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Histoire du moment d'inertie - article ; n°4 ; vol.3, pg 315-336

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Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1950 - Volume 3 - Numéro 4 - Pages 315-336
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Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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Publié le 01 janvier 1950
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Langue Français
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M Pierre Costabel
Histoire du moment d'inertie
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1950, Tome 3 n°4. pp. 315-336.
Citer ce document / Cite this document :
Costabel Pierre. Histoire du moment d'inertie. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1950, Tome 3 n°4. pp.
315-336.
doi : 10.3406/rhs.1950.2858
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1950_num_3_4_2858Histoire du moment d'inertie
La notion de moment d'inertie apparaît à première vue, en
fonction des connaissances générales de l'honnête homme d'aujourd
'hui, comme très particulière, liée à des nécessités pratiques,
sans grand intérêt sur le plan de la véritable histoire de la Mécanique
et sur celui de la philosophie de ses principes. Les recherches nécess
itées par un exposé au Séminaire d'Histoire des Mathématiques (1)
corrigent ce point de vue et il est à peine besoin de souligner que
là réside l'intérêt de ce qui va suivre.
C'est en 1673 que Huygens, dans la solution du problème du
centre d'oscillation du pendule composé (IVe Partie du Traité
du Pendule), fit apparaître pour la première fois une quantité de
la forme Hmr2. C'est en 1810-1811 que cette quantité intervint
pour la première fois sous le nom de moment d'inertie, et d'une
manière officielle et systématique, dans l'enseignement de la
Mécanique (2). Notre enquête portera donc sur la période qui
s'étend de 1673 à 1811.
Il convient tout d'abord de fixer l'état de la question. Sur le
sujet précis du moment d'inertie, on ne trouve aucune donnée ni
chez Ernst Mach, ni chez Pierre Duhem. Quelques indications
se trouvent dans les notes de l'article Géométrie des Masses par
E. Carvallo, dans Г Encyclopédie des Sciences Mathématiques
(Teubner, 1912), mais elles sont centrées sur la notion d'axes
principaux d'inertie d'un corps, et si elles sont utiles pour la
question qui nous intéresse, elles ne permettent pas de l'ébaucher
(1) 19 janvier 1950. Institut Henri-Poincaré. Exposé sur l'Histoire du Moment d'Inertie
par Pierre Costabel. Le présent article constitue une reprise approfondie de cet exposé.
(2) Ch. Bossut, Histoire des Mathématiques depuis les origines jusqu'en 1808, Paris,
1810, 2 vol., in-8°. — R. Prony, Leçons de Mécanique Analytique données à l'École Poly
technique, Paris, 1810, 1 vol., in-4°. — J. P. M. Binet, Mémoire sur la théorie des axes
conjugués et des moments d'inertie des corps (Journ. de VÉc. Pol., 16e c, mai 1813,
pp. 41-67 (mémoire présenté à l'Académie des Sciences, en 1811). — Lagrange, Mécan
ique Analytique, nouv. (2e) éd., t. Ier, Paris, 1811, in-4°. REVUE D'HISTOIRE DES SCIENCES 316
dans son véritable conspectus historique. Quant aux historiens
du xvine siècle, ils ne nous apportent eux-mêmes aucune donnée.
On ne saurait s'étonner du silence de Savérien dans son médiocre
Dictionnaire Universel des Sciences (1753), mais il faut prendre acte
du silence de Y Encyclopédie de d'Alembert (1765) et de l'Histoire
des Mathématiques de Montucla (An VII). La première mention de la
notion de moment d'inertie dans un ouvrage proprement historique
est faite en 1810 par Ch. Bossut (1). Elle suit de près une note
relative au problème du centre d'oscillation, fortement inspirée
de celle de Lagrange (2), mais n'y est pas rattachée. Après avoir
indiqué les recherches sur les axes principaux d'inertie, Bossut
attribue à Euler l'introduction de la notion de moment d'inertie
dans sa Theoria motus corporum solidorum (3), mais il s'agit des
moments d'inertie principaux liés aux axes de même nom et il est
clair que l'historien ne s'intéresse à cette notion qu'en fonction des
simplifications qu'elle apporte au langage et au calcul dans une
théorie du mouvement des corps élaborée sans elle.
Il faut donc, pour le but que nous nous proposons, remonter
directement aux sources, reprendre là question par la base. Nous
avons déjà dit que la quantité ILmr2 intervient pour la première
fois, sans pour autant recevoir un nom particulier, dans la formule
de la solution donnée par Huygens au problème du centre d'oscil
lation. Il s'agit en fait de la détermination de la longueur du pendule
simple synchrone à un pendule composé de plusieurs poids alignés
avec le centre de suspension. C'est là un problème célèbre qui
a suscité toute une série de recherches et de discussions durant la
période 1763-1740 et son exemple est un des meilleurs pour illustrer
l'importance des problèmes particuliers quant à la marche générale
de la Science.
Les premières traces de recherches sur ce problème sont d'ailleurs
antérieures à 1673. Dans les Lettres de Descaries, on voit que le
P. Mersenne lui avait proposé de déterminer la grandeur que doit
avoir un corps de figure quelconque pour qu'étant suspendu par
un point il fasse des oscillations dans le même temps qu'un fil
de longueur donnée et chargé d'un seul poids à son extrémité (4).
(1) Op. cit., t. II, pp. 190-196.
(2) Méchanique Analitique, Paris, 1788.
(3) Rostock, 1765.
(4) Lettre de Descartes au P. Mersenne, 2 mars 1646, éd. Adam-Tannery, t. IV,
pp. 362 sq.). HISTOIRE DU MOMENT D'iNERTIE 317
Le principe de la solution proposée par Descartes réside dans une
analogie, davantage pressentie que clairement conçue et exprimée.
Dans sa Méchanique analitique (1), Lagrange donne à cette analogie
une expression nette que l'on peut effectivement considérer comme
conforme à la pensée de Descartes (2), mais que l'on chercherait
cependant en vain dans la réponse de ce dernier au P. Mersenne. Il est
permis de se demander si les vicissitudes de la solution cartésienne
ne tiennent pas précisément à un certain flou dans la conception
de base. L'analogie, telle que l'exprime Lagrange, est la suivante.
De même que dans un corps pesant qui tombe librement, il y a
un centre de gravité autour duquel les efforts de la pesanteur de
toutes les parties du corps se font équilibre en sorte que ce centre
descend de la même manière que si tout le reste du corps était
anéanti ou qu'il fût concentré en ce même centre, ainsi dans les
corps « pesants » (3) qui tournent autour d'un axe fixe il doit y
avoir un centre d'agitation autour duquel les forces d'agitation de
toutes les parties du corps se contrebalancent de manière que, le
corps étant libre de l'action de ces forces, puisse être mû comme il
le serait si les autres parties du corps étaient anéanties, ou concent
rées dans ce même centre. L'histoire de la solution cartésienne,
des critiques qu'elle souleva de la part de Roberval et de la furieuse
controverse qui s'ensuivit (1646-1647) est trop Jongue et trop
délicate pour trouver place ici. Lorsque remarquait que
pour trouver le vrai centre d'oscillation d'un pendule pesant, il
faut avoir égard à la pesanteur en vertu de laquelle le pendule se
meut, Descartes s'irritait à juste titre de cette critique de base
dirigée contre lui, il ne concevait pas, tout simplement, de la même
manière que son adversaire, le moment où l'action de la gravité
devait entrer en considération, ni le mode suivant lequel il conve
nait d'en tenir compte. Et les expériences du P. Mersenne (1647)
sur des pendules composés en forme de triangles isocèles étaient
trop imprécises pour permettre de départager les deux antagonistes.
Nous retiendrons seulement ici l'analogie de base, admise par
Descartes, conduisant logiquement à une solution de type géomé-
(1) lre éd., Paris, 1788, p. 168.
(2) Cf. Descartes à Cavendish, 30 mars 1641, éd. Adam-Tannery, IV, pp. 382-3.
(3) Le mot est ajouté par Lagrange. Comme le montre la controverse entre Descartes
et Roberval, la méthode du premier consiste précisément à éliminer l'intervention directe
de la pesanteur dans la considération du centre ď « agitation ». En un sens,
pousse l'analogie à la limite en accentuant l'équivalence : pesanteur, « force d'agitation ».
T. III. — 1950 20 318 REVUE D'HISTOIRE DES SCIENCES
trique à travers l'utilisation des principes fondamentaux utilisés
à l'époque. Réduite à sa plus simple expression, cette analogie
exprime l'idée d'une compensation entre les écarts des mouvements
des points du corps oscillant par rapport au mouvement du centre
d'oscillation cherché. C'est cette idée qui sera reprise avec fruit
par la suite.
11 n'est pas indifférent de noter que Huygens a vécu la contro
verse Descartes-Roberval (correspondance du P. Mersenne, 1646)
alors qu'il n'avait encore que 17 ans. La solution qu'il propose
en 1673 est basée sur un principe nouveau, mais indirect : la conser
vation des forces vives. Principe nouveau sans aucun doute, et
indirect en ce qu'il ne se rattache pas explicitement, directement,
logiquement aux lois fondamentales admises jusque-là en Mécanique.
L'échec de Descartes et de Roberval dans une recherche soumise
à ces lois n'est certainement pas sans rapport avec l'orientation
nouvelle prise par Huygens. Que cette orientation soit vraiment
nouvelle, on en a d'ailleurs la preuve par le malaise qu'elle suscita
parmi les « géomètres ». En tête de sa deuxième solution du même
problème, Jacques Bernoulli écrit encore en 1703 : « On sait que
toute la doctrine du balancement que feu M. Huygens nous a
laissée dans la 4e partie de son excellent Traité de la Pendule,
est fondée sur cette hypothèse que le centre commun de gravité
de plusieurs corps liés ensemble doit remonter précisément à la
même hauteur d'où il est descendu... mais on sait aussi qu'il y a
bien des gens à qui cette demande a paru un peu hardie », d'où
la nécessité pour Jacques Bernoulli de revenir au principe du levier.
Ce texte fait allusion à la controverse qui s'établit en 1681 dans
le Journal des Sçavans et provoqua la réflexion du savant bâlois
pour l'élaboration de la première solution qu'il donna en 1681.
Cette solution ne fut cependant pas la première après celle de
Huygens ; en 1703, Jacques Bernoulli se réfère lui-même explicit
ement au Traité de la Percussion, de Mariotte, publié en 1676.
Mariotte, nous avons eu l'occasion de le montrer, est l'auteur d'un
principe universel qui prélude exactement à celui des travaux vir
tuels. Principe sans lequel l'équation des forces vives ne saurait
recevoir une justification générale et digne de ce nom. Que la
première solution à suivre dans le temps celle de Huygens relativ
ement au problème du centre d'oscillation soit une solution de
Mariotte, c'est là un fait qui doit retenir l'attention. Il est vrai
que cette solution présente le défaut, souligné par Huygens lui- HISTOIRE DU MOMENT D'iNERTIE 319
même (1) d'admettre sans démonstration l'identité du centre
d'oscillation et du centre de percussion. Identité que Roberval
avait hésité à considérer comme certaine, mais que d'autres avaient
reçue effectivement, faute de mieux, sans démonstration. « On le
reconnaît, dit Mariotte, par toutes sortes d'expériences. » Le mot
ne recouvre certainement pas, dans sa bouche, un vide pur et
simple, mais il est évident qu'on ne saurait se contenter d'une telle
déclaration. Quoi qu'il en soit, l'identité une fois posée, il faut
reconnaître que la recherche du centre de percussion opérée par
Mariotte se développe parfaitement à partir d'un principe d'équil
ibre des quantités de mouvement inspiré de considérations sur la
pesanteur, mais consciemment généralisé. Et ceci est important
et significatif.
Selon Gh. Bossut, qui néglige Mariotte, le grand mérite de la
solution présentée en 1686 dans les Actes de Leipzig par Jacques
Bernoulli est de démontrer le résultat de Huygens en s'appuyant
sur le principe du levier. En réalité dans la mesure où ceci est en
effet exact, ce n'est pas un mérite. Jacques Bernoulli se sépare de
Mariotte en éliminant la considération du centre de percussion,
ce qui enlève une difficulté logique de base, mais il ne détache pas
l'équilibre des quantités de mouvement du principe du levier dans
le champ de la pesanteur. Son étude s'effectue à partir de la position
horizontale du pendule, position pour laquelle la loi du levier
s'applique directement et sans effort de généralisation, en terrain
sûr, pourrait-on dire. Et l'on ne saurait ainsi se méprendre sur le
mérite que voulait souligner Gh. Bossut. L'imperfection de cette
première solution de Jacques Bernoulli réside simplement, selon
lui, dans le fait que les vitesses sont considérées par l'auteur comme
finies dès le premier instant « alors qu'elles sont seulement élément
aires ». Mais en corrigeant sur ce point son illustre prédécesseur,
le marquis de L'Hôpital (2) n'apporte en fait rien de nouveau quant
au principe de la solution et l'on en reste aux perspectives étroites
de la mécanique « géométrique » et archimédienne. On reste éloigné
d'une tentative de rattachement à un principe plus général que
celui du levier dans le champ de la pesanteur.
En 1703, les Mémoires de V Académie Royale des Sciences
publient la deuxième solution de Jacques Bernoulli. Pour Ch. Bossut
(1) Réponse au marquis de L'Hôpital {Histoire des Ouvrages des Savons, juin 1690,
p. 449).
(2) Histoire des Ouvrages des Savons, 1690, pp. 442 et suiv. revue d'histoire des sciences 320
il n'y a là qu'un complément, le pendule envisagé n'étant plus
simplement composé de masses alignées sur une verge rigide. Or,
il y a, au contraire, quelque chose de nouveau et de très remarquable.
Après .avoir explicitement énoncé le malaise laissé par la solution
de Huygens, Jacques Bernoulli se réfère à Mariotte et adopte son
principe sous sa forme la plus générale. Il s'agit encore, certes, d'un
levier composé, mais le principe de son équilibre est détaché de
conditions particulières, l'équation générale mise en avant pour
résoudre le problème n'est autre qu'une équation de travaux virtuels.
En écrivant que cette dernière solution du problème « paraissait
ne rien laisser à désirer », Charles Bossut ne savait probablement
pas sur quoi résidait l'exactitude de ce jugement. Son étonnement
à voir Jean Bernoulli et Taylor reprendre la question en 1714
pour donner un type de solution « qui mérite des éloges, mais qui
n'est pas aussi lumineuse et aussi simple », en serait une preuve
nouvelle s'il en était besoin. Mais avant de passer à cette nouvelle
solution, il convient d'ajouter quelques mots sur celle de Jacques
Bernoulli. Lagrange dit qu' « elle mérite d'autant plus l'attention
qu'elle contient en germe le Principe devenu si fécond entre les
mains de M. d'Alembert ». Et ceci est parfaitement exact. Jacques
Bernoulli considère les mouvements que la pesanteur imprime à
chaque instant aux corps qui composent le pendule et tenant
compte de la liaison qui empêche ces corps de les suivre entièrement,
il conçoit ces mouvements imprimés comme composés de ceux
que les corps doivent prendre effectivement et d'autres mouvements
qui doivent être détruits. L'idée de Descartes que nous avons
soulignée plus haut (compensation des écarts) et que Huygens
avait méditée sans parvenir à une recherche directe, parvient ainsi
avec Jacques Bernoulli à une conception nette et pleine de
promesses. Que pouvait donc reprocher à cette solution, l'éminent
Jean Bernoulli ? Dans son mémoire à l'Académie du 8 août 1714 (1),
celui-ci remarque que son frère donne encore une place trop exclu
sive à la pesanteur « ordinaire » en tant que force agissante et il
annonce qu'il va « imaginer différentes sortes de pesanteurs capables
de donner des accélérations toutes différentes à des masses égales ».
« Par le mot pesanteur, dit-il, j'entends la force accélératrice
qui par son action continuelle sur les corps qu'on appelle pesants,
"peut leur donner telle ou telle vitesse pendant tel ou tel temps. »
(1) Hist. Ac. Roy. Sci..., 1714, II» Partie, pp. 208-218. HISTOIRE DU MOMENT D'iNERTIE 321
Nous sommes ainsi, avec Jean Bernoulli, dans une perspective
de généralisation plus profonde que précédemment. En ce sens
que l'effort ne se limite pas à la découverte d'un principe général
permettant de laisser dans l'ombre une analyse du ressort intime
du mouvement, en ce sens qu'il s'agit bien d'aller jusqu'à une
notion générale de la force. De ce fait même, on va s'écarter, au
moins à première vue, du type de solution déjà envisagé. Il ne
sera plus question de compensation d'écarts, ni d'équation de tr
avaux virtuels, et sous une forme à peine différente de la nôtre,
l'équation de base sera celle du mouvement du centre de masses.
Mais l'idée centrale de la recherche de Jean Bernoulli est celle d'une
équivalence dynamique qui permette de remplacer un ensemble
de masses par une seule, réelle ou fictive, animée d'une certaine
« pesanteur », à partir de laquelle le passage à une masse unique,
animée de la pesanteur « ordinaire » soit encore aisée par équival
ence des effets. C'est peut-être là une solution moins « simple »
et moins « lumineuse » dans la mesure où elle fait intervenir un
contexte et un langage nouveaux, mais il n'est pas douteux qu'elle
conserve l'idée première de Descartes (analogie du centre de
gravité) en lui donnant une expression plus purement dynamique.
A ce titre, elle est aussi simple et aussi lumineuse que celle de
Jacques Bernoulli.
11 serait néanmoins injuste de faire supporter la critique au
seul Charles Bossut. Il n'est en l'occurrence que l'écho fidèle de
Lagrange. Après avoir caractérisé la solution Jean Bernoulli-Taylor,
celui-ci dit bien en effet (1) « on doit avouer que cette idée n'est
ni si naturelle, ni si lumineuse que celle de l'équilibre entre les
quantités de mouvement acquises et perdues ». Commentant ensuite
une solution postérieure, celle de Hermann (1716) « fondée sur
cet autre principe que les forces motrices dont les poids qui forment
le pendule doivent être animés pour pouvoir être mus conjointe
ment sont équivalentes à celles qui proviennent de la gravité,
en sorte que les premières étant supposées dirigées en sens contraire
doivent faire équilibre à ces dernières », Lagrange ajoute « ce principe
n'est au fond que celui de Jacques Bernoulli, présenté d'une manière
moins simple ». Nous aurons à revenir sur la pensée de Lagrange,
nous nous contenterons simplement de noter ici la lumière que
ces textes apportent sur cette qualification de moins grande
(1) Mécanique analytique, 2e éd., t. I, Paris, 1811, p. 237 (cf. lrc éd., p. 177). 322 revue d'histoire des sciences
simplicité. Le principe illustré par Jean Bernoulli, Taylor et
Hermann est moins simple aux yeux de Lagrange que celui de
Jacques Bernoulli parce qu'il descend d'un degré dans l'analyse
du mouvement, passant des vitesses aux forces. Nous dirions
aujourd'hui que ce principe est moins « simple » dans la mesure
où une forme différentielle est moins « simple » que la forme intégrée
correspondante.
Ainsi, s'il est bien vrai que les principes ne diffèrent pas « au
fond » comme le dit Lagrange, mais seulement dans leur présenta
tion en quelque sorte dialectique, il reste que la voie ouverte par
Jean Bernoulli réfléchissant sur les données de son frère, va jusqu'à
une analyse de la notion générale de force et aboutit avec Hermann
à une conception voisine de la loi fondamentale de la Mécanique
classique, encore que la coordination force-mouvement demeure
quelque peu obscure. Dans le même sens un nouveau pas est
franchi avec Leonhard Euler. C'est dans un article publié en 1 740 ( 1 )
que Euler, s'inscrivant selon ses propres déclarations, dans la
ligne tracée par Taylor, Jean Bernoulli, Hermann, reprend la solu
tion du problème. du pendule composé en se limitant systématique
ment aux petites oscillations. Évaluant, par voie de comparaison
et sans avoir besoin de préciser la loi de coordination force-mouvegrâce à la seule considération des petites oscillations, les
forces que nous appelons aujourd'hui forces d'inertie, il écrit
l'équivalence à zéro du système de ces et des pesanteurs
en annulant le moment par rapport à l'axe de suspension. Il ne
tient pas compte, certes, des forces d'inertie normales, ni des
forces de liaison, mais son équation du moment qui ne fait intervenir
que les forces d'inertie tangentielles et élimine, consciemment ou
non, les susdites, est parfaitement correcte. Il est permis de
penser que dans son esprit, la liaison absorbe tout ce qui n'entre
pas en ligne de compte pour un moment par rapport à l'axe de
suspension. Ainsi le dernier stade d'évolution du problème coïncide
chez Euler avec une notion précise de la forme de la loi fondamentale
de la Mécanique Classique.
En possession des données de cette longue parenthèse, nous
pouvons aborder avec fruit la question du moment d'inertie. A
travers les vicissitudes de la démonstration, la formule mathéma-
(1) Cf. Opera Omnia, série II, t. X, pp. 17 et sq. : De minimis oscillationibus corporum
tam rigidorum quam flexibilium methodus nova et facilis (Comm. Ac. Se. Imp. Petrop., 7,
1734-5 (1740), pp. 99-122). HISTOIRE DU MOMENT D'iNERTIE 323
tique donnant la longueur du pendule simple synchrone était
demeurée celle qu'avait indiquée Huygens en 1673, et nul n'avait
songé à donner un nom particulier à la quantité qui y intervenait :
1,mr2. Comme le note Bossut, c'est à Euler que l'on doit la dési
gnation de cette quantité sous le nom de moment d'inertie, mais
la date de 1765 donnée par cet historien est erronée. En rétablis
sant sur ce point l'exactitude de l'histoire, nous pénétrerons au
cœur même de la question.
Le nom de « moment d'inertie » apparaît pour la première fois
dans deux publications d'Euler datées de 1749. La est
celle de sa Scienlia Navalis seu traclatus de construendis ac dirigendis
navibus (1), la deuxième est celle d'un mémoire intitulé Recherches
sur la précession des Equinoxes et la nutation de Vaxe de la Terre (2).
Dans une remarque consécutive à la première proposition de ce
mémoire, Euler s'exprime ainsi : « II faut se souvenir ici que je
nomme moment d'inertie... etc. » Le libellé ne laisse aucun doute
sur la conscience où se trouve Euler de sa priorité dans la désignat
ion, priorité qui ne lui est d'ailleurs contestée par personne et
doit être considérée comme acquise. Mais le même libellé laisse
entendre que ce n'est pas la première fois qu'Euler emploie l'expres
sion : « II faut se souvenir ici... ». Fait-il simplement allusion à la
Scientia Navalis dont la date de publication ne correspond évidem
ment pas à la date de composition (3), fait-il allusion à un autre
document. Il n'est pas possible de préciser. Ce qui est certain,
c'est qu'entre 1740 et 1749, un moment est venu où Euler a éprouvé
le besoin d'une désignation nouvelle. La question de la date précise
de ce moment est secondaire. Beaucoup plus important est
d'essayer de découvrir, par l'usage de la notion nouvelle et par le
contexte où elle s'insère, ce qui en est la raison d'être aux yeux
de son auteur.
Portons d'abord notre attention sur le chapitre II de la Scientia
Navalis. Il est intitulé De Corporum aquae insideniium reslitulione
in acquilibrium et se rapporte donc aux oscillations d'un corps
flottant à la surface d'un liquide. Après le problème des oscillations
du pendule composé, cette étude n'a rien de surprenant. Euler
(1) Petropoli, 1749.
(2) Mém. Ac. Roy. Sci. Berlin, t. V, 1749, pp. 289 et sq.
(3) Dans une lettre à D'Alembert, de l'année 1749, Euler affirme que la Scientia Navalis
était presque achevée lorsqu'il quitta Saint-Pétersbourg, et cet événement se place
en 1741. Cf. Lettres publiées par Ch. Henry, Rome, 1886.