Few quantum particles on one dimensional lattices. scattering, binding and transport [Elektronische Ressource] / von Manuel Valiente Cifuentes

Herr Ldo. Manuel Valiente Cifuentes

Description

Few Quantum Particles on One Dimensional LatticesScattering, binding and transportDISSERTATIONzur Erlangung des akademischen Gradesdoctor rerum naturalium(Dr. rer. nat.)im Fach Physikeingereicht an derMathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät IHumboldt-Universität zu BerlinvonHerr Ldo. Manuel Valiente Cifuentesgeboren am 05.11.1983 in Jaén, SpanienPräsident der Humboldt-Universität zu Berlin:Prof. Dr. Dr. h.c. Christoph MarkschiesDekan der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I:Prof. Dr. Lutz-Helmut SchönGutachter:1. PD Dr. Alejandro Saenz2. Dr. David Petrosyan3. Prof. Dr. Wolfgang Noltingeingereicht am: 29.03.2010Tag der mündlichen Prüfung: 18.06.2010AbstractThere is currently a great interest in the physics of degenerate quantum gasesand low-energy few-body scattering due to the recent experimental advances inmanipulation of ultracold atoms by light. In particular, almost perfect periodicpotentials, called optical lattices, can be generated. The lattice spacing is fixed bythe wavelength of the laser field employed and the angle betwen the pair of laserbeams; the lattice depth, defining the magnitude of the different band gaps, is tun-able within a large interval of values. This flexibility permits the exploration ofdifferent regimes, ranging from the “free-electron” picture, modified by the effec-tive mass for shallow optical lattices, to the tight-binding regime of a very deepperiodic potential.

Sujets

• Physik

Informations

• Publié par: humboldt-universitat_zu_berlin
• Publié le: 01 janvier 2010
• Nombre de lectures: 50
• Poids de l'ouvrage: 2 Mo

Extrait

ewF

QuantumParticlesonOneDimensional

Scattering,bindingandtransport

DISSERTATION

zurGradesakademischendesErlangung

naturaliumrerumrctodonat.)rer.(Dr.imPhysikachF

deraneingereichtakultätFMathematisch-NaturwissenschaftlichenBerlinzuitätoldt-UniversHumb

vonHerrLdo.ManuelValienteCifuentes
geborenam05.11.1983inJaén,Spanien

Prof.PräsidentDr.Drder.h.c.HumbChristopholdt-UniversitäMatrkschieszuBerlin:

Prof.DekanDr.derLutz-HelmutSchönMathematisch-NaturwissenschaftlichenFakultätI:

1.PDGutachter:Dr.AlejandroSaenz
2.3.Dr.Prof.DDr.avidWPetrosyolfganganNolting

29.03.2010am:eingereichtTagdermündlichenPrüfung:18.06.2010

I

Lattices

ii

Abstract

Thereiscurrentlyagreatinterestinthephysicsofdegeneratequantumgases
andlow-energyfew-bodyscatteringduetotherecentexperimentaladvancesin
manipulationofultracoldatomsbylight.Inparticular,almostperfectperiodic
potentials,calledopticallattices,canbegenerated.Thelatticespacingisfixedby
thewavelengthofthelaserfieldemployedandtheanglebetwenthepairoflaser
beams;thelatticedepth,definingthemagnitudeofthedifferentbandgaps,istun-
ablewithinalargeintervalofvalues.Thisflexibilitypermitstheexplorationof
differentregimes,rangingfromthe“free-electron”picture,modifiedbytheeffec-
tivemassforshallowopticallattices,tothetight-bindingregimeofaverydeep
periodicpotential.Inthelattercase,effectivesingle-bandtheories,widelyusedin
condensedmatterphysics,canbeimplementedwithunprecedentaccuracy.The
tunabilityofthelatticedepthisnowadayscomplementedbytheuseofmagnetic
Feshbachresonanceswhich,atverylowtemperatures,canvarytherelevantatom-
atomscatteringpropertiesatwill.Moreover,opticallatticesloadedwithgasesof
effectivelyreduceddimensionalityareexperimentallyaccessible.Thisisespecially
importantforonespatialdimension,sincemostoftheexactlysolvablemodelsin
many-bodyquantummechanicsdealwithparticlesonaline;therefore,experiments
withone-dimensionalgasesserveasatestinggroundformanyoldandnewtheo-
rieswhichwereregardedaspurelyacademicnotsolongago.Thephysicsoffew
quantumparticlesonaone-dimensionallatticeisthetopicofthisthesis.Mostof
theresultsareobtainedinthetight-bindingapproximation,whichisamenableto
exactnumericaloranalyticaltreatment.
Forthetwo-bodyproblem,theoreticalmethodsforcalculatingthestationary
scatteringandboundstatesaredeveloped.Theseareusedtoobtain,inclosedform,
thetwo-particlesolutionsofboththeHubbardandextendedHubbardmodels;itis
foundthatthelattercanshowresonantscatteringbehavior.Anewtheorem,which
characterizesalltwo-bodyboundstatesonaone-dimensionallatticewitharbitrary
finiterangeinteractions,isprovenhere.ThemethodsusedforthesimplestHubbard
modelsarethengeneralizedtoobtainexactresultsforarbitraryinteractionsand
statistics.particleTheproblemofbindingandscatteringofthreeidenticalbosonsisstudiedin
detail,findingnewtypesofboundstateswithnocontinuousspacecounterparts.
Thephysicsofthesetrimersisrevealedbyaneffectivemodelwhichisthenapplied
to“dimer”-”monomer”scatteringonthelattice.
Stationarystatesofotherlatticesystemsarealsoconsidered.First,theproblems
ofbindingandscatteringofasingleparticleonasuperlatticeoffastaticimpurity
areanalyticallysolved.Amongtheresultsobtained,thepresenceofasecondbound
stateforanylatticeandinteractionstrengthsishighlighted.Second,amodelofthe
harmonicoscillatoronthelattice,preservingmostofthepropertiesofitscontinuous
spaceanalog,ispresentedandanalyticallysolved.Twodifferentmodels,being
formallyequivalenttotheaforementionedlatticeoscillator,arethenconstructed
andsolvedexactly.
Quantumtransportofaasingleparticleandaboundparticlepaironaone-
dimensionallatticesuperimposedwithaweaktrapisinvestigated.Basedonthe
knowledgeoftheresultsobtainedforstationarystates,coherent,non-dispersive
transportofoneandtwoparticlescanbeachieved.Asurprisingfact–repulsively
boundpairsaretighterboundthanthosewithattractiveinteraction–isfoundand
physicallyexplainedinasimpleway.

Zusammenfassung

DeraktuelleexperimentelleFortschrittbeiderManipulationultrakalterAtome
mitLichtlöstgegenwärtigeingroßesInteresseanderPhysikentarteterQuantengase
undderniederenergetischenStreuungwenigerTeilchenaus.Insbesondereistesmög-
lich,nahezuperfekteperiodischePotenziale,sogenannteoptischeGitter,zugene-
rieren.DerGitterabstandwirddurchdieWellenlängeunddenWinkelzwischenden
StrahlendesverwendetenLaserfeldesfestgelegt,währenddieGittertiefe,welchedie
GrößenordnungderverschiedenenBandlückendefiniert,übereineweiteBandbreite
variiertwerdenkann.DieseFlexibilitäterlaubtdieUntersuchungverschiedenster
Regime,vomBilddes”freienElektrons”,welchesimFalleflacheroptischerGitter
durchdieeffektiveMassemodifiziertwird,biszumtight-binding-Regime(Regime
derfestenBindung),dasmiteinemsehrtiefenperiodischenPotenzialsimuliert
werdenkann.LiegtdasletztereRegimevor,solassensichdieeffektivenEinzel-
bandtheorien,dieweitgehendinderPhysikderkondensiertenMaterieVerwendung
finden,mithervorragenderGenauigkeitimplementieren.DieDurchstimmbarkeitder
GittertiefewirdheutzutagedurchdasAusnutzenmagnetischerFeshbachresonanzen
komplementiert,welchebeisehrniedrigenTemperaturendieatomarenStreueigen-
schaftennachBeliebenvariierenkönnen.DarüberhinaussindmitGasengefüllte
optischeGitter,derenDimensionalitäteffektivreduziertist,experimentellzugäng-
lich.DiesistspeziellfüreineeinzigeräumlicheDimensionsehrvonBedeutung,da
diemeistenderexaktlösbarenModellederquantenmechanischenVielteilchentheo-
riedasVerhaltenvonTeilchenkettenbeschreiben.SomitstellenExperimentemit
eindimensionalenGasenfürvielealteundneueTheorien,dienochvornichtallzu
langerZeitnuralsreinakademischangesehenwurden,einepraktischeVersuchs-
plattformdar.DieUntersuchungdesVerhaltenswenigerQuantenteilchenineinem
eindimensionalenGitteristThemadieserArbeit.DerGroßteilderErgebnisseistim
Rahmendertight-binding-Näherungerhaltenworden,welcheeineexaktnumerische
oderanalytischeBehandlungermöglicht.
FürdasZweikörper-ProblemkonntentheoretischeMethodenzurBerechnungder
stationärenStreu-undBindungszuständeentwickeltwerden.MitderenHilfeistes
gelungen,sowohlfürdasHubbard-Modell,alsauchfürdaserweiterteHubbard-
wMoorden,delldiedassZwletztereseiteilceinhen-LösungenresonantesinkStreuvompaktererhaltenFormaufwzueisenerhalten;kann.Feserneistrkgezeonnigtte
einneuesTheorem,dasalleZweikörper-Bindungszuständeineinemeindimensio-
nalenGittermitbeliebigerendlichreichweitigerWechselwirkungcharakterisiert,
bewiesenwerden.DieMethodenfürdieeinfachstenHubbard-Modellesindverall-
gemeinertworden,umexakteErgebnissefürbeliebigeWechselwirkungenundTeil-
herzuleiten.enhenstatistikcBeidergenauenUntersuchungderStreuungundBindungdreieridentischerBo-
sonensindneueTypenvonBindungszuständengefundenworden,denenimkontinu-
ierlichenRaumkeinPendantzugeordnetwerdenkann.DiePhysikdieserTrimere
wirddurcheineffektivesModellbeschrieben,welchesauchaufdieStreuungvon
DimerenmitMonomereninGitternangewandtwurde.
EswurdenzudemdiestationärenZuständeandererGittersystemebetrachtet.
ZuerstkonntendieStreu-undBindungszuständeeinesTeilchensineinemSupergit-
termiteinerstatischenStörunganalytischbestimmtwerden.Ausdenerhaltenen
ResultatenistdasAuftreteneineszweitengebundenenZustandes,unabhängigvon
denrenwurdeeinGitterparameternModelldesundderharmoniscWechenhselwirkungsOszillatorsstärkaufe,demhervGitterorzuheben.eingeführt,Desweite-das
dieEigenschaftenwieimkontinuierlichenRaumweitgehenderhält,undanalytisch

iv

gelöst.Anschließendkonntenzweiunterschiedliche,zumbesagtenharmonischen
GitteroszillatorformaläquivalenteModellekonstruiertundgelöstwerden.
ScbundenenhließlicTheilcwurdehenpaarsderinQuanteneinemtraneisportndimensionaleneineseinzelnenGitter,Teilcübhenserlagertundmiteineseinerge-
schwstationärenachenFalle,Zuständunetersuckannht.einAkohärenusgehendter,vonnichdent-dispersiverhaltenenerTranspErgebnissenorteinesfüroddieer
zweierTeilchenerreichtwerden.EswurdederüberraschendeEffektgefundenund
ingebundeneinfachersindphalsysikaliscsolchehermitWeiseeinererklärt,attraktivdassenWecrepulsivhselwirkung.gebundenePaarestärker

publicationsofList

ManuelValienteandDavidPetrosyan.
Quantumdynamicsofoneandtwobosonicatomsinacombinedtight-bindingperiodic
andEurwophys.eakLparabett.,olic8p3:30007,otential.2008.

ManuelValienteandDavidPetrosyan.
Two-particlestatesintheHubbardmodel.
J.Phys.B,41:161002,2008.

ManuelValienteandDavidPetrosyan.
Scatteringresonancesandtwo-particleboundstatesoftheextendedHubbardmodel.
J.Phys.B,42:121001,2009.

ManuelValiente,DavidPetrosyanandAlejandroSaenz.
Three-bodyboundstatesinalattice.
Phys.Rev.A,81:011601(R),2010.

te.alienVuelManLatticetwo-bodyproblemwitharbitraryfiniterangeinteractions.
Phys.Rev.A,81:042102,2010.

v

Contents

1.Introduction1
2.FormalismofQuantumLatticePhysics5
2.1.Opticallattices................................5
2.2.Thebandstructure..............................7
2.2.1.Tight-bindingapproximation....................9
2.3.Peierls’substitution.............................10
2.4.HilbertspacesforalatticeandthediscreteFouriertransform......11
2.4.1.Directlatticespace..........................12
2.4.2.Reciprocalspace.ThediscreteFouriertransform.........12
2.5.Discr