Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Statistik
First Passage Events and
Multivariate Regular Variation
for Dependent Lévy Processes
with Applications in Insurance
Irmingard Marianne Margarethe Eder
Vollständiger Abdruck der von der Fakultät für Mathematik der Technischen Uni-
versität München zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktor der Naturwissenschaften (Dr.rer.nat)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr. Herbert Spohn
Prüfer der Dissertation: 1. Univ.-Prof. Dr. Claudia Klüppelberg
2. Prof. Andreas E. Kyprianou,
University of Bath / UK
3. Univ.-Prof. Dr. Jan Kallsen,
Christian-Albrechts-Universität zu Kiel
(nur schriftliche Beurteilung)
Die Dissertation wurde am 29.01.2009 bei der Technischen Universität München
eingereicht und durch die Fakultät für Mathematik am 12.05.2009 angenommen.Zusammenfassung
Diese Arbeit untersucht das Ereignis der Erstüberschreitung einer konstanten Bar-
riere durch eine Summe von abhängigen Komponenten eines allgemeinen multivari-
aten Lévyprozeßes mittels eines Sprungs. Für d = 2 charakterisieren wir dieses
Ereignis mit der gemeinsamen Verteilung von fünf Größen: die Zeitspanne zwischen
Erstüberschreitung und dem letzten Maximum, die Zeit des letzten Maximums,
der Überschuß, der Unterschuß und der Unterschuß des letzten Maximums. Die Ab-
hängigkeit zwischen den Sprungkomponenten eines multivariaten Lévyprozeßes wird
dabeimiteinemsogenanntenPareto-Lévymaßmodelliert,daszumErstenmalfürall-
gemeine Lévyprozesse betrachtet wird. Die Beziehung zwischen einem Lévymaß und
seinem Pareto-Lévymaß wird dabei detailliert untersucht, wobei explizite Beispiele
mit graphischen Darstellungen gegeben werden. Desweiteren werden Bedingungen
andieeindimensionalenRand-LévymaßeunddasPareto-Lévymaßformuliert,sodaß
das multivariate Lévymaß regulär variierend ist. Schließlich werden die Resultate auf
einen spektral positiven Versicherungsrisikoprozeß angewendet.Abstract
This thesis deals with the first upwards passage event of the sum of dependent
components of a general multivariate Lévy process when a constant barrier is passed
by a jump. For d = 2 we characterize this event by the joint distribution of five
quantities: the time relative to the time of the previous maximum, the time of
the previous maximum, the overshoot, the undershoot and the undershoot of the
previousmaximum.Thedependencebetweenthejumpcomponentsofamultivariate
Lévy process is modelled by a so-called Pareto Lévy measure which is considered
the first time for general Lévy process. The relationship between a Lévy measure
and its Pareto Lévy measure is investigated in detail where explicit examples with
graphical representations are given. Furthermore, we prove conditions on the one-
dimensional Lévy measures and the Pareto Lévy measure such that the multivariate
Lévy measure is regularly varying. Finally, the results are applied to a spectrally
positive insurance risk process.Acknowledgement
ItisaparticularpleasureformetoexpressmysincerethankstomyadvisorProfessor
Dr. Claudia Klüppelberg for having confidence in me and for her infinite help and
support. I feel also very grateful that by her assistance I came into contact with very
distinguished scientists.
I take pleasure in thanking Professor Dr. Jan Kallsen and Professor Dr. Andreas E.
Kyprianou for various interesting discussions.
I would like to thank my colleagues at the Technische Universität München for their
support during the last years.
Last but not least I thank my family for their support in all situations.
Financial support by the Deutsche Forschungsgemeinschaft through the graduate
program "Angewandte Algorithmische Mathematik" at the Technische Universität
München is gratefully acknowledged.
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ProtagorasContents
Introduction 1
1 Dependence modelling for multivariate Lévy processes 9
1.1 Lévy copulas and Pareto Lévy measures . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 Copulas and Pareto measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.2 Lévy copulas and Pareto Lévy measures: Definitions and basic
results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Graphical representation of the dependence structure . . . . . . . . . 21
1.2.1 Spectral measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Pareto Lévy copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1 Independence Pareto Lévy measure . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2 Complete dependence Pareto Lévy measure . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Archimedean Pareto Lévy measures . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.4 Further construction of Pareto Lévy measures . . . . . . . . . 38
2 Multivariate regular variation of Lévy measures 41
2.1 Multivariate regular variation and Pareto Lévy measures . . . . . . . 43
2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
i3 First upwards passage event for sums of dependent Lévy processes 53
3.1 The quintuple law for the sum of a bivariate random walk . . . . . . 54
3.2 The quintuple law for the sum of a bivariate Lévy process . . . . . . 59
3.3 Two explicit situations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Spectrally positive compound Poisson process . . . . . . . . . 71
3.3.2 Subordinator with negative drift and finite mean . . . . . . . 72
3.4 Dependence modelled by a Lévy copula . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.1 Calculating the quantities in the quintuple law . . . . . . . . . 77
3.4.2 Examples for different dependence structures . . . . . . . . . . 83
3.5 Applications in insurance risk theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4 Appendix 97
4.1 Basic definitions and results of regular variation . . . . . . . . . . . . 97
4.2 Auxiliary results and technical proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.1 Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2 Chapter 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.3 Chapter 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Bibliography 107
Index 113
Notation 115
ii