Existence of solutions and asymtptotic limits of the Euler-Poisson and the quantum drift-diffusion systems [Elektronische Ressource] / Ingrid Violet

Violet Ingrid

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• Publié le: 01 janvier 2007
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Extrait

Existence of solutions and
asymtptotic limits
of the Euler-Poisson and the
quantum drift-diffusion systems.
Applications to plasmas and
semiconductors
Dissertation
zur Erlangung des Grades
Doktor der Naturwissenschaften
am Fachbereich Physik, Mathematik und Informatik
der Johannes Gutenberg-Universit¨at Mainz
Ingrid Violet
geboren in Saint-Etienne (Frankreich)
Mainz, 2006Abstract
My work concerns two different systems of equations used in the mathematical
modeling of semiconductors and plasmas: the Euler-Poisson system and the quan-
tumdrift-diffusionsystem. ThefirstisgivenbytheEulerequationsfortheconserva-
tion of mass and momentum, with a Poisson equation for the electrostatic potential.
The second one takes into account the physical effects due to the smallness of the
devices (quantum effects). It is a simple extension of the classical drift-diffusion
model which consists of two continuity equations for the charge densities, with a
Poisson equation for the electrostatic potential.
Using an asymptotic expansion method, we study (in the steady-state case for a
potential flow) the limit to zero of the three physical parameters which arise in the
Euler-Poisson system: the electron mass, the relaxation time and the Debye length.
For each limit, we prove the existence and uniqueness of profiles to the asymptotic
expansion and some error estimates. For a vanishing electron mass or a vanishing
relaxation time, this method gives us a new approach in the convergence of the
Euler-Poisson system to the incompressible Euler equations. For a vanishing Debye
length (also called quasineutral limit), we obtain a new approach in the existence
of solutions when boundary layers can appear (i.e. when no compatibility condition
is assumed). Moreover, using an iterative method, and a finite volume scheme or a
penalized mixed finite volume scheme, we numerically show the smallness condition
on the electron mass needed in the existence of solutions to the system, condition
which has already been shown in the literature.
In the quantum drift-diffusion model for the transient bipolar case in one-space
dimension, we show, by using a time discretization and energy estimates, the ex-
istence of solutions (for a general doping profile). We also prove rigorously the
quasineutral limit (for a vanishing doping profile). Finally, using a new time dis-
cretization and an algorithmic construction of entropies, we prove some regularity
properties for the solutions of the equation obtained in the quasineutral limit (for
a vanishing pressure). This new regularity permits us to prove the positivity of
solutions to this equation for at least times large enough.´ ´Resume
Mes travaux concernent deux syst`emes d’´equations diff´erents utilis´es dans la
mod´elisationmath´ematiquedessemi-conducteursetdesplasmas: lesyst`emed’Euler-
Poisson, et, le syst`eme de d´erive-diffusion quantique. Le premier est constitu´e des
´equations d’Euler pour la conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement
et de l’´equation de Poisson pour le potentiel ´electrostatique. Le second prend en
compte les effets physiques dus `a la petitesse des appareils (effets quantiques). Il
s’agit d’une extension simple du mod`ele de d´erive-diffusion classique qui est con-
stitu´e de deux ´equations de continuit´e pour les densit´es de charge et de l’´equation
de Poisson pour le potentiel ´electrostatique.
En utilisant une technique de d´eveloppement asymptotique, nous ´etudions les
limites en z´ero, dans le cas stationnaire pour un flot potentiel, des trois param`etres
physiques intervenants dans le syst`eme d’Euler-Poisson : la masse d’´electron, le
temps de relaxation et la longueur de Debye. Pour chacune de ces limites, nous
d´emontrons l’existence et l’unicit´e des profils ainsi que des estimations d’erreur.
Pour les limites de masse d’´electron et du temps de relaxation, cette m´ethode nous
donne une nouvelle approche pour la convergence du syst`eme d’Euler-Poisson vers
les ´equations d’Euler incompressibles. Pour la limite de la longueur de Debye, aussi
appel´ee limite de quasi-neutralit´e, nous obtenons ainsi une nouvelle approche dans
l’existence de solution du syst`eme lorsque des couches limites peuvent apparaˆıtre.
De plus, en utilisant une m´ethode it´erative, et des sch´emas volumes finis classiques
et volumes finis mixtes p´enalis´es, nous pouvons faire apparaˆıtre num´eriquement la
condition de petitesse sur la masse d’´electron n´ecessaire `a l’existence de solution de
ce syt`eme, et qui a d´ej`a ´et´e d´emontr´ee dans la litt´erature.
En utilisant une semi-discr´etisation en temps et des estimations d’´energie, nous
d´emontrons l’existence de solution (pour un profil de dopage g´en´eral), ainsi que la
limite de quasi-neutralit´e (pour un profil de dopage nul), dans le mod`ele ´evolutif
de d´erive-diffusion quantique pour le cas bipolaire uni-dimensionnel. Enfin, en
utilisant une semi-discr´etisation diff´erente et une m´ethode algorithmique de con-
struction d’entropie, nous montrons des propri´et´es de r´egularit´e des solutions de
l’´equation obtenue par la limite de quasi-neutralit´e (dans le cas de pressions nulles).
Cette nouvelle r´egularit´e nous permet, de plus, de d´emontrer la stricte positivit´e des
solutions de cette ´equation au moins pour des temps assez grands.Zusammenfassung
Meine Arbeit behandelt zwei unterschiedliche Systeme von Gleichungen, die in
der mathematischen Modellierung von Halbleitern und Plasmen verwendet werden.
Dies sind das Euler-Poisson-Modell und das Quantum-Drift-Diffusionsmodell. Das
erste ist durch die Euler-Gleichungen fu¨r die Erhaltung der Masse und des Impulses,
sowie die Poisson-Gleichung fu¨r das elektrostatische Potential gegeben. Das zweite
Modell besteht ebenso aus der Poisson-Gleichung und eine Erweiterung der Drift-
diffusionsgleichung zur Beru¨cksichtigung von in diesen Bauteildimensionen auftre-
tenden Quanteneffekten.
Fu¨r den station¨aren Fall eines Potentialflusses werden verschiedene Grenzw-
erte des Euler-Poisson-Modells mittels asymptotischer Entwicklungen untersucht.
Speziell werden die Grenzwerte verschwindender Elektronenmasse, Relaxationszeit
und verschindender Debyel¨ange analysiert. Fu¨r jeden dieser Grenzwerte werden
Existenz und Eindeutigkeit der L¨osung der asymptotischen Entwicklungen sowie
entsprechende A-Priori-Absch¨atzungen bewiesen. Die Grenzwerte verschwinden-
der Elektronenmasse sowie verschwindender Relaxationszeit stellen neue Ergebnisse
¨da, die den Ubergung vom Euler-Poisson-System zu den inkompressiblen Eulergle-
ichungen beschreiben. Im Falle der asymptotischen Entwicklung fu¨r kleine Debye-
L¨angen erm¨oglicht der hier verwendete Ansatz einen Beweis der Existenz, selbst
wennRandgrenzschichtenauftreten. DasEuler-Poisson-Systemwirdmiteinemiter-
ativen Verfahren mit Finiten-Volumen- und gemischten Finiten-Volumen-Methoden
diskretisiert. Damit konnte die in der Analysis notwendige Bedingung fu¨r die Ex-
istenz der L¨osung - eine Beschr¨ankung auf kleine Elektronenmassen - numerisch
verifiziert werden.
Fu¨rdasbipolareQuantum-Drift-DiffusionsmodellineinerRaumdimensionhaben
wirmiteinerZeitdiskretisierungundEnergieabsch¨atzungendieExistenzderL¨osung
fu¨r ein allgemeines Dotierungsprofil gezeigt sowie den quasineutralen Grenzwert fu¨r
ein verschwindendes Dotierungsprofil analysiert. Abschließend wird eine Verbes-
serungdesRegularit¨atsresultatsfu¨rdenquasineutralenGrenzwert(fu¨rverschwinden-
den Druck) bewiesen, welches durch eine ver¨anderte Zeitdiskretisierung und neue
algorithmisch konstruierte Entropien gewonnen wird. Das neue Regularit¨atresultat
erlaubt den Beweis der Positivit¨at der L¨osungen dieser Gleichung zumindest fu¨r
hinreichend ”grosse” Zeiten.Contents
I Introduction 11
1 Euler-Poisson model 15
1.1 General Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Existence and uniqueness of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 Asymptotic limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Quantum drift-diffusion model 33
2.1 General Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Quasineutral limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Regularity and positivity of solutions to the limit equation . . . . . . 42
II Euler-Poisson model 47
3 Example of supersonic solutions to a steady state Euler-Poisson
system 49
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Uniqueness of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Asymptotic expansions in a steady state Euler-Poisson system and
convergence to incompressibl