Etude cinétique d un gaz à plusieurs composantes.
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Etude cinétique d'un gaz à plusieurs composantes.

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Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes.
Stéphane BRULL
Institut des mathématiques de Toulouse.
17 novembre 2008.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 1 / 67 Sommaire
1 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
2 Etude d’un système d’équations cinétiques pour un gaz à deux composantes
situé entre deux parois.
3 Effet fantôme pour un système cinétique pour un gaz à deux composantes.
4 Perspectives.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 2 / 67 Rappels sur l’équation de Boltzmann.
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 3 / 67 Equation de Boltzmann.
f(t,x,v) : densité de distribution→ nombre de particules qui à l’instant t
possèdent la position x et la vitesse v.
∂f
(t,x,v)+v·∇ f(t,x,v) = Q(f,f)(t,x,v).x
∂t
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 4 / 67 Opérateur de collision.
Z Z
0 0Q(f,f) = B(v−v ,ω)[f(t,x,v )f(t,x,v )−f(t,x,v)f(t,x,v )]dωdv ,∗ ∗ ∗∗
3 2
R S
(1)

0 0v = v−hv−v , ωiω, v = v +hv−v , ωiω,∗ ∗ ∗
2 3et ω parcourt la sphère unitéS deR .
B(v−v ,ω)→ Noyau de collision.∗
Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 5 / 67 Terme de gain Terme ...

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Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. Stéphane BRULL Institut des mathématiques de Toulouse. 17 novembre 2008. Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 1 / 67 Sommaire 1 Rappels sur l’équation de Boltzmann. 2 Etude d’un système d’équations cinétiques pour un gaz à deux composantes situé entre deux parois. 3 Effet fantôme pour un système cinétique pour un gaz à deux composantes. 4 Perspectives. Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 2 / 67 Rappels sur l’équation de Boltzmann. Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 3 / 67 Equation de Boltzmann. f(t,x,v) : densité de distribution→ nombre de particules qui à l’instant t possèdent la position x et la vitesse v. ∂f (t,x,v)+v·∇ f(t,x,v) = Q(f,f)(t,x,v).x ∂t Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 4 / 67 Opérateur de collision. Z Z 0 0Q(f,f) = B(v−v ,ω)[f(t,x,v )f(t,x,v )−f(t,x,v)f(t,x,v )]dωdv ,∗ ∗ ∗∗ 3 2 R S (1) où 0 0v = v−hv−v , ωiω, v = v +hv−v , ωiω,∗ ∗ ∗ 2 3et ω parcourt la sphère unitéS deR . B(v−v ,ω)→ Noyau de collision.∗ Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 5 / 67 Terme de gain Terme de perte. + −Q(f,f) = Q (f,f)−Q (f,f), avec Z Z + 0 0Q (f,f) = B(v−v ,ω)f(t,x,v )f(t,x,v ),dωdv∗ ∗∗ 3 2 R S et Z Z −Q (f,f) = B(v−v ,ω)f(t,x,v)f(t,x,v )dωdv .∗ ∗ ∗ 3 2 R S Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 6 / 67 Conditions de bord. Données au bord rentrantes. f(t,x,v) = f (t,x,v), t≥ 0, x∈ ∂Ω, hv,n (x)i < 0,b ext où f est une fonction donnée au bord.b Maxwell diffuses. s !3Z 222πm m mv0 0 0f(t,x,v) = hv ,n (x)if(t,x,v )dv exp(− ),ext RT 0 2πRT 2πRT0 hv ,n (x)>0i 0 0ext (x∈ ∂Ω,hn (x),vi < 0) ,ext où T est la température du bord ∂Ω, R est la constante des gaz parfaits et m est0 la masse d’une molécule de gaz. Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 7 / 67 Conditions de bord. Données au bord rentrantes. f(t,x,v) = f (t,x,v), t≥ 0, x∈ ∂Ω, hv,n (x)i < 0,b ext où f est une fonction donnée au bord.b Maxwell diffuses. s !3Z 222πm m mv0 0 0f(t,x,v) = hv ,n (x)if(t,x,v )dv exp(− ),ext RT 0 2πRT 2πRT0 hv ,n (x)>0i 0 0ext (x∈ ∂Ω,hn (x),vi < 0) ,ext où T est la température du bord ∂Ω, R est la constante des gaz parfaits et m est0 la masse d’une molécule de gaz. Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 7 / 67 Etude d’un système d’équations cinétiques pour un gaz à deux composantes situé entre deux parois. Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 8 / 67 Le problème étudié On considère l’équation de Boltzmann stationnaire pour un gaz à deux composantes pour la géométrie d’un barreau. ∂ ξ f (x,v) = Q(f ,f +f )(x,v)A A A B ∂x ∂ ξ f (x,v) = Q(f ,f +f )(x,v),B B A B ∂x 3x∈ [−1,1],v∈R . Les solutions de l’équation sont étudiées sous la contrainte : Z Z1 β (1+|v|) f (x,v)dxdv = M ,A A 3−1 Rv Z Z1 β (1+|v|) f (x,v)dxdv = MB B 3−1 Rv Du point de vue numérique. [Sone, Aoki, Doi, 1992]. Stéphane BRULL (Institut des mathématiques de Toulouse.) Etude cinétique d’un gaz à plusieurs composantes. 17 novembre 2008. 9 / 67
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