Equivariant Ricci flow with surgery [Elektronische Ressource] / vorgelegt von Jonathan Dinkelbach

Jonathan Dinkelbach

Description

Equivariant Ricci-Flow with SurgeryJonathan DinkelbachMunch¨ en 2008Equivariant Ricci-Flow with SurgeryJonathan DinkelbachDissertation an der Fakult¨atfu¨r Mathematik, Informatik und Statistikder Ludwig–Maximilians–Universit¨atMun¨ chenvorgelegt vonJonathan Dinkelbachaus Freiburg im BreisgauMun¨ chen, den 12. August 2008Erstgutachter: Prof. Bernhard Leeb, Ph.D.Zweitgutachter: Prof. Dr. Frank LooseTag der mundl¨ ichen Prufung:¨ 17. September 2008ZusammenfassungIn dieser Arbeit untersuchen wir Perelmans Ricci-Fluss mit Chirur-gie auf geschlossenen 3–Mannigfaltigkeiten, deren Ausgangsmetrik inva-riant unter einer vorgegebenen glatten Wirkung einer endlichen Grup-pe ist. Eine solche Metrik kann stets durch Mittelung einer beliebigenRiemannschen Metrik erzeugt werden, und wegen der Eindeutigkeit desRicci-Flusses bleibt dieser bis zum Auftreten von Singularitaten invari-¨antunterderGruppenwirkung.DietechnischeSchwierigkeitbestehtnundarin, Symmetrien der evolvierenden Metrik zu kontrollieren, wenn sichder Fluss einer Singularitat nahert.¨ ¨2ZudiesemZweckkonstruierenwireineinvariantesingulareS –Blatte-¨ ¨rungaufdemBereichderMannigfaltigkeit,dervonderChirurgiebetrof-fen ist. Insbesondere ermogli¨ cht es diese, den Chirurgieprozess aqui¨ vari-ant durchzufuhren¨ und die Gruppenwirkung auf solchen Komponentenzu analysieren, die bei der Chirurgie komplett entfernt werden.

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• Mathematics

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• Publié par: ludwig-maximilians-universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2008
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• Langue: Deutsch

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Equivariant Ricci-Flow with Surgery

Mu¨nchen2008

Jonathan Dinkelbach

Equivariant

Ricci-Flow

with

Surgery

Jonathan Dinkelbach

DissertationanderFakult¨at fu¨rMathematik,InformatikundStatistik derLudwig–Maximilians–Universita¨t Mu¨nchen

vorgelegt von Jonathan Dinkelbach aus Freiburg im Breisgau

M¨unchen,den12.August2008

Erstgutachter: Zweitgutachter: Tagdermu¨ndlichenPr¨ufung:

Prof. Bernhard Leeb, Ph. D. Prof. Dr. Frank Loose 17. September 2008

Zusammenfassung

In dieser Arbeit untersuchen wir Perelmans Ricci-Fluss mit Chirur- gie auf geschlossenen 3–Mannigfaltigkeiten, deren Ausgangsmetrik inva- riant unter einer vorgegebenen glatten Wirkung einer endlichen Grup- pe ist. Eine solche Metrik kann stets durch Mittelung einer beliebigen Riemannschen Metrik erzeugt werden, und wegen der Eindeutigkeit des Ricci-FlussesbleibtdieserbiszumAuftretenvonSingularita ¨ teninvari- ant unter der Gruppenwirkung. Die technische Schwierigkeit besteht nun darin, Symmetrien der evolvierenden Metrik zu kontrollieren, wenn sich derFlusseinerSingularit ¨ atn ¨ ahert. ZudiesemZweckkonstruierenwireineinvariantesingula ¨ reS 2 ¨ ltaB–-te rung auf dem Bereich der Mannigfaltigkeit, der von der Chirurgie betrof- fenist.Insbesondereerm ¨ oglichtesdiese,denChirurgieprozess ¨ aquivari- antdurchzuf ¨ uhrenunddieGruppenwirkungaufsolchenKomponenten zuanalysieren,diebeiderChirurgiekomplettentferntwerden.Daru ¨ ber hinausl ¨ asstsichmitHilfederBla ¨ tterungbeschreiben,wiedieGrup- penwirkungenvorundnachderChirurgiezusammenha ¨ ngen.Dadurch lassen sich aus dem Langzeitverhalten des Ricci-Flusses und der Grup- penwirkungRu ¨ ckschl ¨ usseaufdieurspru ¨ nglicheWirkungziehen. Als Anwendung zeigen wir, dass jede glatte endliche Gruppenwirkung auf einer geschlossenen geometrischen 3–dimensionalen Mannigfaltigkeit mitspha ¨ rischer,hyperbolischeroderS 2 ×RG–emoeietrrtveagr ¨ chlitmi dergeometrischenStrukturist,dassalsoeineinvariantevollsta ¨ ndigelo- kalhomogeneRiemannscheMetrikexistiert.Dieslo ¨ steinevonWilliam Thurston aufgestellte Frage zu Gruppenwirkungen auf geometrischen 3–Mannigfaltigkeiten,dief ¨ urdie ¨ ubrigenf ¨ unfGeometrienbereitsvon MeeksundScottgel ¨ ostwurde[MS86].

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Abstract

In this thesis we study Perelman’s Ricci-flow with surgery on closed 3-manifolds on which the initial metric is invariant under a given smooth finite group action. Such a metric can always be obtained by averaging an arbitrary metric, and due to its uniqueness the Ricci-flow stays invariant until the first singular time. The main technical difficulty is to control the symmetries of the evolving metric when the flow approaches a singular time. In order to get such a control, we construct an invariant singularS 2 – foliation on the part of the manifold which is affected by the surgery. In particular this foliation enables us to perform the surgery process in an equivariant way and to analyze the action on those components which get extinct at the surgery time, since they are completely covered by the foliation. Moreover, it relates the group actions before and after a surgery. Thus, we can conclude properties of the initial group action from the long time behavior of the equivariant flow. As an application we show that any smooth finite group action on a closed geometric 3-manifold with spherical, hyperbolic orS 2 ×R– geometry is compatible with the geometric structure, i. e. there exists an invariant complete locally homogeneous Riemannian metric. This solves a question of William Thurston for smooth group actions on geometric 3–manifolds, which was proved for the other five geometries by Meeks and Scott [MS86].

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Introduction

Topological and geometrical preliminaries 1.1 Geometric structures . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Standard actions . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Comparing Riemannian metrics . . . . . . . . 1.4 Conjugation of close actions . . . . . . . . . . 1.5 Equivariant diffeomorphisms of the 2–sphere . 1.6 Equivariant connected sum . . . . . . . . . .

Contents

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Perelman’s Ricci-flow with surgery 2.1κ– and standard solutions . . . . . . . . . . . 2.2 Geometry ofκ . . .– and standard solutions . 2.3 Regions approximated by local models . . . . 2.4 Ricci-flow with (r δ)–cutoff . . . . . . . . . .

Invariant singularS 2 –foliations 3.1 SingularS 2  . . . . . . . . . . .–foliations . 3.2 Invariant foliation of the neck-like region . . 3.3 Equivariant approximations by local models 3.4 Extending the foliation to the caps . . . . .

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7 7 9 12 14 15 20

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Actions on geometric manifolds 5.1 Actions on spherical manifolds . 5.2 Actions onS 2 ×R .–manifolds . 5.3 Actions on hyperbolic manifolds

61 61 62 64

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Equivariant Ricci-flow with cutoff 4.1 Existence of equivariant Ricci-flow with cutoff . 4.2 Effect of surgery on the group action . . . . . . 4.3 Group actions with finite extinction time . . .

45 45 47 52 55

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Bibliography

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