Generation of low order LFT representations for robust control applications [Elektronische Ressource] / Simon Hecker

Simon Hecker

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• Publié par: technische_universitat_munchen
• Publié le: 01 janvier 2006
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 3 Mo

Extrait

Lehrstuhl fur¨ Steuerungs- und Regelungstechnik
Technische Universit¨at Munc¨ hen
Ordinarius: Univ.-Prof. Dr.-Ing./Univ. Tokio Martin Buss
Generation of low order LFT Representations for
Robust Control Applications
Simon Hecker
Vollst¨andiger Abdruck der von der Fakult¨at fur¨ Elektrotechnik und Infor-
mationstechnik der Technischen Universit¨at Munc¨ hen zur Erlangung des
akademischen Grades eines
Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.)
genehmigten Dissertation.
Vorsitzender: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Klaus Diepold
Prufer¨ der Dissertation:
1. Univ.-Prof. Dr.-Ing./Univ. Tokio Martin Buss
2.f. Dr.-Ing. habil. Boris Lohmann
Die Dissertation wurde am 04.07.2006 bei der Technischen Universit¨at
Munc¨ hen eingereicht und durch die Fakult¨at fur¨ Elektrotechnik und Infor-
mationstechnik am 16.10.2006 angenommen.Ver¨offentlicht im VDI-Verlag:
Hecker, S.: Generation of low order LFT Representations for Robust
Control Applications. Fortschritt-Berichte VDI Reihe 8 Nr.1114
Dusseldorf:¨ VDI-Verlag 2006, ISBN 978-3-18-511408-3Vorwort
Die vorliegende Arbeit entstand am Institut fur¨ Robotik und Mechatronik des Deutschen
Zentrums fur¨ Luft- und Raumfahrt e.V. (DLR) in Oberpfaffenhofen. Herrn Dr.-Ing.
Johann Bals danke ich nicht nur fur¨ die M¨oglichkeit, die Arbeit in seiner Abteilung
durchzufuhren,¨ sondern auch fur¨ die Freiheit in der Bearbeitung der mir gestellten wis-
senschaftlichen Aufgabe, sowie fur¨ das Vertrauen, das er mir nicht nur auf diesem Gebiet
entgegenbrachte.
¨Herrn Prof. Dr.-Ing./Univ. Tokio Martin Buss danke ich fur¨ die Ubernahme des Erst-
gutachtens, sowie fur¨ die hilfreichen Vorschl¨age und Anmerkungen zu meiner Arbeit.
¨Herrn Prof. Dr.-Ing. Boris Lohmann danke ich fur¨ die Ubernahme des Zweitgutachtens
¨und Herrn Prof. Dr.-Ing. Klaus Diepold danke ich fur¨ die Ubernahme des Vorsitzes der
Prufung.¨
Mein Dank gilt allen Kolleginnen und Kollegen fur¨ das sehr gute Arbeitsklima in der
Abteilung fur¨ Entwurfsorientierte Regelung. Insbesondere danke ich Herrn Dr.Andras
Varga, der durch seine Ideen und Arbeiten mein Interesse an dem Forschungsthema
geweckt hat.Viele der Ergebnisse und Erkenntnisse resultieren aus den zahlreichen Dis-
kussionen mit ihm. Ich danke ihm auch fur¨ die detaillierte Durchsicht meiner Arbeit.
Besonderer Dank gilt auch Herrn Gertjan Looye, der durch seine vielen Anregungen und
seine Unterstutzung¨ beim RCAM Anwendungsbeispiel wesentlich zum Gelingen der Pro-
motion beigetragen hat.
Meinen Eltern danke fur¨ die Unterstutzung,¨ durch die sie mir die Arbeit ub¨ erhaupt
erst erm¨oglichten. Die M¨oglichkeit meines Studiums und ihr Ruc¨ khalt haben mir die
Voraussetzungen fur¨ die vorliegende Arbeit gegeben.
Bei meiner Frau Birgit m¨ochte ich mich in ganz besonderer Weise fur¨ ihre liebevolle
Unterstut¨ zung bedanken.Ihr und der vielen Freude mit unserem Sohn Leon verdanke ich
die Motivation zur Durchfuhrung¨ meiner Promotion.
Munc¨ hen, 2006 Simon Hecker
iiiFur¨ Birgit und Leon
ivContents
1 Introduction 1
1.1 Historical Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Linear Fractional Transformations (LFTs) in robust control . . . . . . . . 3
1.3 Motivation and Thesis Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Generalized Linear Fractional Representation (LFR) for parametric uncertain
systems 7
2.1 From nonlinear to linear parametric models . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Jacobian-based linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Quasi-LPV models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Standard LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Generalized LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 Algebraic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Object-oriented LFR realization procedure for rational parametric
matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.4 Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Special form of generalized LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.6 Relation to Behavioral Representations . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 LFR realization for parametric descriptor system . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.1 E(δ) general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.2 E(δ) invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Symbolic techniques for low order LFR modelling 32
3.1 Limitation of numerical order reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3 Single element conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1 Horner form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.2 Partial fraction decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3.3 Continued-fraction form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Matrix conversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Morton’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2 Enhanced tree decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Variable splitting factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5.1 Scalar case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
vContents
3.5.2 Vector case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5.3 Matrix case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6 Lower-bound for LFR order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Enhanced LFR-toolbox for Matlab 49
4.1 Object definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2 Symbolic preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Numerical order reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Robust stability analysis for the RCAM 54
5.1 LFR model realization for the element a . . . . . . . . . . . . . . . . . 5729
5.1.1 Enhanced numerical order reduction . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.1.2 Comparison of low order LFR realization techniques . . . . . . . . 58
5.2 LFR realization for the full RCAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.3 Accuracy of low order LFRs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.4 Improved robust stability analysis using μ . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6 Robust vehicle steering control design 68
6.1 Single-Track model and steering actuator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.2 LFR realization for roll-augmented single track model . . . . . . . . . . . 70
6.3 LFR realization for single track model without roll augmentation . . . . 72
6.4 Problem specification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4.1 Controller Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4.2 Mixed sensitivity specifications and synthesis structure . . . . . . 75
6.4.3 Closed-loop eigenvalue specification . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.5 μ-Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5.1 Synthesis procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.5.2 Frequency-weighted controller reduction . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5.3 Frequency domain results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.6 LPV-control design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.6.1 Synthesis structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.6.2 Linear point designs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6.3 LPV design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.6.4 Frequency weighted controller reduction . . . . . . . . . . . . . . 95
6.6.5 F domain results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.7 Simulation results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7 Summary and Future Directions 114
A Structured Singular Value (μ) Framework 117
A.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.2 Small Gain robust stability test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.3 μ-Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.3.1 Definition of μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
viA.3.2 Bounds on μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.3.3 Robust stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.3.4 performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.4 μ-Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
B Background on LPV control design 127
B.1 Stability and performance of LPV systems . . . . . . . . . . . .