Generalized Algebraic Kernels and Multipole Expansions for massively parallel Vortex Particle Methods [Elektronische Ressource] / Robert Speck
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Generalized Algebraic Kernelsand Multipole Expansionsfor massively parallel Vortex Particle MethodsZur Erlangung des akademischen Grades einesDoktors der Naturwissenschaftenam Fachbereich Mathematik derBergischen Universität WuppertalgenehmigteDissertationvonDipl.-Math. Robert SpeckTag der mündlichen Prüfung: 1. Juli 2011Gutachter: Prof. Dr. Rolf KrauseProf. Dr. Dr. Thomas LippertProf. Lorena Barba, PhDDie Dissertation kann wie folgt zitiert werden:urn:nbn:de:hbz:468-20111103-115032-0[http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn%3Anbn%3Ade%3Ahbz%3A468-20111103-115032-0]TO THOSE WE HAVE LOSTAND TO THOSE LEFT BEHINDAbstract – Regularized vortex particle methods offer an appealing alternative to commonmesh-based numerical methods for simulating vortex-driven fluid flows. While inherentlymesh-free and adaptive, a stable implementation using particles for discretizing the vorticityfield must provide a scheme for treating the overlap condition, which is required for conver-gent regularized vortex particle methods. Moreover, the use of particles leads to anN-bodyproblem. By the means of fast, multipole-based summation techniques, the unfavorable yet2intrinsicO(N )-complexity of these problems can be reduced to at leastO(N logN). How-ever, this approach requires a thorough and challenging analysis of the underlying regularizedsmoothing kernels.

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Publié le 01 janvier 2011
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Generalized Algebraic Kernels
and Multipole Expansions
for massively parallel Vortex Particle Methods
Zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
am Fachbereich Mathematik der
Bergischen Universität Wuppertal
genehmigte
Dissertation
von
Dipl.-Math. Robert Speck
Tag der mündlichen Prüfung: 1. Juli 2011
Gutachter: Prof. Dr. Rolf Krause
Prof. Dr. Dr. Thomas Lippert
Prof. Lorena Barba, PhDDie Dissertation kann wie folgt zitiert werden:
urn:nbn:de:hbz:468-20111103-115032-0
[http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl?urn=urn%3Anbn%3Ade%3Ahbz%3A468-20111103-115032-0]TO THOSE WE HAVE LOST
AND TO THOSE LEFT BEHINDAbstract – Regularized vortex particle methods offer an appealing alternative to common
mesh-based numerical methods for simulating vortex-driven fluid flows. While inherently
mesh-free and adaptive, a stable implementation using particles for discretizing the vorticity
field must provide a scheme for treating the overlap condition, which is required for conver-
gent regularized vortex particle methods. Moreover, the use of particles leads to anN-body
problem. By the means of fast, multipole-based summation techniques, the unfavorable yet
2intrinsicO(N )-complexity of these problems can be reduced to at leastO(N logN). How-
ever, this approach requires a thorough and challenging analysis of the underlying regularized
smoothing kernels. We introduce a novel class of algebraic kernels, analyze its properties and
formulate a decomposition theorem, which radically simplifies the theory of multipole ex-
pansions for this case. This decomposition is of great help for the convergence analysis of
the multipole series and an in-depth error estimation of the remainder. We use these results
to implement a massively parallel Barnes-Hut tree code withO(N logN)-complexity, which
8can perform complex simulations with up to 10 particles routinely. A thorough investiga-
tion shows excellent scalability up to 8192 cores on the IBM Blue Gene/P system JUGENE
at Jülich Supercomputing Centre. We demonstrate the code’s capabilities along different
numerical examples, including the dynamics of two merging vortex rings. In addition, we
extend the tree code to account for the overlap condition using the concept of remeshing, thus
providing a promising and mathematically well-grounded alternative to standard mesh-based
algorithms.
Zusammenfassung – Regularisierte Vortex-Partikel-Methoden bilden eine interessante
Alternative zu gitterbasierten numerischen Methoden zur Simulation von vortex-dominierten
Flüssigkeitsströmungen. Eine stabile Implementierung dieses intrinsisch gitterfreien und
adaptiven Ansatzes durch die Diskretisierung des Vortex-Feldes benötigt eine Schema zur
Behandlung der Überlapp-Bedingung, welche für eine konvergente regularisierte Vortex-
Partikel-Methode erforderlich ist. Desweiteren führt der Gebrauch von Partikeln zu einemN-
Körper-Problem. Schnelle, multipol-basierte Summationstechniken können die ungünstige
2aber intrinsisch verankerteO(N )-Komplexität dieser Probleme auf mindestensO(N logN)
reduzieren. Dieser Ansatz benötigt jedoch eine genaue und herausfordernde Analyse der zu-
grunde liegenden Regularisierungskerne. Wir führen eine neue Klasse algebraischer Kerne
ein, analysieren ihre Eigenschaften und leiten einen Zerlegungssatz her, welcher die Theo-
rie der Multipol-Entwicklungen für diesen Fall radikal vereinfacht. Diese Zerlegung ist von
großem Nutzen bei der Konvergenzanalyse der Multipolreihe und einer detaillierten Fehlera-
bschätzung des Restgliedes. Wir nutzen diese Ergebnisse zur Implementation eines massiv-
parallelen Barnes-Hut Tree Codes mitO(N logN)-Komplexität, welcher komplexe Simu-
8lationen mit bis zu 10 Partikeln problemlos durchführen kann. Eine genaue Analyse zeigt
exzellente Skalierbarkeit auf bis zu 8192 Kernen des IBM Blue Gene/P Systems JUGENE
am Jülich Supercomputing Centre. Wir demonstrieren die Fähigkeiten des Codes anhand ver-
schiedener numerischer Beispiele, unter anderem anhand der Dynamik zweier fusionierender
Vortex-Ringe. Zusätzlich erweitern wir den Tree Code derart, dass die Überlapp-Bedingung
mit Hilfe des Remeshing-Konzepts eingehalten werden kann, so dass der Code eine vielver-
sprechende und mathematisch fundierte Alternative zu gitterbasierten Standard-Algorithmen
darstellt.Contents
List of Figures iii
1 Introduction 1
1.1 The Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 The vorticity-velocity equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Fundamentals of regularized vortex particle methods 9
2.1 Discretization using regularized particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 The point vortex method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Smoothing kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 The equations of motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.4 Convergence for the inviscid case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Field distortions and viscous effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.1 The overlap criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 The remeshing strategy for accurate vortex calculations . . . . . . . . 22
2.2.3 The diffusion term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4 Modified remeshing and viscous effects . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Multipole expansions and a class of algebraic kernels 37
3.1 A class of algebraic kernels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Definition and smoothing properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 A decomposition theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3 From smoothing kernels to stream functions . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Multipole expansions in the context of algebraic kernels . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Notations for rotationally invariant kernels . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Multipole expansions for decomposed smoothing kernels . . . . . . . 55
3.2.3 Convergence of the multipole expansion . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.4 Discussion and implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.5 Application to vortex particle methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
i4 Implementation of a parallel tree code for vortex dynamics 73
4.1 The workflow of the tree code PEPC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Domain decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Tree construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.3 Tree traversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.4 Parallel remeshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Capability analysis and challenges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.1 Parallel runtime complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.2 Scaling inN andP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.3 A comparative overview of other vortex codes . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.4 An application: vortex ring dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5 From theory to practice: a conclusion 101
5.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A Vector calculus notation and identities 109
B Sobolev spaces 111
C Some special functions and their properties 113
Bibliography 117
iiList of Figures
2.1 Discretization using mesh-based or particle-based methods? . . . . . . . . . 9
2.2 Example of overlapping particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 2D vortex patch without remeshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Mesh projection scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 2D vortex patch with remeshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Error plot: no remeshing vs. remeshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 Lamb-Oseen vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Error plot for the Lamb-Oseen vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Transition from analytic equations to particle-based methods . . . . . . . . . 33
3.1 Computation of interactions using cutoff-based or multipole-based methods? 37
3.2 Visualization of three algebraic smoothing and stream function kernels . . . . 50
3.3 Error terms from Theorem 3.2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Comparison to other error terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 Transition from analytic equations to multipole-based methods . . . . . . . . 71
4.1 Fast summation using FMM or Barnes-Hut tree codes? . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Sample initial 2D configuration with 52 particles on 3 tasks . . . . . . . . . . 77
4.3 Z-ordering and redistribution of the 52 on 3 tasks . . . .

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