pour calculer des moyennes d'ensemble, par exemple l'énergie dans l'ensemble canonique. D'après la loi de Boltzmann : exp( −β E j ) = p   j Z ∂  U=-ln ( Z )   β∂ ∑ E i exp( −β E i ) ∂⎛⎞ iU= ∑ exp( −β E i )  =- ∂β ln ⎝ ⎜ i ∑ exp( −β E i ) ⎠ ⎟ i Pour l'entropie statistique: 2/78 xep(E) I= − ∑ p i ln(p i ) =− ∑ p i  ln ⎛ ⎜ −β i ⎞ ⎟ = ∑ p i ln(Z) +β ∑ p i E i ii ⎝Z⎠ ii I=ln(Z) +β U 

/882 La thermodynamique retrouvée I=ln(Z) +β U   dI= d Z Z +β dU +Ud β ) dI= ⎧ ⎨ − ∑ E i exp( −β E i ) d β−β ∑ exp( −β E idE i ⎫ ⎬ +β dU +Ud β ⎩ i Z i Z ⎭ dI =− Ud β−βδ W +β dU +Ud β=βδ Q 101AP On est donc bien conduit àidentifier entropiestatistique et entropie thermodynamique moyennant l'introduction d'une constante de proportionnalité:   S = k B I   δ Q Qui amène à :   dS =    avec : β= 1/k B T   T Nous avons donc retrouvé le 2 ème principe de la thermodynamique

La thermodynamique retrouvée PA10 ‰La définition microscopique de l'entropie nous permet d'énoncer un 3ème principe de la thermodynamique (principe de Nernst, 1906) : L'entropie de tout système physique à l'équilibre tend vers zéro lorsque la température tend vers zéro. En effet S=k B ⋅ ln(Z) + k B β U  ≅ k B ⋅ ln(exp( −β E 0 )) + k B β E 0 ≅ 0 se t'lnéreig eud ofdnmaneat.l nU ocorlliar E  ùO 0 impossible d'atteindre le zéro absolu en un temps fini. 82/9  eed ec rpniicep se tuqi' lse t 1

La thermodynamique retrouvée ‰Dans l'ensemble grand canonique, on démontre aisément de la mêmefaçon : (nZ)U AP101 N U −μ N =− ∂ ln(Z GC ) N = 1 ∂ l GC S = k B ⋅ ln(Z GC ) + −μ    ∂ββ∂μ T dS équilibre = k B β (dU −μ dN −δ W)   dS = δ Q −μ dN    T ùO  Nset chimique. β et μ so   n el  t   d n o o n m  c b d er se     m v o ra y i e a n lb   e d  s e i   n p t a e r n t s i i c v u e el ,s s   . c   a C r e a c tc i é p ir e s r a m tn e  l  t  e d r i' é d s e e n r t v fi o i i e  r  r d μ au potentiel  ehclaue ruo ed  particules, qui impose la valeur de ces variables au système lorsque l'équilibre est atteint. 82/01

Fluctuations et limite thermodynamique 101AP ‰Dans l'ensemble canonique, les fluctuations d'échange d'énergie avec le réservoir sont données par la variance de l'énergie : 22 ( Δ E ) 2 = ∑ p i E i 2 − ⎛ ⎜ ∑ p i E i ⎞ ⎟ = 1 ∑ exp ( −β E i ) E i 2 − ⎛ ⎜ 1 ∑ exp ( −β E i ) E i ⎞ ⎟ i ⎝ i ⎠ Z i ⎝ Z i ⎠ 2 2 Or Z = ∑ exp ( −β E i ) d'où ( Δ E ) 2 = 1 ⋅ ∂ Z 2 − 1 2 ⋅ ⎛ ⎜ ∂ Z ⎞ ⎟ i Z ∂β Z ⎝ ∂β ⎠ Sachant que U =− ∂ ln ( Z ) ∂β Soit : ( Δ E ) 2 =− ∂ U ∂β 182/1 ∂ U ∂⎛∂ nlZ ⎞ 1 ∂ 2 Z1 ⎛∂ Z ⎞ )( ∂β = ∂β ⎝ ⎜− ∂β ⎠ ⎟=− Z ⋅ ∂β 2 + Z 2 ⋅ ⎝ ⎜ ∂β ⎠ ⎟ 2