Extremes of Lévy driven moving average processes with applications in finance [Elektronische Ressource] / Vicky Maria Fasen

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Extremes of Lévy DrivenMoving Average Processeswith Applications in FinanceVicky Maria FasenCenter for Mathematical SciencesMunich University of TechnologyD-85747 Garching2004Zentrum MathematikLehrstuhl für Mathematische Statistikder Technischen Universität MünchenExtremes of Lévy DrivenMoving Average Processeswith Applications in FinanceVicky Maria FasenVollständiger Abdruck der von der Fakultät für Mathematik der Technischen Uni-versität München zur Erlangung des akademischen Grades einesDoktor der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat)genehmigten Dissertation.Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Herbert SpohnPrüfer der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr. Claudia Klüppelberg2. Prof. Dr. Gennady SamorodnitskyCornell University, Ithaca, USADie Dissertation wurde am 07.10.2004 bei der Technischen Universität Müncheneingereicht und durch die Fakultät für Mathematik am 03.12.2004 angenommen.ZusammenfassungEmpirische Volatilität ist nicht konstant in der Zeit und weist Tails auf, die schwerersind als normalverteilt. Des Weiteren sieht man oft Sprünge und Clusterverhalten.IndieserArbeitwirddasExtremwertverhaltenverschiedenerVolatilitätsmodelleun-tersucht: Subexponentielle Lévy getriebene MA Prozesse im Anziehungsbereich derGumbel-Verteilung,regulärvariierendegemischteMAProzesse,Ornstein-UhlenbeckProzesse mit exponentiellem Tail und COGARCH Prozesse.

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Publié le 01 janvier 2004
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Extremes of Lévy Driven
Moving Average Processes
with Applications in Finance
Vicky Maria Fasen
Center for Mathematical Sciences
Munich University of Technology
D-85747 Garching
2004Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Statistik
der Technischen Universität München
Extremes of Lévy Driven
Moving Average Processes
with Applications in Finance
Vicky Maria Fasen
Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Mathematik der Technischen Uni-
versität München zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktor der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Herbert Spohn
Prüfer der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr. Claudia Klüppelberg
2. Prof. Dr. Gennady Samorodnitsky
Cornell University, Ithaca, USA
Die Dissertation wurde am 07.10.2004 bei der Technischen Universität München
eingereicht und durch die Fakultät für Mathematik am 03.12.2004 angenommen.Zusammenfassung
Empirische Volatilität ist nicht konstant in der Zeit und weist Tails auf, die schwerer
sind als normalverteilt. Des Weiteren sieht man oft Sprünge und Clusterverhalten.
IndieserArbeitwirddasExtremwertverhaltenverschiedenerVolatilitätsmodelleun-
tersucht: Subexponentielle Lévy getriebene MA Prozesse im Anziehungsbereich der
Gumbel-Verteilung,regulärvariierendegemischteMAProzesse,Ornstein-Uhlenbeck
Prozesse mit exponentiellem Tail und COGARCH Prozesse.
Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Untersuchung von subexponen-
R∞
tiellen Lévy getriebenen MA Prozessen Y(t) = f(t−s)dL(s) für t∈R, wobei
−∞
f eine deterministische Funktion undL ein Lévy Prozess ist. In Kapitel 1 beschäfti-
gen wir uns mit dem extremalen Verhalten im Maximum-Anziehungsbereich der
Gumbel-Verteilung und in Kapitel 2 im Anziehungsbereich der Fréchet-Verteilung.
DasVerhaltenindenbeidenAnziehungsbereichenistsehrunterschiedlich.Fürbeide
Klassen werden hinreichende Bedingungen an die Kernfunktion f gegeben, so dass
eine stationäre Version des MA ProzessesY existiert. Wir berechnen das Tailverhal-
ten der stationären Verteilung. Es stellt sich heraus, dass die stationäre Verteilung
auch wieder subexponentiell ist und sogar im gleichen Anziehungsbereich wie der
treibende Lévy Prozess L liegt. Somit modellieren sie schwere Tails und Volatil-
itätssprünge.DieAnalysedesextremalenVerhaltensbasiertaufeinemzeit-diskreten
Gitter, das bei den Sprungzeitpunkten des Lévy Prozesses L und den Extrema der
Kernfunktion f geeignet gewählt wird. Nachdem die diskrete Folge mit Marken
versehen worden ist, wird das Grenzwertverhalten des daraus entstehenden Punkt-
prozesses berechnet. Dieser liefert vollständige Information über das extremale Ver-
halten. Unter Anderem ergibt sich daraus die Konvergenz der normalisierten, wach-
senden Maxima. Beide Modelle weisen Volatilitätscluster auf. Regulär variierende
MA Prozesse verweilen lange über einer hohen Schwelle, im Gegensatz dazu haben
MA Prozesse im Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung nur in einzelnen Punk-
ten Exzesse.
DesweiterenbetrachtenwirinKapitel3dasExtremwertverhaltenvonOrnstein-
Uhlenbeck Prozessen mit exponentiell fallendem Tail. Es ist ähnlich zum subex-
ponentiellem MA Prozess im Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung. Sie haben
schwereTailsaberkeineVolatilitätscluster.AlsletzteKlasseanVolatilitätsmodellen
wird der COGARCH Prozess untersucht. Getrieben von einen compound Poisson
Prozess weist er auch regulär variierende Tails, Volatilitätssprünge und Cluster in
den Extrema auf.Abstract
Empirical volatility changes in time and exhibits tails, which are heavier than those
of normal distributions. Moreover, empirical volatility has - sometimes quite sub-
stantial - upwards jumps and clusters on high levels. We investigate classical and
non-classical stochastic volatility models with respect to their extreme behavior:
subexponential Lévy driven MA processes in the maximum domain of attraction of
theGumbeldistribution,regularlyvaryingmixedMAprocesses,Ornstein-Uhlenbeck
processes with exponentially decreasing tails and COGARCH processes.
The basic volatility models of this thesis are subexponential Lévy driven MA
R∞
processesY(t) = f(t−s)dL(s)fort∈Rwheref isadeterministicfunctionand
−∞
L is a Lévy process. In Chapter 1 we study the extremal behavior of subexponential
MA processes in the maximum domain of attraction of the Gumbel distribution and
in Chapter 2 of the Fréchet distribution. The behavior is quite different in these
different regimes. For both classes we give sufficient conditions for the kernel func-
tionf,suchthatastationaryversionoftheMAprocessY exists,whichpreservesthe
infinitely divisibility of L. We calculate the tail behavior of the stationary distribu-
tion, which is again subexponential and in the same maximum domain of attraction
as the driving Lévy processL. Hence they capture heavy tails and volatility jumps.
Our investigation on the extremal behavior ofY is based on a discrete-time skeleton
ofY chosentoincorporatethosetimes,wherelargejumpsoftheLévyprocessLand
extremesofthekernelfunctionf occur.Addingmarkstothisdiscrete-timeskeleton,
we obtain, by the weak limit of marked point processes, complete information about
the extremal behavior. A complementary result guarantees the convergence of run-
ning maxima. Both models have volatility clusters. Regularly varying MA processes
have long high level excursion in contrast to subexponential MA processes in the
maximum domain of attraction of the Gumbel distribution, where they collapse into
single points.
Furthermore, in Chapter 3 we investigate the extremal behavior of Ornstein-
Uhlenbeck processes with exponential tails. This is similar to subexponential
Ornstein-Uhlenbeck processes in the maximum domain of attraction of the Gumbel
distribution. Theyareheavytailed, butdonotexhibit volatility clusters.Asthelast
class of continuous-time volatility models, we study a continuous-time GARCH(1,1)
model. Driven by a compound Poisson process it exhibits regularly varying tails,
volatility upwards jumps and clusters on high levels.Acknowledgement
It is a particular pleasure for me to express my sincere thanks to my advisor
Prof. Dr. Claudia Klüppelberg for having confidence in me and for her infinite help
and support. I feel also very grateful that by her assistance, I came into contact
with very distinguished scientists and that she gave me the opportunity to travel
extensively.
It is a pleasure for me to thank Prof. Dr. Gennady Samorodnitsky for his encour-
agement especially at the Autumn School on Risk Management in September 2003.
I have extremely benefited from discussions with him.
I acknowledge with thanks the hospitality of Prof. Dr. Holger Rootzén and his col-
leagues at the Department of Mathematical Statistics, Chalmers University of Tech-
nology in fall 2003. Discussions with him have been very fruitful and stimulating.
Iwould liketothankmycolleaguesattheMunichUniversityofTechnologyfortheir
support and for the enjoyable company during the last years.
Last but not least I thank my family for their support in all situations and all my
friends for their encouragement especially during the last months.
Financial support by the Deutsche Forschungsgemeinschaft through the graduate
program "Angewandte Algorithmische Mathematik" at the Munich University of
Technology is gratefully acknowledged.