Estimating the quadratic covariation from asynchronous noisy high-frequency observations [Elektronische Ressource] / Markus Bibinger. Gutachter: Markus Reiß ; Vladimir Spokoiny ; Yacine Äit-Sahalia

Dipl.-Math. Markus Bibinger

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• Publié le: 01 janvier 2011
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Extrait

Estimating the Quadratic Covariation from
Asynchronous Noisy High-Frequency Observations
DISSERTATION
zur Erlangung des akademischen Grades
Dr. Rer. Nat.
im Fach Mathematik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Dipl.-Math. Markus Bibinger
geboren am 24.08.1981 in Ulm
Präsident der Humboldt-Universität zu Berlin:
Prof. Dr. Jan-Hendrik Olbertz
Dekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät II:
Prof. Dr. Elmar Kulke
Gutachter:
1. Prof. Dr. Markus Reiß
2. Prof. Dr. Vladimir Spokoiny
3. Prof. Dr. Yacine Aït-Sahalia
eingereicht am: 30.03.2011
Tag der mündlichen Prüfung: 15.07.2011Abstract
A nonparametric estimation approach for high-frequency observations from Itô
processes with an additive noise is developed. We consider a bivariate model with
asynchronous observation schemes and correlated Brownian motions. The goal is
to find a good estimator for the quadratic covariation of the two Itô processes that
paves the way for statistical inference.
It is proved that a closely related sequence of statistical experiments is locally
asymptotically normal (LAN) in the Le Cam sense. By virtue of this property optimal
convergence rates and efficiency bounds for asymptotic variances of estimators can
be concluded.
The proposed nonparametric estimator is founded on a combination of two modern
estimation methods devoted to an additive observation noise on the one hand and
asynchronous observation schemes on the other hand. Both are motivated and
introduced at first to provide the grounding on that the combined estimator for the
general model can be constructed. With the inflow of the theory by Hayashi and
Yoshida on the estimation problem for non-synchronous observations and influences
from other authors, we reinvent this Hayashi-Yoshida estimator in a new illustration
that can serve as a synchronization method which is possible to adapt for the
combined approach. A stable central limit theorem is proved focusing especially on
the impact of characteristics of non-synchronicity on the asymptotic variance.
With this preparations on hand, the generalized multiscale estimator for the noisy and
asynchronous setting arises. This convenient method for the general model is based
on subsampling and multiscale estimation techniques that have been established by
Mykland, ZhangandAït-Sahalia. Itpreservesvaluablefeaturesofthesynchronization
methodology and the estimators to cope with noise perturbation. The central result of
the thesis is that the estimation error of the generalized multiscale estimator converges
with optimal rate stably in law to a centred mixed normal limiting distribution on
fairly general regularity assumptions.
For the asymptotic variance a consistent estimator based on time transformed
histograms is given making the central limit theorem feasible. In an application
study a practicable estimation algorithm including a choice of tuning parameters is
tested for its features and finite sample size behaviour. We take account of recent
advances on the research field by other authors in comparisons and notes.
iiZusammenfassung
Ein nichtparametrisches Schätzverfahren für hochfrequente Beobachtungen von
Itô-Prozessen mit einem additiven Rauschen wird entwickelt. Zugrunde liegt ein
bivariates statistisches Modell mit nicht-synchronen Beobachtungsschemata und
korrelierten Brownschen Bewegungen. Das Ziel ist einen geeigneten Schätzer für die
quadratische Kovariation der Itô-Prozesse herzuleiten, welcher zudem den Weg zur
statistischen Inferenz ebnet.
Für eine artverwandte Folge von statistischen Experimenten wird die lokal asym-
ptotische Normalität (LAN) im Sinne von Le Cam bewiesen. Mit dieser lassen sich
optimale Konvergenzraten und Effizienzschranken für asymptotische Varianzen von
Schätzern ableiten. Der in dieser Arbeit vorgestellte nichtparametrische Schätzer
wird auf Grundlage von zwei modernen Schätzverfahren, für die Anwendung bei
nicht-synchronen Beobachtungen zum einen, und einem additiven Rauschen zum
anderen, entwickelt. Diese beiden werden zunächst motiviert und eingeführt um
das Fundament zu schaffen, auf dem aufbauend dann das kombinierte Verfahren
konstruiert werden kann. Mit Hilfe des Einflusses der Theorie von Hayashi und
Yoshida zu dem Schätzproblem bei nicht-synchronen Beobachtungen und weiterer
Einflüsse anderer Autoren, wird der Hayashi-Yoshida Schätzer in einer neuen Dar-
stellung eingeführt, welche einen Synchronisierungsalgorithmus mit einschließt, der
für die kombinierte Methode ausgelegt werden kann. Es wird eine stabiles zentrales
Grenzwerttheorem bewiesen, wobei spezieller Wert auf die Analyse des Einflusses
bestimmter Eigenschaften der Nicht-Synchronität auf die asymptotische Varianz
gelegt wird.
Nach diesen Vorbereitungen kann mit den entsprechenden Methoden das kombinierte
Schätzverfahren vorgestellt werden. Dieses für den allgemeinsten Fall nicht-synchroner
verrauschter Beobachtungen passende Verfahren beruht auf Subsampling- und Mul-
tiskalenmethoden, die auf Mykland, Zhang und Aït-Sahalia zurück gehen. Es vereint
positive Eigenschaften der beiden Ursprünge. Das zentrale Resultat dieser Arbeit
ist der Beweis, dass der Schätzfehler des sogenannten verallgemeinerten Multiska-
lenschätzers stabil in Verteilung gegen eine zentrierte gemischte Normalverteilung
konvergiert. Für die asymptotische Varianz wird ein konsistenter Schätzer unter
Verwendung von zeittransformierten Histogrammen angegeben wodurch das stabile
Konvergenztheorem nutzbar wird. In einer Anwendungsstudie wird eine praktische
Implementierung des Schätzverfahrens, die die Wahl von abhängigen Parametern
beinhaltet, getestet und auf ihre Eigenschaften im Falle endlicher Stichprobenumfän-
ge untersucht. Neuen fortgeschrittenen Entwicklungen auf dem Forschungsfeld von
Seite anderer Autoren wird Rechnung getragen durch Vergleiche und diesbezügliche
Kommentare.
iiiContents
Introduction 1
1 Theoretical Concepts 13
1.1 A concise survey of important theorems from stochastic calculus . . . . . 13
1.1.1 Stochastic integration and quadratic (co-)variation . . . . . . . . . 13
1.1.2 Girsanov’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.3 The time-change theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 The Cramér-Wold device . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 Stable convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Central limit theorems for triangular arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Limit for martingale triangular arrays . . . . . . . . . . . 22
1.3.2 Limit theorems for triangular arrays under weak dependence . . . 25
1.4 The stochastic Landau symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5 Local asymptotic normality and optimal rates of convergence . . . . . . . 28
2 Dealing with microstructure noise for synchronous observations 31
2.1 A connatural parametric model: Local asymptotic normality and the
optimal rate of convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Subsampling estimators for the integrated covariance . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Alternative estimation methods for the quadratic covariation . . . . . . . 43
3 Dealing with asynchronous sampling schemes for non-noisy observations 49
3.1 The Hayashi-Yoshida estimator and a related synchronization algorithm . 49
3.2 Asymptotics of the estimator: A stable central limit theorem . . . . . . . 55
3.3 Proof of the stable central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.3.1 Discretization error of the synchronous approximation . . . . . . . 61
3.3.2 Error due to non-synchronicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 The synchronized realized covariance under the influence of microstructure
noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 An estimation method in the presence of non-synchronicity and noise 81
4.1 A generalized multiscale approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Asymptotics of the estimators: Stable central limit theorems . . . . . . . 86
4.3 Proof of the stable central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.3.1 Error due to noise and choosing the weights . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2 Asymptotic discretization error of the one-scale subsampling esti-
mator and the generalized multiscale estimator . . . . . . . . . . . 102
vContents
4.3.3 Asymptotics of the cross term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5 Enhancement for feasible statistical inference and discussion of model speci-
fications 123
5.1 Histogram-based consistent estimation of the asymptotic variances . . . . 123
5.2 Independent Poisson observation schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3 Sample size dependent noise variances and relaxing some assumptions . . 141
6 Simulation study and real data analysis 147
6.1 Applying the estimation procedure: choice of tuning parameters . . . . . 147
6.2 Simulation study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3 Applic